专题03 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题（5大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 题型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合问题… 题型三、解直角三角形应用与菱形的综合问题… .8 题型四、解直角三角形应用与矩形的综合问题… 13 题型五、解直角三角形应用与正方形的综合问题.… .17 题型六、解直角三角形应用与其他图形的综合问题… 20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法.如 图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部 按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE,若手机显 示AC=1.75m,AD=2.45m,∠CAD=53°，求浮雕像CD的高度.（结果精确到0.1，参考数据 sin53°≈0.80，c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33，√2≈1.41) B E ① ② 2如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且 OA=20cm,窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、A0构成一个三角形，当窗钩端 点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠A0B的度数为37°. 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E OBF 图1 图2 (1)求点A到OF的距离AD的长 (2)求窗钩AB的长度（精确到1cm)(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 3.露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干AB搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称 图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆CD,用绳子拉直CE后系在树干AB上的点A处，使得A,C,E在一 条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若CE=CF=3米，CD⊥EF于点O (参考数据：sin75°≈0.966，c0s75°≈0.259，tan75°≈3.732) B D 图1 图2 (1)天晴时打开“天幕”，若∠ACF=150°，求遮阳宽度EF;(结果保留一位小数) (2)下雨时收拢“天幕”，∠ACF由150°减小到120°，求点O下降的高度.（结果保留一位小数） 题型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 4.如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD,其中AB=3m, AD=1m,此时它与出入口OM等宽，与地面的距离A0=0.2m;当它抬起时，变为平行四边形AB'CD, 如图3所示，此时，AB与水平方向的夹角为60. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D C 60° B B A M 图1 图2 图3 (1)求点B到地面的距离： (2)一辆高1.6m,宽1.5m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安 全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由 5.如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，己知AB∥CD∥FG,A,D,H,G四点 在同一直线上，测得∠FEC=∠A=70°，AD=1.6m,EF=4.4m.（参考数据：sin70°≈0.94， c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75) G 图1 图2 (1)求证：四边形DEFG为平行四边形： (2)求雕塑的高（即点G到AB的距离）.（结果保留小数点后一位） 6现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材.如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆 机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“8字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的 简图如图2所示，已知∠ABC=70°，∠PBA=55°，AB=AP. 转动轴 ☒ 拉杆 踏板 图1 图2 (I)若AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形 (2)若AB=53cm,BC=80cm,∠BCM=35°，求点P到MW的距离.（结果精确到1cm,参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70) 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、解直角三角形应用与菱形的综合问题 7.图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，己知AB∥CD∥EF∥GH,MC∥BE∥DG∥FO,M,N, P,Q四点分别是AB,CD,EF,GH的中点(N,P两点也分别在BE和DG上)，FO⊥底座HI,垂足为O ,经测量，AB=CD=EF=GH=44cm,MC=NE=PG=22cm,∠GH1=48°. P F HOI 图1 图2 (1)求证：四边形MBNC为菱形 (2)求折叠资料架的高（点A到底座Ⅲ的距离）.（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11.结 果保留一位小数) 8如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形ABCD是菱形，中间通过螺杆BD连接， 转动手柄可改变线段BD的长度，同时改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即 点A与点C之间的距离).经测量，AD=20cm. D 手柄 图1 图2 (1)当∠ADC=20时，求AC的长（结果保留整数）. (2)∠ADC从20°增加到60°时，这个千斤顶高度升高了 cm(结果保留整数).（参考数据： sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18) 9.“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架 由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E,H可分别沿等长的立柱AB,DC上下移动， AF=EF=FG=1m,AB=2.4m.(参考数据：√2≈1.414，sin17.5°≈0.30，cos17.5°≈0.95， tan17.5°≈0.32) 4/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 (1)若移动滑块使∠AFE=90°，求棚宽BC的长（精确到0.01m). (2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高1.8m),门的顶端应与E点持平或低于E点，试问此时 ∠AFE最大为多少度？ 题型四、解直角三角形应用与矩形的综合问题 10拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE, BC的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上.如图1，当拉杆伸出一节 (AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节(AM、MB)时，AC与地面夹角 ∠4CG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.（参考数据：sin53°≈4 ,tan53 3 sin37°≈ 4 3’tan37≈3) 图1 图2 11.图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 ADE可以绕点A逆时针旋转，落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD=90cm,DE=30cm, EC =40cm. D' E D E C 图1 图2 (1)当旋转角为60°时，求点E到点E的距离 (2)已知箱盖可旋转的最大角度是75°，求此时点D到BC的距离.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,tan75°≈3.73) 12.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米， AH与水平地面垂直.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB,CD分别绕点A,D转动，且边BC始终 与边AD平行. B M H H E 图1 图2 (1)如图2，当道闸打开至∠ADC=45°时，边CD上一点P到D的距离PD为√2米，P到地面的距离PE为1.2 米，求点D到地面的距离DH的长. (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至∠ADC=36°时，轿车能否驶入小区？请 说明理由.（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 题型五、解直角三角形应用与正方形的综合问题 13.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm,顶 点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D,A与树顶E在一条直线上，铅垂线 AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=12m,BH=20cm.求树EG的高度. 14.在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪ABCD为正方形， AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P 在一条直线上，铅垂线AM交CD于点N.经测量，点A距地面1.8m,到旗杆PQ的距离AE=5m, 6/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B On (1)若点N于点C重合，则旗杆PQ的高度为 m: (2)若DN=20cm.求旗杆Pg的高度（结果精确到0.1m): 15.图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得 正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=100cm,CD∥EF,∠CDE=140°，∠CGF=25 图1 图2 (1)判断四边形EFGH的形状，并说明理由. (2)求CG的长.（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 题型六、解直角三角形应用与其他图形的综合问题 16.如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA交于点A,支架 CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行地面OB,篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5m, AD=0.8m,∠AGC=32° G 0 图1 图2 (1)求：∠GAC的度数， (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上 篮网吗？请通过计算说明理由.（参考数据：sin32°≈0.53） 17好的座椅可以让人坐着更舒适.交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面 和椅背，座面和椅背均可以进行调节.其纵截面如图2所示，支撑部分CA=CB=50cm,CD与水平地面垂 直，DF=30cm,FH=80cm,CD=20cm,∠CAB=37°. 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于90°时，坐起来更加舒适， 己知当座椅的座面与水平面的夹角∠FEI为10°，座面与椅背的夹角∠EFH为105时坐起来最舒适，求坐起 来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数） (sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42) 18.随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流.某种手机支架如图1所示，立 杆AB垂直于地面，其高为115cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动 悬杆可调节CD的长度，（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） D B A A 图1 图2 图3 (1)如图2，当B、C、D三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端 点D距离地面的高度； (2)调节支杆BC,悬杆CD,使得∠ABC=60°，∠BCD=97°，如图3所示，且点D到地面的距离为140cm, 求CD的长.（结果精确到lcm) B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025广西柳州三模)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC, ∠ABC=27°，BC=44cm,则高AD约为()（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 8/14 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.9.98cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm 2.(2025·吉林长春模拟预测)如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图.若AB=220厘米，则门 缝宽CD的长为() D 图① 图② A.(220-2×110sina厘米 B.(220-2×110cosa厘米 C.220-2×110tana厘米 D 220-2×110 厘米 sina 3.(2024河北模拟预测)桑梯是我国古代发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB=AC=1.5米，AD=1.2米，AC与AB的张角为a, 为保证安全，a的调整范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角a的绳索，则桑梯顶端D到地面BC的距离（单 位：米)为() D 夕 图1 图2 2.7 A.2.7.tan 20 B. C.2.7.cos 4.(2025九年级下·吉林长春专题练习)图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千 斤顶顶部高度的作用.图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，己知四条支撑杆AB,BC,CD,DA的长度均 为20cm,螺杆AC与水平地面平行.当∠DAC=a时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长为() 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 支撑杆干厅顶顶部 支撑杆 D 螺杆 水平地面 B 图1 图2 40 40 A. B.40sina C. D.40cosa sino tana 二、填空题 5.(2025江苏盐城中考真题)一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在AB上，AD=0.6m ,D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF 落在地面上的投影GH=m· D 60、 B G HC 图(1) 图(2) 6.(24-25九年级上·山西临汾阶段练习)图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图.己知滑杆 DE,箱体BC,拉杆AB的长都相等，即DE=BC=AB,点B,F在AC上，点C在DE上，支杆 DF=30cm,CE:CD=1:3,∠DCF=45°，∠CDF=30°，则拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为 cm.(结果保留根号) A 、 F E D 图1 图2 7.(2025江苏常州·三模)我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏 通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔 及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E,最长的斜拉索CE长577m,记CE与大桥主梁所 夹的锐角LCED为，那么用CE的长和a的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD=_m); 10/14 专题03 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1 题型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 4 题型三、解直角三角形应用与菱形的综合问题 8 题型四、解直角三角形应用与矩形的综合问题 13 题型五、解直角三角形应用与正方形的综合问题 17 题型六、解直角三角形应用与其他图形的综合问题 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 2.如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形，当窗钩端点 B与点 O之间的距离是的位置时（如图2），窗户打开的角的度数为． (1)求点A到的距离的长； (2)求窗钩的长度 （精确到)（参考数据： ） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）由锐角三角函数即可求出； （2）由锐角三角函数求出，然后利用，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 根据题意，可知，，． 在中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∴． 在中， 答：窗钩的长度约等于15cm． 3.露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得； （2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴平分，， ∵， ∴， 在中，， ∵米， ∴米， 则米， 故遮阳宽度为米．    （2）∵在中，， ∴米， 当从变为， 如图所示：旋转到， 则， 过点作交于点H，则， ∵在中，， ∴米， ∵， ∴米， ∴O点下降到H点的距离为米． 题型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 4.如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)汽车能安全通过 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作 于点， 交于点，根据解直角三角形的知识进行解答即可； （2）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作 于点，交于点，则， ， ， ； （2）在上取，作于点， 交于点， 交于点，当汽车与保持安全距离时， ∵汽车宽度为， ， ， ， ， ， ∴汽车能安全通过. 5.如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，可证明，即可证明结论； （2）根据四边形为平行四边形．得出．，在中，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∴四边形为平行四边形． （2）过点作于， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 在中，，即， ∴． 答：雕塑的高为． 6.现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，． (1)若．求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是平行四边形、三线合一、等边对等角 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和得，，继而得到，即可得证； （2）如图，过点作于点，延长，交于点，在中，得到，在中，得到，继而得到，可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为的长， ∵，， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴点到的距离约为． 题型三、解直角三角形应用与菱形的综合问题 7.图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2)折叠资料架的高约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图： ∵点Q是的中点， ∴， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴折叠资料架的高约为． 8.如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． (1)当时，求的长（结果保留整数）． (2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为 (2)13 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可． （2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可． 本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴． 故千斤顶升高了， 故答案为：13． 9.“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）    (1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）． (2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？ 【答案】(1) (2)的最大值为 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据，由此即可求解； （2）如图所示，，过点作于点，根据三角函数的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴． （2）解：如图所示，，过点作于点，    ∴， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 题型四、解直角三角形应用与矩形的综合问题 10.拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 如图1，作，垂足为，设，则，利用三角函数求出，如图2，作，垂足为，则，得到，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则， ， ， 如图2，作，垂足为，则， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆的长度为． 11.图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针旋转，落在的位置（如图2所示）．已知，，． (1)当旋转角为时，求点E到点的距离． (2)已知箱盖可旋转的最大角度是，求此时点到BC的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离； （2）过点作于，交于，则，，由题意可知，，．解直角，利用正弦函数定义解答即可． 【详解】（1）解：连接，，，如图所示． 由题意得：，， 是等边三角形， ． 四边形是矩形， ． 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：、两点的距离是厘米； （2）解：如图，过点作于，交于，则，， 由题意可知：，． 在中， ， （厘米）， （厘米）． 答：点到的距离约为157.3厘米． 12.某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到地面的距离的长为0.2米 (2)轿车能驶入小区，见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键； （1）过点作，垂足为，证明，在中，米，，再进一步可得答案； （2）当，米时，可得，求解米，在中，求解米，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    结合题意得：，， ， 在中，米， （米）， 米， （米）， 点到地面的距离的长为0.2米； （2）轿车能驶入小区 理由：当，米时 ∵， 米 （米）， 在中，（米）， （米）， 轿车能驶入小区． 题型五、解直角三角形应用与正方形的综合问题 13.综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度. 【答案】树的高度约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：树的高度约为． 14.在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线交于点N．经测量，点A距地面，到旗杆的距离． (1)若点N于点C重合，则旗杆的高度为________； (2)若．求旗杆的高度(结果精确到)． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）根据正方形的性质得到∠，得到，求得，于是得到结论； （2）由题意可知，，，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， 答：旗杆的高度为； 故答案为：； （2）由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 答：旗杆的高度． 15.图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求的长．（参考数据：） 【答案】(1)四边形是菱形，详见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论； （2）作于点M，解，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形  ， 理由：正方形与正方形的面积相等， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形 ． （2）解：作于点M，    在中，， ，得  ， ． 题型六、解直角三角形应用与其他图形的综合问题 16.如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长，交于点，根据题意得出，通过解求得，根据与3比较即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，， ， 又， ， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 17.好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为 (2)点距离地面的高度 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 18.随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． 一、单选题 1．（2025·广西柳州·三模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图．若厘米，则门缝宽的长为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过作于，过作于，证明，结合，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 由题意可得：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴（厘米）； 故选：B 3．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 4．（2025九年级下·吉林长春·专题练习）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，连结，设与的交点为O，由题意可知四边形为菱形，故，在中，，可求出的值，进一步可求出答案． 【详解】解：连结，设与的交点为O，如图， ， 四边形为菱形， ， 在直角三角形中，， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过作于，解直角三角形即可得到；过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 【详解】解：过作于． ． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 过作交的延长线于， ， ∴拉杆端点到水平滑杆的距离为． 故答案为：． 7．（2025·江苏常州·三模）我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为 ； 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，函数关系式，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的中点定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：． 8．（2025·福建莆田·模拟预测）年莆田举办马拉松活动引入智能四足机器人机器狗作为赛事配速员，机器狗水平行走时侧面如图所示，四边形，四边形都是平行四边形，，，，当机器狗前脚直立时，侧面如图所示，此时，，三点刚好共线，不变，，则机器狗的身长 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段合理分割，整理到直角三角形中进行求解，是解决本题的关键．图中，作于点，于点，分别求得和的长度相加即为离地面的高度；图中，作于点，易得的度数，分别判断出和的长度，相减即为的长度，进而可得的长度，减去的长度，即为机器狗的身长． 【详解】解：图中，于点，作于点，则，，， 四边形，四边形都是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·陕西咸阳·三模）如图1，这是某红色群雕主题园内的一座雕像，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点E，B，C在同一条直线上，，m，B是的一个三等分点（），四边形是矩形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若m，求雕塑的高（点E到的距离）．（结果精确到m，参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为m 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）分别证明，，即可解答； （2）过点E作，交的延长线于点P，求出m，m，在中根据三角函数，求出，可求出雕塑的高，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点E作，交的延长线于点P． 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴m． ∵， ∴m， ∴m， ∴m 在中，m，，， ∴m． ∵m， ∴雕塑的高约为m． 10．（2026·江西·模拟预测）如图（1）是一景区的标语牌，将其抽象成如图（2）所示的示意图，垂直于地面，点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形，，，． (1)求的度数． (2)求点M到地面的距离（结果保留整数．参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，正方形的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）连接，利用正方形的性质得出，得出，利用平行线的性质即可求出角的度数； （2）连接，过点B作，过点M作，H为垂足，利用锐角三角函数逐步进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点A，B，C，E在一条直线上，四边形是正方形， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）解：如图，连接，过点B作，过点M作，H为垂足. ∵， ∴.     ∵在中，， ， ∴， ， ∴在中，， ∴ 答:点M到地面的距离约为． 11．（2025九年级下·江西·专题练习）如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 12．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，图是一种小鸟创意牙签盒，图是侧面示意图，矩形是牙签盒底座的侧面，在的中点处有一水平横杠，小鸟可以绕点转动．闲置时，小鸟头顶到的距离为，嘴尖恰好在所在的直线上，将小鸟头按下，当其嘴尖转动到上的点处时，刚好能叼到从盒子里出来的牙签，此时小鸟的身体与恰好平行．经测量，点到的距离，，，． (1)求小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数； (2)求小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用三角形函数求出相应的边的长度，再根据线段之间的关系求出结果． 过点作于点，在中，可知，从而求出的度数； 过点作于点，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，在求出，在中，求出，从而可知，在中，求出，从而可求． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 则， 在中，， ， 答：小鸟从初始状态转动到叼到牙签时，旋转角的度数约为； （2）解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 点与在同一条直线上， ， ， 由旋转可知， 在中，， ， 答：小鸟在叼牙签时，嘴尖到的距离约为． 13．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，菱形的性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（2025·河北·一模）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．    (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． 【答案】(1)该介质的折射率为 (2)的长为 【分析】（1）先求出，再根据介质的“折射率”定义计算即可； （2）根据（1）中折射率分别求出，，再求出，，根据即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 即该介质的折射率为； （2）解：∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 15．（2023·浙江宁波·一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为． (1)当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）； (2)根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)至少调整到 【分析】（1）连接，延长交于点，延长交于点，利用，，求出的度数，利用三角函数求出，，最后用求出最后结果． （2）由（1）可知，所以，根据题意得出，利用已知可求出，再得出最后结果即可． 【详解】（1）如图，连接，延长交于点，延长交于点． 由菱形的轴对称性可知，，， 为与之间的距离，即两滑槽间的距离， ，， ， ． 同理， ， 两滑槽间的距离为． （2）如图，由（1）可知， ， 由题意可得，， 即， ， ， ， 至少调整到． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $