第二十六章 反比例函数（必备知识+9大题型+分层训练）（复习讲义）数学人教版九年级下册

第二十六章 反比例函数（复习讲义） 1. 了解反比例函数的定义，体会反比例函数各知识模块之间的整体联系。 2. 能用待定系数法确定反比例函数的关系式。 3. 理解反比例函数图象的基本画法（列表、描点、连线），掌握其图象特征（双曲线、所在象限与k的关系），并能利用图象性质（不同象限内y随x的变化规律）分析函数变化。 4. 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能用“图象上点向坐标轴作垂线所围矩形/三角形面积与k的关系”解决相关问题。 5. 能利用反比例函数解决实际问题：掌握“建立模型→列方程求k→确定关系式→分析变量取值→解决问题”的步骤，体会其在实际中的应用价值。 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 题型一　根据定义判别是否反比例函数 【例1】（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习）下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数且）． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A：不符合反比例定义； B：符合反比例函数定义； C：不符合反比例定义； D：不符合反比例定义； 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）下列函数y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键； 根据反比例函数的定义逐项判定即可． 【详解】解： A．x，y是x的正比例函数，故本选项不符合题意； B．，当时，y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； C．，y是的反比例函数，故本选项不符合题意； D．，y是x的反比例函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，不符合反比例函数的定义； B. 可化为，符合反比例函数的定义； C. ，不符合反比例函数的定义； D. ，不符合反比例函数的定义； 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做反比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故不符合题意； B、不是反比例函数，故不符合题意； C、是反比例函数，故符合题意； D、不是反比例函数，故不符合题意； 故选C． 题型二　判断(画)反比例函数图象 【例2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数的图象特点求解即可． 【详解】解：函数的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是 故选：D 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息． 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案． 【详解】解：一次函数与轴交于， 而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴， 选项、选项错误； 又两个函数中的值相同， 时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限； 时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， 选项错误，选项正确． 故选：． 【变式2-2】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，反比例函数的图像与性质，根据一元二次方程没有实数根，得到，再求出函数的解析式，最后判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴当时，的函数图像位于第四象限； 当时，的函数图像位于第三象限； ∴函数的图像位于三、四象限， 故选：A． 题型三　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称即可求得的坐标． 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出点和点关于原点对称，得到． 【详解】解：点和点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，且线段恰好过坐标原点， ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为 ． 【答案】10 【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， 线段经过原点， 由双曲线的对称性可知，点坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型四　比较反比例函数值或自变量的大小 【例4】（25-26九年级上·北京·阶段练习）若点和在反比例函数图象上，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数的解析式得到该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点和都在第一象限，且， ∴． 故答案为： 【变式4-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的图象与性质，解题的关键是利用“点在反比例函数图象上则其横纵坐标满足函数解析式”求出参数，再结合反比例函数在不同象限的函数值变化规律分析自变量的取值范围． 将点代入,得；由图象在一、三象限，第一象限（满足），对应；第三象限y随x增大而减小，时,故满足的；综合得或. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴2， 解得， 在第一象限，函数值y都是正数，所以时，， 在第三象限，函数值y随x的增大而减小， 所以时，， 综上所述，函数值时，自变量x的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 【变式4-3】（2025九年级·四川成都·专题练习）点和点在反比例函数（k为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小． 判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 题型五　已知反比例函数的解析式求图象和性质 【例5】（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习）对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，且，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小、当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：A、反比例函数中，， 图象在第一、第三象限，本选项说法正确，不符合题意； B、当时，，故点在这个函数图象上，不符合题意； C、在反比例函数中，若，则，故该说法错误，符合题意； D、当时，随的增大而减小，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第二、四象限 C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及相关性质，掌握相关知识是解题的关键． 把代入解析式看左边是否等于右边即可；根据反比例函数的选择性当，图象在第二、四象限；只有在第二象限时，当时，；当，且k，y随x的增大而增大． 【详解】解：A、把代入解析式得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意； B、因为，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、在第二象限时，当时，，故本选项错误，符合题意； D、当，且，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．函数图象分布在第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟记性质是解题的关键． 先求出函数解析式，再根据函数性质依次判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∴函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【变式5-3】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A．正比例函数的解析式是 B．与都随的增大而增大 C．两个函数图像的另一交点坐标为 D．当或时， 【答案】D 【分析】根据交点坐标求出正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一分析各选项的正确性． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法，交点问题的解答思路是解题的关键． 【详解】解：由正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 得， 故， 根据图象的中心对称，得另一交点， 随的增大而减小，在每一个象限内，随的增大而增大． 当或时，， 故A，B，C都是错误的，D是正确的， 故选：D． 题型六　已知反比例函数的定义求函数的解析式 【例6】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知与成正比例，与成反比例．当时，，． (1)求关于的函数表达式； (2)在平面直角坐标中，关于的函数图象上有，两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数、反比例函数的定义及性质，以及利用坐标求图形面积（割补法），熟练掌握函数的定义、用待定系数法求函数表达式和割补法求平面图形面积是解题的关键． （1）根据正比例和反比例的定义设出函数关系式，再代入已知值求出比例系数，进而得到关于的函数表达式； （2）先根据函数表达式求出、两点坐标，再通过分割图形（用矩形面积减去几个直角三角形面积）的方法计算的面积 ． 【详解】（1）解：∵ 与成正比例，设（）；与成反比例，设（） ∴ ，令，则 把，代入得： ∴ 关于的函数表达式为 （2）解：当时，代入，得， ∴ 当时，代入，得， ∴ ∴ 【变式6-1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知 与x 成反比例．当 时，；当 时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求 y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的待定系数法，已知自变量的值求函数值． （1）利用成反比例的定义可设，将已知的两组值代入即可求得k的值，从而解答； （2）把代入函数，即可解答． 【详解】（1）解：∵ 与x 成反比例， ∴设 则由题意，得， 解得 所以． （2）解：当时，． 【变式6-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知函数与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，正比例函数和反比例函数的定义．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）由题意可设，，即得出，再将，；，，代入求解即可； （2）将代入（1）所求解析式即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例，与成正比例， ∴可设，． ∵， ∴． ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴； （2）解：当时，． 【变式6-3】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键． （1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，． 题型七　一次函数与反比例函数的交点问题 【例7】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，一次函数和反比例函数的图像交于点与点B． (1)a的值为_______；反比例函数关系式_______． (2)若，结合图像直接写出x的取值范围________． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)3 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，根据图象即可求解； （3）设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可． 【详解】（1）解；将代入中，得， 解得； ∴ 将代入中，得， ∴反比例函数关系式． 故答案为：，； （2）解：由， 解得 或， 所以，， 观察图象，若，则或； （3）解：设一次函数与轴交于点， 如图，连接、， ∴． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数(k为常数，)的图象与反比例函数(m为常数，)的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直接写出关于 x 的不等式 ． (3)点P在x轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数图象与不等式的关系及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“点在函数图象上则横纵坐标满足函数解析式”求参数，结合函数图象位置分析不等式，依据等腰三角形“腰相等”的性质计算点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求，得一次函数解析式；再将点代入一次函数求，最后将代入反比例函数求，得反比例函数解析式； （2）结合两函数在第一象限的交点，观察图象确定一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值； （3）先计算的长度，分和两种情况，利用两点间距离公式或对称性求点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∵点在一次函数上， ∴，即． 又∵在反比例函数上 ∴，解得． ∴反比例函数解析式为； （2）解：由两函数图象可知，在第一象限交点为，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 故不等式的解集为； （3）解：先算的长度； ①当时 ∵，， ∴点在轴上，． 若在左侧：，即； 若在右侧：，即； ②当时， ∵，，在轴上， 设，则， 解得或（为点，舍去），即； 故点的坐标为、、． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数表达式； (2)过点B作轴交y轴于点P，求的面积： (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或． 【变式7-3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）图象法求出解集即可； （3）点在轴上，设，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴，， 把，代入，得： ，解得， ∴； （2）∵， ∴， 由图象可知，或； （3）∵， ∴当时，，当 ∴直线与轴的交点坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴上，设， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 题型八　利用反比例函数解决实际问题 【例8】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【变式8-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 【变式8-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）为测定一批小灯泡的使用寿命，某实验人员从一批灯泡中随机抽取了一个小灯泡，拼接成如下串联电路图（图1），实验人员收集并整理了滑动变阻器从点移动到点过程中的相关数据，并绘制成函数图象（图2）．已知电流与电阻成反比例（即，为电源电压），在串联电路中，（为小灯泡电阻）， (1)直接写出关于的函数表达式为__________； (2)小灯泡电阻的值为__________，滑动变阻器最大电阻为__________； (3)若小灯泡额定电流为，在不改变电源电压的情况下，为保证实验准确性，实验时滑动变阻器电阻应控制在什么范围． 【答案】(1) (2)5；20 (3)实验时滑动变阻器电阻 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求解析式，解方程和不等式， （1）根据题意关于的函数表达式为，结合过点采取待定系数法求解析式即可； （2）结合反比例函数的性质分别求的最大值和最小值，结合电路图中求解即可； （3）根据题意列出不等式，结合已知的电阻求得范围即可． 【详解】（1）解：根据题意知，关于的函数表达式为，且过点，则 ，解得， 故关于的函数表达式为； 故答案为：； （2）解：根据关于的函数表达式为可知，当最小时，取得最大值，此时滑动变阻器接入的值最小为0，则， 当最大时，取得最小值，此时滑动变阻器接入的值最大，则，解得， 故答案为：5；20； （3）解：由题意得，解得， 则实验时滑动变阻器电阻应控制在． 【变式8-3】（24-25九年级下·湖北·阶段练习）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用； （1）根据题意得出点B坐标，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，再求出点C坐标，可得自变量的取值范围； （2）根据题意得出顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，然后再求出点D坐标，可得自变量的取值范围； （3）分两种情况：①在滑道上时，②在滑道上时，分别求出时对应的x的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：设滑道的函数解析式为， ∵点B到轴的距离是，距离水平面（轴）高度为， ∴， 代入得， ∴， ∴滑道的函数解析式为． 当时，即， 解得：， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）∵最高点到轴的距离是，到水平面的距离是 ∴顶点坐标为， ∴设滑道的函数解析式为， 把代入得：， 解得： ∴滑道的函数解析式为， 令，即， 解得：，， ∴， ∴自变量的取值范围是； （3）分两种情况： ①在滑道上时， 令，即， 解得：， ∴滑过的水平距离为； ②在滑道上时， 令，即， 解得：，，均满足， 此时滑过的水平距离为或， 综上，滑过的水平距离为或或， 故答案为：或或． 题型九　特殊反比例函数的图象和性质 【例9】（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 【变式9-1】（24-25九年级上·广西贵港·期中）（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)0；图见详解 (2)①减小②下，1；③ (3)2024 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)减小；右，； 【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． （1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得 ， ， 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称. 故答案为： 减小；右，； . 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下列函数，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数或，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】：解：A. 是正比例函数，不符合题意；     B. 当时，不是反比例函数，不符合题意；     C. 是反比例函数，符合题意；     D. 不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则k的取值是（    ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的解析式的求法．将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入可得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知点是反比例函数图象上的两点，若，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．的图象在二、四象限，因为，A在第四象限，B在第二象限，所以． 【详解】解：∵图象在二、四象限， 且， ∴A在第四象限，B在第二象限， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限内 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．若点都在该函数的图象上，且，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由可得比例系数是，图象分布在第二、第四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 故A、B、D都是错误的， C是正确的， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26九年级上·北京·阶段练习）请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式是，由函数图象可知点在函数图象上，可得：，解得：，从而可知反比例函数的解析式是． 【详解】解：设反比例函数的解析式是， 由函数图象可知点在函数图象上， ， 解得：， 反比例函数的表达式是． 7．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，函数与图象相交于点，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数比较大小，解题关键是树立数形结合思想，准确利用图象求解． 利用两个函数交点求解即可． 【详解】解： ∵函数与的图象相交于点，两点， ∴由图象得，当或时，函数的图象在上面， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象经过该反比例函数图象上的点． (1)求反比例函数解析式 (2)求一次函数图象与x轴的交点C坐标 (3)点P为反比例函数图像上一点，的面积为3，求点P坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2)点C的坐标为 (3)点或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象及性质是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式为，然后把点代入得m的值，进而求出一次函数解析式，最后问题可求解； （3）设点，然后可知的高为，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）可知：反比例函数解析式为， ∴，即 ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 令，则有，解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：设点，由（2）可知：， ∴， 解得：或， ∴点或． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川眉山·期中）关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可． 【详解】①当时，，则函数图象一定经过点，故①正确； ②∵，∴函数图象在第一、三象限，即②正确； ③∵，∴函数值分别在第一象限和第三象限中，随的增大而减小，即③错误； ④、、为双曲线上的三点， ∴， ∴，故④正确． 即①②④三个正确； 故选：C． 2．（24-25九年级下·河南开封·期末）点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据反比例函数的解析式，确定其增减性，再分象限，分别比较相关函数值的大小，再得出结论． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵点，，在反比例函数图象上， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）函数 和 在同一坐标系中的图象可以大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分和两种情况找出反比例函数图象与一次函数图象经过的象限是解题的关键，当时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限；当时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限， 当时，， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，符合题意的只有选项， 故选：． 二、填空题 5．（2025·山东青岛·模拟预测）若和是反比例函数图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 6．（24-25九年级上·全国·期中）反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大，得出，再解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内y值随x值的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为： 7．（2025·广东东莞·一模）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 8．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）已知反比例函数与正比例函数交于、两点，点在轴上，，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】该题考查了正反比例函数综合，勾股定理，直角三角形的性质，先求出、两点坐标，勾股定理求出，再求出，即可解答． 【详解】解：联立， 解得或， ， ， ∵， ∴为直角三角形，为中线， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 10．（2024·北京·三模）如图1，直线与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将沿直线翻折，点O落在第一象限内的点E处，与反比例函数的图像交于点F，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式为，把代入即可得到结论； （2）设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式为，求得点，点，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到，把代入中即可得到结论； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数y的图像交于点和点， ∴把代入得，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得，； （2）设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，当时，， ∴点，点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ， ， 把代入中得，， ； 11．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 12．（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务： (1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交（答案不唯一）；函数是由图象沿向右平移个单位； (4)；不等式的解集为或． 【分析】本题考查了新定义函数，反比例函数，掌握函数图象与性质是解题的关键． （）把和，分别代入即可求解； （）即可数学思想方法即可求解； （）根据函数图象即可求解； 根据函数图象平移即可求解； （）设直线与轴交于点，由题意联立方程，解得，，则，，根据函数图象即可求出不等式的解集，由得当，则，然后通过的面积为，再代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （2）解：在上述研究过程中，涉及到的数学思想有：数形结合思想和类比思想， 故选：； （3）解：函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交； 函数是由图象沿向右平移个单位； （4）解：如图，设直线与轴交于点， 由题意联立方程：，解得：，， ∴，， ∴根据图象可得不等式的解集为或， 由得当， ∴， ∴， ∴的面积为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十六章反比例函数（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解反比例函数的定义，体会反比例函数各知识模块之间的整体联系。 2.能用待定系数法确定反比例函数的关系式。 3.理解反比例函数图象的基本画法（列表、描点、连线），掌握其图象特征（双曲线、所在象限与k的关 系)，并能利用图象性质（不同象限内y随x的变化规律）分析函数变化。 4.理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能用“图象上点向坐标轴作垂线所围矩形三角形面积与k的 关系”解决相关问题 5能利用反比例函数解决实际问题：掌握“建立模型→列方程求k→确定关系式→分析变量取值→解决问题” 的步骤，体会其在实际中的应用价值。 知识图谱梳理 因基础 y=X/k形如(k为常数，k0的函数称为反比例函数 反比例函数的定义 待定系数法确定反比例函数关系式 确定反比例函数的关系式 1画反比制利函数的图象的基本步赛：列表、描点、连线 2反比例函数的图象待征：反比例函数的图象是双曲线，它有两 个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限 反比例函数的图象和性质 当k0时，双曲线的两个分支分别位于第一 象限，在每个象限内，y值随x值的帽大而减小 反比例函数 3反比侧函数的性质 当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四 象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大 任意一点作x轴、y轴的垂线，所得柜形的面积为 k的绝对值，三角形的面积k的绝对值的一半 反比例函数中的比例系数k的几何意义 1基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用 函数的图象和性质等知识解决题 2一股步骤如下： (1)审清题意(2)由题目中的已知条件，列出方程，天 出待定系数(3)写出函数解析式，并注意解析式中变里的取值范围(4) 利用反比例函数解决实际问题 利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题 3.反比例函数在其他学科中的应用 教材要点精析·夯重点 1/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy=k ，或表示为y=,其中k是不等于零的常数 般地，形如y=k (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变 量x的取值范围是不等于0的一切实数， 特别说明：()在y=中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取 值范围是x≠0，函数y的取值范围是y≠0.故函数图象与x轴、y轴无交点. =k(k≠0)可以写成y=众1(k≠0)的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问 (2)y=二 题时应特别注意系数k≠·这一条件。 (3)y=(k≠0)也可以写成y=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k,从而得到 反比例函数的解析式 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=上中，只有一个待定系数k,因 此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： (1)设所求的反比例函数为：y=二(k≠0)； (2)把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程： (3)解方程求出待定系数k的值； (4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=《 中 三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时， 只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数： (2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接， 切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相 2/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交： (4)反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反 比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 特别说明：（1)若点(a,b)在反比例函数y=的图象上，则点(-4，-b)也在此图象上，所以反比例函 数的图象关于原点对称； (2)在反比例函数y=(k为常数，k≠0)中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能 达到x轴和y轴。 3.反比例函数的性质 (1)如图1，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而减小 (2)如图2，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而增大 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函 数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推 断出k的符号. 四、反比例函数y=《(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线y=上(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为内. 3/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过双曲线y=冬(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为圆 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围 成的面积始终是不变的 五、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题， 2.一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 (2)由题目中的己知条件，列出方程，求出待定系数 (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 (1)当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； (2)当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数： (3)在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； (4)电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 考点题型突破拓思维 题型一根据定义判别是否反比例函数 【例1】(25-26九年级上·湖南常德阶段练习)下列函数是反比例函数的是() A.y=x B.y-1 C.y=x2 D.y=1 x 【变式1-1】(25-26九年级上山东淄博·阶段练习)下列函数y是x的反比例函数的是() C.y= D.y=3x 1 A.y=V3x B.y= x 【变式1-2】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习)下列函数中，y是关于x的反比例函数的是() A.y=2x B.2xy=3 C.y= 2 x-1 D.y=2-1 【变式1-3】(25-26九年级上·湖南邵阳·阶段练习)下列关系式中，y是x的反比例函数的是() 1 A.y=- 2 x-2 B.y= 1 C.y= D.y= 2x 3 题型二判断（画反比例函数图象 4/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例2】（24-25九年级上·河北唐山期末)函数y=的图象大致是() 【变式2-1】(24-25九年级上陕西西安期末)反比例函数y=和一次函数y=k红+3k≠0)在同一平面直 角坐标系中的大致图象可能是() B 【变式2-2】(24,25九年级上甘肃张掖阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2的一支 曲线是() ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 【变式2-3】(24-25九年级上河北沧州期中)已知关于x的一元二次方程x2=m没有实数根，则函数 y内的大致图像是(） 5/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】(2425九年级上山东淄博期末)已知反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=mxm≠0 的图象相交于点A,B.若A点的坐标为2,5)，则B点的坐标为 【变式3-1】(24-25九年级上湖南永州期末)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AB0的边A0在x轴上， 且A0=3,反比例函数y=-6的图象经过点B,延长B0,与反比例函数y=-6的图象交于点P,则点P的 坐标为 B A 0 【变式3-2】(2425九年级上四川绵阳期末)已知点A(2,m)和点B-2,-3)都在反比例函数y=《(k为 常数，k>0)的图象上，且线段AB恰好过坐标原点，则m的值为 【变式3-3】(24-25九年级上安徽合肥阶段练习)如图，A,B是双曲线y=《(k是常数且k≠0)上两 点，线段AB经过原点，BC∥x轴，AC⊥BC于点C,若ABC的面积为20，则k的值为」 6/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四比较反比例函数值或自变量的大小 【例4】(25-26九年级上北京阶段练习)若点4x,l和B,4利在反比例函数y=2图象上，则x x3(填“><”或=”). 【变式41】(25-26九年级上山东淄博阶段练习)若点4(m-2)在反比例函数y=6的图象上，则当函数 值y≥-2时，自变量x的取值范围是」 【变式4-2】(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)在反比例函数y=2-m的图象上有两点 Axy),B(x2M2),当x1<0<x2时，有>y2,则m的取值范围是 【变式43】(2025九年级四川成都专题练习)点M(,和点N(5,,)在反比例函数y=2-2+3(k 为常数)的图象上，若x<0<x?,则，，0的大小关系为」 题型五己知反比例函数的解析式求图象和性质 【例5】(25-26九年级上湖南常德阶段练习)对于反比例函数y=。,下列说法不正确的是(） X A.这个函数的图象分布在第一、三象限 B.点(2,3)在这个函数图象上 C.若图象上有两点A(x,y),Bx2,),且x>x2,则片<2 D.当x>0时，y随x的增大而减小 【变式5-1】(25-26九年级上安徽安庆阶段练习)已知反比例函数y=-2，下列结论不正确的是() A.图象经过点(-1,2) B.图象在第二、四象限 C.当x>-1时，y>2 D.当x<0时，y随着x的增大而增大 7/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-2】(24-25九年级上贵州贵阳阶段练习)反比例函数y=的图像经过点(2，，则下列说法错误 的是() A.k=2 B.该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.函数图象分布在第一、三象限 D.y随x的增大而减小 【变式5-3】(24-25八年级下河南洛阳·期末)己知正比例函数片=kx的图象与反比例函数为=的图象 相交于点A(3,-5),下列说法正确的是() 5 A.正比例函数的解析式是乃=。x B.片与都随x的增大而增大 C.两个函数图像的另一交点坐标为-3，-5 D.当x<-3或0<x<3时，y2<y1 题型六己知反比例函数的定义求函数的解析式 【例6】(24-25八年级下·浙江杭州期末)己知y与z成正比例，z与x成反比例.当x=-4时，z=3, y=4」 (1)求y关于x的函数表达式： (2)在平面直角坐标中，y关于x的函数图象上有A,B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求 OAB的面积. 【变式6-1】(2025九年级上全国专题练习)已知y+a与x成反比例.当x=-时，y=5;当x=-} 2 时，y=2 (I)求y与x的函数表达式： (2)当x=2时，求y的值. 【变式6-2】（24-25九年级上河南郑州期中)已知函数y=-y2,,与x成反比例，与x成正比例，且 当x=-1时，y=-4:当x=2时，y=5. ()求y与x之间的函数解析式； 8/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当x=4时，求y的值. 【变式6-3】(24-25八年级上上海长宁期末)己知y=y,+y2,并且片与(x-2)成正比例，与x成反比 例，当x=-1时，y=3:当x=4时，y4 7 (I)求y关于x的函数解析式： (2)求x=√5-√2时的函数值. 题型七一次函数与反比例函数的交点问题 【例7】(25-26九年级上天津滨海新阶段练习)如图，一次函数%=之-1和反比例函数，=的图像 交于点Aa,I与点B. (1)a的值为；反比例函数关系式y2= (②)若乃<2，结合图像直接写出x的取值范围 (3)连接0A、0B,求A0B的面积S4oB· 变式71】(25-26九年级上山东淄博阶段练习)如图，一次函数y=:+k为常数，片≠0的图象与 反比例函数y=”mm为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点4(L,m,与x轴交于点B(-3,0). B (1)求一次函数和反比例函数的解析式. 9/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 m (2)直接写出关于x的不等式x+兰>” 4 x (3)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标. 【变式7-2】(25-26九年级上山东阶段练习)如图，直线片=kx+b与双曲线为=上相交于 A-2,3,B(m,-2)两点. (1)求y2对应的函数表达式： (②)过点B作BP∥x轴交y轴于点P,求△ABP的面积： (3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b<上的解集」 【变式7-3】(25-26九年级上·山东阶段练习)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y=m(m≠0)的图象相交于点A1,2,Ba,-. (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (②)请直接写出不等式：+b-m<0的解集. (3)x轴上是否存在一点P,使S△4BP=S△4OB？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由. 题型八利用反比例函数解决实际问题 【例8】(2025：宁夏吴忠·二模)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热 10/21