第二十六章 反比例函数（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版九年级下册

第二十六章 反比例函数 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 易错01　根据反比例函数的定义求参数 易错总结 1. 忽略“k≠0”：误将形如y = \frac{k}{x}（k为常数）直接判定为反比例函数，漏看k≠0的限制。 2. 混淆函数形式：对y = kx^{-1}等等价形式不熟悉，错判函数类型。 3. 参数范围考虑不全：求参数时，仅满足形式却未验证k的取值是否符合题意。 解题技巧 1. 紧扣定义形式：确认函数为y = \frac{k}{x}（k≠0）或y = kx^{-1}（k≠0）的形式。 2. 双重验证参数：先根据定义列方程求参数，再代入验证k≠0。 3. 结合题意分析：若函数有实际背景，需额外保证自变量、函数值的合理性。 例1：（2025九年级下·全国·专题练习）若是反比例函数，那么m的值是 ． 易错02　已知反比例函数分布的象限求参数范围 易错总结 1. 混淆k的符号与象限的关系：误将“k>0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。 2. 忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。 3. 增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。 解题技巧 1. 对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0；二、四象限→k<0）。 2. 验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。 3. 结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。 例2：（24-25九年级上·全国·期末）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 易错03　已知反比例函数的增减性求参数 易错总结 1. 忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小/增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导致参数判断错误。 2. 混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应关系。 3. 漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。 解题技巧 1. 锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。 2. 符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0；增→k<0）。 3. 双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。 例3：（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 易错04　实际问题与反比例函数的图象问题 易错总结 1. 忽略实际意义的限制：图象漏画自变量、函数值的正半轴范围（实际问题中常为正数）。 2. 混淆图象与实际量的对应：误将图象上的点与实际情境中的量对应错误，导致分析偏差。 3. 忽略k的实际意义：求k时未结合实际背景验证其正负（实际问题中k常为正）。 解题技巧 1. 限定变量范围：根据实际情境，确定自变量、函数值的取值范围（如正数），只画对应象限的图象。 2. 结合情境析点：将图象上的点对应实际量（如“x=2对应时间2小时”），再分析关系。 3. 验证k的合理性：求k后，结合实际意义确认其符号与数值是否符合题意。 例4：（2025·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 易错05　反比例函数中利用k值求图形的面积 易错总结 1. 忽略k的绝对值：计算面积时忘记用|k|，直接代入k的值，导致面积为负数。 2. 记错面积公式：混淆了"矩形面积等于|k|"和"三角形面积等于|k|/2"。 3. 找不到"关键点"：不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。 4. 多算或少算：对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。 解题技巧 1. 核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 2. 解题步骤： - 找：找到双曲线上的点P(x, y) - 作：过P作x轴、y轴的垂线 - 算：利用矩形或三角形面积公式结合|k|求解 3.  复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用|k|计算的基本图形，再求和或差。 例5：（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 易错06　反比例函数与几何图形的综合问题 易错总结 1. 坐标关系不清：不会利用几何图形的性质（如中点、垂直、距离）来表示点的坐标。 2. 联立方程出错：解一次函数与反比例函数的方程组时，计算失误或漏根。 3. 忽略图像位置：不结合函数图像所在象限分析，导致求出的解不符合几何图形的实际位置。 4. 面积计算复杂：面对组合图形时，不知如何分割或补全，导致面积计算错误。 解题技巧 1. 核心思路："以点为桥，坐标为媒"。把几何图形的性质转化为点的坐标关系。 2. 解题步骤： - 设点：设出函数图像交点或关键点的坐标。 - 列关系式：根据几何性质（如平行、垂直、距离、面积）列出关于坐标的方程。 - 求坐标：联立函数解析式，解方程组求出点的坐标。 - 算结果：将求出的坐标代入，计算最终要求的长度、面积等。 例6：（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ． 7．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 9．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 10．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 12．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 13．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 14．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象经过点，并交双曲线的另一支于点，交轴于点，那么在轴上是否存在一点，使得的面积为6？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 17．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 18．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 反比例函数 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 易错01　根据反比例函数的定义求参数 易错总结 1. 忽略“k≠0”：误将形如y = \frac{k}{x}（k为常数）直接判定为反比例函数，漏看k≠0的限制。 2. 混淆函数形式：对y = kx^{-1}等等价形式不熟悉，错判函数类型。 3. 参数范围考虑不全：求参数时，仅满足形式却未验证k的取值是否符合题意。 解题技巧 1. 紧扣定义形式：确认函数为y = \frac{k}{x}（k≠0）或y = kx^{-1}（k≠0）的形式。 2. 双重验证参数：先根据定义列方程求参数，再代入验证k≠0。 3. 结合题意分析：若函数有实际背景，需额外保证自变量、函数值的合理性。 例1：（2025九年级下·全国·专题练习）若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 易错02　已知反比例函数分布的象限求参数范围 易错总结 1. 混淆k的符号与象限的关系：误将“k>0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。 2. 忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。 3. 增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。 解题技巧 1. 对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0；二、四象限→k<0）。 2. 验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。 3. 结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。 例2：（24-25九年级上·全国·期末）若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 易错03　已知反比例函数的增减性求参数 易错总结 1. 忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小/增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导致参数判断错误。 2. 混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应关系。 3. 漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。 解题技巧 1. 锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。 2. 符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0；增→k<0）。 3. 双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。 例3：（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数是常数，的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二，四象限，在每一象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 易错04　实际问题与反比例函数的图象问题 易错总结 1. 忽略实际意义的限制：图象漏画自变量、函数值的正半轴范围（实际问题中常为正数）。 2. 混淆图象与实际量的对应：误将图象上的点与实际情境中的量对应错误，导致分析偏差。 3. 忽略k的实际意义：求k时未结合实际背景验证其正负（实际问题中k常为正）。 解题技巧 1. 限定变量范围：根据实际情境，确定自变量、函数值的取值范围（如正数），只画对应象限的图象。 2. 结合情境析点：将图象上的点对应实际量（如“x=2对应时间2小时”），再分析关系。 3. 验证k的合理性：求k后，结合实际意义确认其符号与数值是否符合题意。 例4：（2025·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断； 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 易错05　反比例函数中利用k值求图形的面积 易错总结 1. 忽略k的绝对值：计算面积时忘记用|k|，直接代入k的值，导致面积为负数。 2. 记错面积公式：混淆了"矩形面积等于|k|"和"三角形面积等于|k|/2"。 3. 找不到"关键点"：不会从复杂图形中，找出在双曲线上的点，并向坐标轴作垂线。 4. 多算或少算：对由多个基本图形组合成的复杂图形，面积计算容易出错。 解题技巧 1. 核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 2. 解题步骤： - 找：找到双曲线上的点P(x, y) - 作：过P作x轴、y轴的垂线 - 算：利用矩形或三角形面积公式结合|k|求解 3.  复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用|k|计算的基本图形，再求和或差。 例5：（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（   ） ①与的面积相等； ②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； ③与始终相等； ④当点A是的中点时，点一定是的中点 A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数所表示的意义，对①②③④分别进行判断． 【详解】解：设A点坐标为，则P点坐标为，B点坐标为， ①A、为上的两点，则，正确； ②四边形的面积，只有时，即，四边形的面积始终等于矩形面积的一半才能成立，故选项错误； ③只有当的横纵坐标相等时，，错误； ④当点A是的中点时，即，即， 此时点坐标为，即，， 故当点A是的中点时，点一定是的中点，正确． 故选：B． 易错06　反比例函数与几何图形的综合问题 易错总结 1. 坐标关系不清：不会利用几何图形的性质（如中点、垂直、距离）来表示点的坐标。 2. 联立方程出错：解一次函数与反比例函数的方程组时，计算失误或漏根。 3. 忽略图像位置：不结合函数图像所在象限分析，导致求出的解不符合几何图形的实际位置。 4. 面积计算复杂：面对组合图形时，不知如何分割或补全，导致面积计算错误。 解题技巧 1. 核心思路："以点为桥，坐标为媒"。把几何图形的性质转化为点的坐标关系。 2. 解题步骤： - 设点：设出函数图像交点或关键点的坐标。 - 列关系式：根据几何性质（如平行、垂直、距离、面积）列出关于坐标的方程。 - 求坐标：联立函数解析式，解方程组求出点的坐标。 - 算结果：将求出的坐标代入，计算最终要求的长度、面积等。 例6：（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数图象所在的象限，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴； 故选：A． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，反比例函数的性质，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设使用蓄电池时，电流与电阻的解析式为， 根据图象可得：， ∴电流与电阻的解析式为， ∴、该蓄电池的电压为，原说法正确，不符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 、当电阻越大时，蓄电池的电流越小，原说法错误，符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义．先求得，，再求得，证明四边形是正方形，根据列式计算即可求解． 【详解】解：将点代入，得， ∴， ∵C为的中点， ∴点C的坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数图像经过象限与k的关系是解题的关键．根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）已知反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质、解不等式等知识，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．先根据反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每一个象限内，随的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 10．（24-25九年级上·湖南湘西·阶段练习）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式． （1）设，则，，由轴，轴，得到点E的横坐标为a，点F的纵坐标坐标为b，分别把，代入函数，得，，因此，，根据即可求解； （2）由（1）有，，，可求得，进而得到，把相关数据代入，解方程后进行取舍即可求解． 【详解】解：（1）设 ∵点P是反比例函数（，）图象上一动点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b， 把代入函数，得， ∴， ∴， 把代入函数，得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． （2）由（1）有，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴，，， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． （2）解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 12．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 13．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式； （1）把点A的坐标代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围； （3）当时，确定函数关系式，求出当和时相应的x的值，根据反比例函数的图象和性质，确定x的取值范围. 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：， ∴ 因此k的值为4. （2）解：反比例函数每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴. （3）解：当时，反比例函数的关系式为，此时在每个象限内，y随x的增大而减小，如图所示，当时图象都在第三象限， 当时，解得， 当时，解得， ∴x的取值范围为． 14．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为2，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象经过点，并交双曲线的另一支于点，交轴于点，那么在轴上是否存在一点，使得的面积为6？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由的面积为2，点的坐标为．可求得的值，进而求得点坐标，代入反比例函数即可； （2）先求出一次函数解析式，再利用一次函数与反比例函数构成方程组求出点坐标，设点的坐标为，利用的面积为建立方程即可求解． 【详解】（1）解：由的面积为2，点的坐标为． 得， 解得， 点的坐标为． 把点代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：存在．理由如下： 把代入，得， 解得， 一次函数的表达式为， 点的坐标为． 联立 解得 点的坐标为． 设点的坐标为， 则， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力，关键掌握用待定系数法解函数的解析式． 16．（2025·江西·模拟预测）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式即可； （2）设点的坐标为，再根据的面积恰好等于正方形的面积的，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，四边形为正方形， ， ， 把代入得：， ， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：设点的坐标为， ， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或． 17．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 18．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上． (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1)的长度为3 (2)①；②当点坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质，推出，再利用勾股定理求的长； （2）①设，则，利用勾股定理列方程，求出，可得，将点代入反比例函数解析式求解即可； ②先求出直线的解析式，再求反比例函数图象与直线的交点的坐标，延长至点G，使得，利用垂直平分线的性质说明，进一步说明当点P为与的交点时，最小，此时的周长最小，再求出直线，的解析式，联立解方程可得点P的坐标． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得到， ，，， 由勾股定理得，． 的长度为3． （2）解：①设，则， 又，， 由勾股定理得，， 即，解得， ，即， 将点代入反比例函数，可得， 反比例函数解析式为． ②设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得， 直线的解析式为． 解方程得，，， 经检验，，是方程的解， 当时，，故． 如图，延长至点G，使得，连接，， 又， 垂直平分， ， ， 当点P为与的交点时，有最小值时． 的周长等于，的长为定值， 当有最小值时，的周长最小， ， E为的中点， 设，又，， ，解得， ， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得， 直线与的交点坐标为， 当点坐标为时，的周长最小． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $