第6章 图形的相似（单元测试·基础卷）数学苏科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 【答案】C 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．． 根据定义对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：∵， ∴， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C； 2．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 3．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方，位似图形是相似图形的一种特殊情况，根据与是位似图形，且位似比是，可知，再根据即可求出． 【详解】解：与是位似图形， ， ， ， ， ， ． 故选： C． 4．如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 【答案】D 【分析】作圆的直径，连接，由圆周角定理可知，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．本题考查的是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作圆的直径，连接， 设的半径为r，则， 由圆周角定理可知 ∵是的直径， ，即， 解得． 故选：D． 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 6．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 8．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 【答案】17 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 9．如图，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，，可知，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：4 ． 10．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据勾股定理求出，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，，， ∴， ∴， 即叶片的长度为， 故答案为：． 13．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质以及平行线分线段成比例。通过作辅助线，过点A作，交的延长线于点E，过点C作于H，设与的交点为N，与交于点G，小正方形的边长为1，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例以及平行线分线段成比例求出相关线段长度，进而求出结果． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点E，过点C作于H， 设与的交点为N，与交于点G，小正方形的边长为1， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为：． 14．如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 15．矩形中，E是边上一动点，，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，，进而可得，即可证明，易得，再设，则，由勾股定理可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查的是比例的性质； （1）设，得出，再代入计算即可； （2）根据（1）得到，代入求出k的值，再代入求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 18．如图，E是上一点，， (1)证明： (2)若，，，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，得到，由，得到，即可得出结论； （2）先证明，得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 20．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 21．如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． (1)四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出t的值． 【答案】(1)能成为菱形，； (2)的值为或． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的性质和相似三角形的判定与性质，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． （1）根据题意证明四边形是平行四边形，当时，四边形能够成为菱形，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：当，当，列出方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 根据题意得，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形能够成为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形； （2）解：若时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，为直角三角形． 22．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】(1)旗杆的高度为6米； (2)小水坑F到小明的距离的长为米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆的高度为6米； （2）解：由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 23．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 24．在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）本题考查相似三角形的判定，根据得到，根据是的高得到，从而得到，，得到，即可得到证明； （2）由（1）得到，再证即可得到，即可得到答案； （3）先证，，得到，，根据（2）的结论求出，即可求出、的长，再求出，从而得到、的长，最后根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、是的两条高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 在与中，， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 26．抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 【答案】(1)①；②与 (2)①是；②2或 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元二次方程——配方法，把化成顶点式，成比例线段，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①根据“比例”抛物线的定义求解； ②通过解一元二次方程求得两个抛物线的交点坐标； （2）①根据“比例”抛物线的定义求解； ②先分别求出三抛物线的顶点坐标，再根据，得到关于n的方程，分两种情况求解． 【详解】（1）解：①∵与 是“比例”抛物线， ∴，解得：， 故答案为：； ②依题意可得：， 解得，， ∴与的交点坐标为与； （2）∵抛物线，， ∴，， ∴， ∴抛物线，是“比例”抛物线； ∵抛物线， ， ∴，， ∴， ∴抛物线， 是“比例”抛物线； ∵抛物线，， ∴，， ∴， ∴抛物线，是“比例”抛物线， 综上，这三条抛物线两两之间都是“比例”抛物线． 故答案为：是 ②∵抛物线， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴抛物线顶点E的坐标为， ∵， ∴抛物线顶点F的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故n的值为2或． 27．在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②；[深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $null………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 2．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 3．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则 ． 8．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 9．如图，，，，那么 ． 10．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 12．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 13．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 14．如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 15．矩形中，E是边上一动点，，．则的值为 ． 16．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 18．如图，E是上一点，， (1)证明： (2)若，，，求的长 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 20．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长． 21．如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． (1)四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出t的值． 22．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 23．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 24．在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 25．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 26．抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 27．在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章 图形的相似·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 2．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 3．如图，与是位似图形，点是位似中心，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则 ． 8．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 9．如图，，，，那么 ． 10．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 12．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 13．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 14．如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 15．矩形中，E是边上一动点，，．则的值为 ． 16．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知，求： (1)； (2)若，求a，b，c的值． 18．如图，E是上一点，， (1)证明： (2)若，，，求的长 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 20．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F， 连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的长． 21．如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． (1)四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； (2)当是直角三角形时，求出t的值． 22．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 23．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 24．在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 25．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 26．抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 27．在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $