第二十六章 反比例函数（单元测试·提升卷）数学人教版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是反比例函数的是：（　　） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 3．已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 4．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．请写出y与的函数关系式（   ） A． B． C． D． 6．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 7．如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（   ） A．4 B．6 C． D． 9．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A．B．C．D． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 12．已知函数与的图象的一个交点坐标是，则的值为 ． 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则该用电器可变电阻R应控制范围是 ． 14．函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 15．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为 ． 16．如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P． （1） ； （2）若，则m的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 18．如图，反比例函数的图象上有，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数与直线的表达式； (2)点M为轴上一个动点，若，求点M的坐标． 19．已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 20．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 21．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 22．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 23．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； (2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果） (3)沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离． 24．在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)若，当点F运动到边的中点时， ①则点E的坐标为______； ②连接、，则和的关系是______； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式． 25．如图，直线与双曲线的图象交于两点． (1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； (2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； (3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章反比例函数能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D 力 C C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-1 26 13.R≥3 14.x>1 15.12 16.12;4 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：：y-2与x+3成反比例函数， y-2= 术+3’ 当x=2时，y=-3, k=(-3-2)×(2+3)=-25, ·y-2=-25 x+3 x十3+2：…4分 y= 25 (2)解：当y=7时，7=-25 +2, x+3 X=-8.6分 18. 【详解】(1)设反比例函数的表达式为：y=,把A(-2,6)代入得：k=-12 ys2 x 又：B,D在y=-12图象上 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .n=-12 .B(-12,1) 设直线AB的表达式是：y=kx+b,把A(-2,6),B(-12,1)分别代入，得： -2k+b=6 -12k+b=1 解得： b=7 y=2+7;3分 1 (2)设直线AB交y轴于N,如图，连接MA、MB, 在y+7中，令=0，则=7 .N(0,7) 设M0,m),则：SBw=S.8-S4=)×7-m×12-)X7-mx2=10 1 7-m=2 .m=5或9 M点坐标为(0,5)或(0,9)6分 19. 【详解】(1)解：：函数的图象经过点A(3,2), 3,解得：=6， ∷2- x 。2分 2解：男s3,⅓- .点(2,3)在函数的图象上，且当x>0时，y>0且y随x的增大而减小；当x<0时，y<0且y随x的增大 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 而减小； .当y≤3，且》≠0时，x的取值范围为x≥2或x<0.2分 (3解：：k>0,函数片=冬，片-k+2的图象在第、三象限， 当=3时，函数有最小值-4，即兮=m-4: 当x=2时，函数，+2有最大值m,即牛2=m； 2 k =m-4 「k=18 所以 ，解得 k+2 m=10°6分 2 20. 【详解】(1)解：恒温系统在这天保持大棚内温度20C的时间为：12-2=10（小时）；1分 (2)解：把B12,20)代入y=中得： k=12×20=240;3分 (3)解：记0时对应的点为点D,设AD的解析式为：y=mx+n 把0,10)，(2,20)代入y=mx+n中得： n=10 2m+n=20' 解得 m=5 n=10' AD的解析式为：y=5x+10, 当y=15时，15=5x+10,x=1, 16 15=240,x=240 16-1=15(小时). 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在15-20℃的时间有15小时.6分 21. k 【详解】(1)解：设点Cm, m BC⊥x轴，OA⊥x轴， .四边形0ACB的面积为k,BC= 3 m OB-m, 3/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 8c+04-0B, 3 1k+0Am=)k, 3 2m) 2 0A=2k, m 1 0A2k2;.4分 m (2)解：由(1)知C=1 OA 2 :BC=2, 0A=4, 过点C作CH⊥OA于H,则四边形BCHO是矩形， A :.0H BC=2,OB=CH, H--- B AH=2, 在Rt△ACH中，CH=√AC2-AH2=V52-22=√2I, c(2i,2, 2=k 21' k=2√21.8分 22. 【详解】(1)解：根据题意得：5×10=4F, .F=12.5N; 故答案为：12.52分 (2)解：设F与x的关系式为F=kx, 由图②得图象经过1,2)， k=2, 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F与x的关系式为F=2x, :FL=10×5, .2xL=50, L=25 5分 根据题意得：L≤20，x≤4， :自变量x的取值范围为 5≤x≤4， 当x=4时，L=6.25, 25 当x=3时，L= 3 当x=2.5时，L=10, 当x=2时，L=12.5, 当x=3时，L=20, 4 画出图象如图所示： ◆L(cm) 25 20 15 8分 10 5 0 1234 x(cm) 23. 【详解】(1)解：由题意得：AB=5cm-2cm=3cm,0B=2cm, A2,3, :双曲线y=经过点A2,3), 解得：k=6, ·双曲线的解析式为y=6 :直尺的宽度为2cm, 5/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D4,0), 3分 (2)解：如图，由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内（含边界）整点个数为：2+3+4=9， :由曲线AC及线段AB、BD、CD围成的封闭区域内（含边界）整点个数有 -c B 9个；5分 (3)解：设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接BC, OB D 则B2-1,0,D(4-t,0), BD=2, :BC恰好平分∠ABD,∠ABD=90°， ·∠CBD=)∠ABD=45, 2 :∠BDC=90°， .·△BCD是等腰直角三角形， :CD=BD=2, C(4-1,2, 把点C的坐标代入y=6,得2=6 -61 解得：t=1, 6/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分∠ABD.8分 24. 【详解】(1)解：①：矩形A0BC中，OB=8,OA=6, .B(8,0,C(8,6, 当点F运动到边BC的中点时：F(8,3, .k=3×8=24, 24 ∴y= x :反比例函数y=《(k>0)的图象与边4C交于点E, .yE=6, .xE=24÷6=4; E(4,6);4分 ②EFWB,EF=AB,理由如下：如图：连接AB, E :E(4,6,C(8,6,A0,6), .AE CE =4, .E为AC的中点； :F为BC的中点， EF是ABC的中位线， .EF∥AB,EF=5AB.8分 2 (2)解：如图，过点E作EM⊥x轴，交OB于点M,则四边形AEMO为矩形， .EM=AO=6,AC=OB=a, 7111 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A MG B :F是BC的三等分点， BF=2或BF=4, 当BF=2时，则F(a,2),CF=GF=4, k=2a,GB=V42-22=2V5, 2a “反比例函数为：y=2a, :yE=6, :CE-GE-a-3-3 同理：四边形EMBC为矩形， ·BM=CE=20 3 MG=20-25, 3 EM2+MG2=EG2, 6+g-25-。 解得：a=65, F65,2, .k=125, -12V5 反比例函数为：y= 当BF=4时，则F(a,4),CF=GF=2, .∠0BC=90°， 8/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .GF>BF,与BF=4,GF=2互相矛盾，舍去， 六综上：反比例函数为：y=25 12分 25. 【详解】1)解：：直线y=r+b与双曲线y=《(k>0)的交于4、B两点，A点坐标为2，m,B点坐标 为4,2m-9）, 2m=4×(2m-9), 解得m=6, A2,6),B(4,3, [2a+b=6 把A(2,6),B(4,3代入y=ax+b得 4a+b=3' 3 解得 a=- 2 b=9 ∴直线y=ax+b的解析式为y=- x+9;8分 2 (2)解：过P作PM⊥x轴，交AB于M,如图所示： B D 由(1)知，A2,6),B(4,3), k=2×6=12, 12 .双曲线的解析式为y= :点P是双曲线上一点， 设Pa》则Mm+9 当点P在直线6下方的双线上，则Pw号(+9是m-9, m 2 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .S.4BP= 4-2m+9-2》 73 m 312 m-2+9, 2 m :SAABP=2,且2≤m≤4， _3m-12+9=2,则3m2-14m+24=0, 2m- m 由于A=(-142-4×3×24=196-28=-92<0,则当-m-12+9=2时，方程无解， 2、 m 当点P在直线AB上方的双曲线上（分点A左侧部分或B右侧部分两种情况），则PM=12+3, m2m-9, 8m-5m8w安4-2j侣+m-9 =123 m-9, m 2 :S△4BP=2,且0<m<2或m>4, 12-9=2,则3m2-22m+24=0, 2m+ m 即m-63m-4=0, :m=6或m=3 4 则点P的坐标为(6,2)或 39…8分 4。) (3)解：：直线y=+b与双曲线y=《(k>0)的交于A、B两点，A点坐标为2，m,B点坐标为4，m), 将》到代入=m+b料 2a+b=k 2 4 k 解得 a8 3k b= 4 即直线AB为y=女x+2k, 8 4 “点C是线段AB上一动点， k3, 设Cx8+4其中2≤x≤4， :CD⊥x轴， 10/11 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是反比例函数的是：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件． 根据反比例函数的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 【答案】C 【分析】本题考查计算函数值，分别计算出和时的函数值，然后比较得到函数值的变化即可解答． 【详解】解：当时，；当时，； ∵， ∴当自变量的值从2增加到8时，函数的值增加了3， 故选：C． 3．已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数中解答即可． 【详解】解： 点和点都在反比例函数的图象上 ， 解得． 故选：D． 4．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知反比例函数所经过的象限求参数，根据双曲线的一支位于第三象限，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线 的一支位于第三象限， ∴， ∴， 故选：B． 5．你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．请写出y与的函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，首先根据题意，y与s的关系为乘积一定，为面团的体积，根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法进行解答． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 将，代入上式， 解得：， ∴． 故选：B． 6．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A选项，∵， ∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确； C选项，∵该函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误； B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确； D选项，设点P的坐标为函数， ∴，是定值，故该选项正确． 故选：C ． 7．如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是依据函数图象的上下关系解不等式，解决该题型题目时，根据函数图象位置的上下关系结合交点的坐标，找出不等式的解集是关键．根据函数图象的上下关系，结合交点的横坐标找出不等式的解集，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，发现： 当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方， 当时，x的取值范围是或 故选C 8．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了双曲线的解析式、点的坐标与线段长度等知识点，求得双曲线的解析式是解题的关键． 把点A的坐标代入可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点E、点G的横坐标，代入解析式可得点E、点G的纵坐标，然后作差即可解答． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， ∴点E的横坐标为，点G的横坐标为， ∴点E的纵坐标为，点G的纵坐标为， ∴， 故选：B． 9．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比例函数和一次函数的图象可得，，进而得到函数的图像的对称轴在轴左侧，与y轴的交点在的上方，即可判断图像． 【详解】解：由图象知：反比例函数的图像在第二象限，一次函数的图像与轴交点在上面，反比例函数的图像与一次函数的图像一个交点在的上方， ∴，， ∴， ∴函数的图像的对称轴在轴左侧，与y轴的交点在的上方， 观察个选项，只有B选项符合条件， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理解题． 通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 设点的坐标为， 是的中点， ， ，点的横坐标与点相同，为， 将代入，可得点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴，垂直于轴方向， 在中，（底，的长度为点的纵坐标（高， 根据三角形面积公式底高，可得： ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据自变量的次数等于且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 12．已知函数与的图象的一个交点坐标是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数与的图象的一个交点坐标是，得出，，再把要求的式子进行变形，然后代值计算即可． 【详解】解：∵函数与的图象的一个交点坐标是， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则该用电器可变电阻R应控制范围是 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为：， 由条件可得：， ， 当时，则， 根据函数图象可得：当时，， 故答案为：． 14．函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 15．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．：作交轴于，由该菱形的周长为和面积为，可求菱形边长和高，利用勾股定理可求，则B点坐标可求，进而解析式可求． 【详解】解：作交轴于， ∵菱形的周长为， ∴， ∵菱形面积为， ∴， ， ∴， ， ∴，代入反比例函数， ． 故答案为：． 16．如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P． （1） ； （2）若，则m的值为 ． 【答案】 12 4 【分析】本题考查了求反比例函数，反比例函数与几何图形，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入函数解析式即可解答； （2）根据可得点是的中点，即可解答． 【详解】解：（1）把点代入可得， 解得； 故答案为：； （2）， ，即， ， 故答案为：． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，得到用反比例函数表示的y与x的之间的关系式是解决本题的关键． （1）设出用k表示的反比例函数解析式，把时，代入即可求得k的值，进而整理为用x表示成y的形式即可； （2）再将当代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数， ∴， ∵当时，， ∴， ∴ ∴； （2）解：当时，2， ∴． 18．如图，反比例函数的图象上有，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数与直线的表达式； (2)点M为轴上一个动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)M点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）设反比例函数的表达式为：，把代入即可求出，将代入求出，设直线的表达式是：，把分别代入求出，即可求出； （2）设直线交轴于N，连接、，求出，设根据割补法列方程计算即可． 【详解】（1）设反比例函数的表达式为：，把代入得： ∴ 又∵在图象上    ∴ ∴ 设直线的表达式是：，把分别代入，得： 解得： ∴； （2）设直线交轴于N，如图，连接、， 在中，令，则 ∴ 设，则： ∴ ∴或9 ∴M点坐标为或 19．已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与不等式、反比例函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得k的值即可解答； （2）根据反比例函数的性质确定不等式的解集即可． （3）由题意可得：函数， 的图像在第一、三象限，然后根据反比例函数的性质用m表示出、的最小值和最大值，然后组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴点在函数的图象上，且当时，且y随x的增大而减小；当时，且y随x的增大而减小； ∴当，且时，x的取值范围为或． （3）解：∵，函数， 的图象在第一、三象限， ∴当时，函数有最小值，即； 当时，函数有最大值m，即； 所以，解得． 20．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 【答案】(1)小时 (2) (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）段满足温度为； （2）把代入，即可求解； （3）先用待定系数法求出的解析式，再根据解析式计算出，段时对应的x的值，即可求解． 【详解】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度的时间为：（小时）； （2）解：把代入中得： ； （3）解：记0时对应的点为点D，设的解析式为： 把，代入中得： ， 解得， 的解析式为：， 当时，， （小时）． 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时． 21．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了梯形的面积，矩形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点，根据梯形的面积公式列方程即可得到结论； （2）由（1）知；求得，过点C作于H，则四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设点， 轴，轴， 四边形的面积为，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知； ， ， 过点C作于H，则四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 22．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 23．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； (2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果） (3)沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1)； (2)9个 (3)沿x轴负方向平移直尺时，恰好平分 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）观察图形并结合整点的定义，即可得出答案； （3）设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接，则，，根据恰好平分，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 双曲线经过点， ， 解得：， 双曲线的解析式为， 直尺的宽度为， ， ； （2）解：如图，由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数为：， 由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有9个； （3）解：设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接， 则，， ， 恰好平分，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 把点C的坐标代入，得， 解得：， 沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 24．在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)若，当点F运动到边的中点时， ①则点E的坐标为______； ②连接、，则和的关系是______； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1)①；②，； (2)反比例函数为： 【分析】（1）①先求出点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出点坐标即可；②证明是的中点，再结合三角形的中位线的性质即可得证； （2）如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形，可得，，由F是的三等分点，可得或，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：①∵矩形中，， ∴，， 当点F运动到边的中点时：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与边交于点E， ∴， ∴； ∴； ②，，理由如下：如图：连接，    ∵，，， ∴， ∴为的中点； ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，. （2）解：如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形， ∴，，    ∵F是的三等分点， ∴或， 当时，则，， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴，即， ∴， 同理：四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； 当时，则，， ∵， ∴，与，互相矛盾，舍去， ∴综上：反比例函数为：. 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，三角形的中位线的性质．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 25．如图，直线与双曲线的图象交于两点． (1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； (2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； (3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）将点坐标为点坐标为代入y可得，从而得到，利用待定系数法列方程组求解即可得直线的解析式； （2）过作轴，交于，如图所示，由（1）中，利用待定系数法求出反比例函数解析式，设，则，分两种情况：当点在直线下方的双曲线上；当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），由，利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法列方程求解即可得到答案； （3）根据在线段上，设出坐标，根据轴，垂足为，表示出坐标，进而表示出坐标，得到与，代入，利用二次函数性质求出最大值，以及此时的值，进而确定出坐标，代入双曲线解析式求出的值． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为， ， 解得， ， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作轴，交于，如图所示： 由（1）知，， ， ∴双曲线的解析式为y， ∵点是双曲线上一点， ∴设，则， 当点在直线下方的双曲线上，则， ， ∵，且， ∴，则， 由于，则当时，方程无解； 当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），则， ， ∵，且或， ∴，则， 即， 或； 则点的坐标为或； （3）解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为， ∴，， 将，代入得， 解得， 即直线为， 点是线段上一动点， ∴设，其中， 轴， ， 交双曲线于点， ， ，， ∴， ∵，， ∴当时，最大值为，即， 把代入得， ∴， ∴，即的值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十六章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是反比例函数的是：（　　） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，当自变量的值从2增加到8时，函数的值（　　） A．增加了6 B．减少了6 C．增加了3 D．减少了3 3．已知点和点都在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A．6 B． C．2 D． 4．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．请写出y与的函数关系式（   ） A． B． C． D． 6．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 7．如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（   ） A．4 B．6 C． D． 9．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A．B．C．D． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 12．已知函数与的图象的一个交点坐标是，则的值为 ． 13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则该用电器可变电阻R应控制范围是 ． 14．函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 ． 15．如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为 ． 16．如图，点，点是线段的两个端点，其中．双曲线经过点，并交线段于点 P． （1） ； （2）若，则m的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 18．如图，反比例函数的图象上有，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数与直线的表达式； (2)点M为轴上一个动点，若，求点M的坐标． 19．已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 20．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 21．如图，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴的正半轴上，轴交函数的图象于点C，连结，四边形的面积为． (1)求的值； (2)若，，求k的值． 22．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 23．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； (2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果） (3)沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离． 24．在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)若，当点F运动到边的中点时， ①则点E的坐标为______； ②连接、，则和的关系是______； (2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式． 25．如图，直线与双曲线的图象交于两点． (1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式； (2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标； (3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $