专题07 相似三角形中的动点问题（5大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题07 相似三角形中的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 7 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 13 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 19 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，动点P从A点出发，沿射线方向运动，速度为，同时动点Q从A点出发，沿射线方向运动，速度为，以点P为圆心，为半径作圆， 时，与相切． 【答案】2或8 【分析】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．设时，与相切，则，，利用勾股定理可得，再分两种情况：①当与相切，且位于的左侧时；②当与相切，且位于的右侧时，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得． 【详解】解：设时，与相切， 则，， ∵在中，，，， ∴， ①如图，当与相切，且位于的左侧时， 则， 过点作于点，连接，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得或（此时，不符合题设，舍去）； ②如图，当与相切，且位于的右侧时， 则， 过点作于点，连接，则， 同理可得：，， ∴， 在中，，即， 解得或（此时，不符合题设，舍去）； 综上，或时，与相切， 故答案为：2或8． 知识点总结 1.相似三角形判定与性质：需掌握AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，这是列比例式的基础。 2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间t的代数式表示线段长度，注意运动过程中线段长度的变化及取值范围，避免漏解。 解题技巧 1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。 2.验证解的合理性：求出t的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、动点未超出运动范围），排除不合理的解。 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 秒． 【答案】2或/2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 根据题意和坐标与图形性质求得，和，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，，， 当时， ∵点B的坐标为， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为．在整个运动过程中，当为 时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 【答案】秒或秒 【分析】此题考查圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定与性质；解题关键在于熟练掌握相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；会运用分类讨论的数学思想解决问题． 分三种情况分析：当E点在线段 上，（）；当E点在线段的延长线上，；当时，分别利用相似三角形的判定和性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：根据题意得：当E点在线段 上，（） ，则 ． ∵ 为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ①如图1中，若时，， ∴， 即，解得（舍去）． ②若时，， ∴ 即，解得（成立）． 当E点在线段的延长线上，，如图2中， 显然， ∴不成立， 只有，当点F运动到C点时， ∵， ∴，此时（成立）； 当时，由题意， 若，此时，则=，即， 解得（舍弃）， 若，此时，则=，即， 解得（舍弃）， 综上所述，满足条件的t的值为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例2．（24-25九年级下·江西赣州·期中）如图，在菱形中，，，于点E，交于点F，若P是菱形边上的一动点，当的面积是时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】先根据菱形，，证出是等边三角形，再根据，求出长 ，从而把到的距离为h算出来， 再根据高的大小观察菱形四边位置即可得出答案． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形, ，， ∴， 是等边三角形， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 设到的距离为h， ∵的面积是， ∴， ∴， Р点有3个应置， 当点P为中点时，， 当点P与点C重合时，， 当点P与点B重合时，， 是等边三角形， ， ， 综上所述，，，． 故答案是：，，． 知识点总结 1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。 2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含t的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算提供依据。 解题技巧 1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应D或E），分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。 2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长度为正、未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。 【变式2-1】（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）在矩形中，，点是射线上一动点，连接，作线段的垂直平分线，分别交所在直线于点，交所在直线于点与交于点，连接、．连接，当点在射线上移动，且当是等腰三角形时，则长为 ． 【答案】或或5 【分析】分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， 当时，是等腰三角形． 设，则， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，即． ∴． ∵，， ∴． ∴，即，解得． 如图4，当时，是等腰三角形． 点与点重合，． 与在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 如图5，当时，是等腰三角形． ∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，，． ∵，， ∴． ∴，即，解得． 综上所述：或或． 故答案为：或或5． 【变式2-3】（2025·江西新余·三模）如图，在矩形中，．点在边上，且，分别是边，上的点，且，是线段上的动点，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】先证明，，①如图1，过点作交于点，连接，证明四边形为矩形，②如图2，过点作交于点，此时是直角三角形，过点作于点，则，③如图3，以为直径作圆，与交于点，此时是直角三角形，过点构造矩形，且与交于点，则为等腰直角三角形，可得，设，则，再进一步解答即可. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ①如图1，过点作交于点，连接， ∵是直角三角形时， ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴，，为等腰直角三角形， ∴是直角三角形，， ∴， ②如图2，过点作交于点， 此时是直角三角形，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，而，则， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． ③如图3，以为直径作圆，与交于点，此时是直角三角形， 过点构造矩形，且与交于点，则为等腰直角三角形， ∴，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或或． 故答案为：或或 题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，点在边上，且，动点在边上，连接和，若，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，延长到F，使得，连接，过点D作于G，可证明垂直平分，得到，则当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明，得到，则，由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到F，使得，连接，过点D作于G， ∵中，， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 知识点总结 1. 相似三角形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。 2. 最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。 解题技巧 1. 转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。 2. 结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，在上截取，可证得，从而．即当点D，点P，点E三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【变式3-2】（2025·四川宜宾·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点， 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】（2025·河南南阳·二模）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连结，则的最小值是 ； （2）当最小时，的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，由三角形的面积可求，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ， 故答案为：2； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题 例4．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是 【答案】1 【分析】本题考查菱形的性质，函数图像的认识，相似三角形的判定及性质． 由图像可知，再利用将军饮马和似三角形的判定及性质求最值即可． 【详解】解：由题得， 由图象得，， 取点E关于成轴对称的点G，如图，此时y取最小值， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：1． 知识点总结 1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。 2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间t的代数式表示线段长度，结合相似关系转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。 解题技巧 1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。 2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利用函数图像的顶点、端点等关键点，对应动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。 【变式4-1】（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 【答案】 【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，当时，的值为 ． 【答案】0，4或 【分析】本题主要考查了矩形和函数图象的结合，动点路径问题，圆的垂径定理，勾股定理，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并结合图形获取正确信息． 以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点，结合图形和函数图象求出直角三角形的三边，然后分情况进行讨论，借助于圆的性质和解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，交于点，过点作交于点， 根据题意，结合图形可知，， 由图2点可得，假设长为，由勾股定理得， 即 解得, ∴， 根据等面积法可得， 由勾股定理得， 根据垂径定理得， 即此时； ， 结合图形可得此时； 当点与点重合时，,此时； 综上，或或， 故答案为：0，4或． 【变式4-3】（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为 ； （2）在整个运动过程中，的最大值为 ． 【答案】 3 54 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键． （1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当时，，此时，图象如图所示， 连接，当点与点重合时，的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最大值为54， 故答案为：54． 题型五：相似三角形中的动点与几何图形探究问题 例5．（2025·山西长治·一模）综合与实践 在中，，，是的中点，为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段的中点时，判断四边形的形状，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若，设与直线的交点为，当时，直接写出的面积． 【答案】(1)矩形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据三角形中位线定理，矩形的判定定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明得到平行线，继而得到，利用勾股定理，等量代换思想解答即可； （3）取的中点M，连接，分点E在上和的延长线上两种情况，利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用解答即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是线段的中点, ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： 延长到点G；使，连接． ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴直线垂直平分线段， ∴， ∴． （3）解：取的中点M，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， 当点E在上时， 设，则 ∵， ∴， 根据（2）的结论，得，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点E在延长线上时， 设，则 ∵， ∴， 根据（2）的结论，得，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 知识点总结 1. 相似三角形的判定与动态量化：掌握AA、SAS等判定定理，能根据动点运动速度、时间，用含变量的代数式表示线段长度，再通过相似比建立等量关系，实现几何量的动态转化。 2. 实际场景几何建模：需将应用问题（如测量、运动轨迹）转化为几何图形，结合图形性质（如三角形稳定性、四边形特征），明确相似三角形在实际场景中的对应关系。 解题技巧 1. 从实际问题抽象几何模型：剥离应用场景中的非关键信息，提炼出含动点的三角形结构，确定已知量、未知量及相似条件，将实际问题转化为纯几何计算。 2. 用变量追踪动态变化：设时间或距离为变量，表达动点关联线段，结合相似性质列方程，同时根据实际意义限定变量范围，确保解的合理性，解决长度、距离等应用问题。 【变式5-1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作，交线段于点，交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若，，连接，且与相似，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或． 【分析】（1）证明，对应边成比例即可解决问题； （2）由；，可得，设，则，可得，即可解得，，求出，；由三角形面积公式即可解决问题； （3）与相似，只需或，分两种情况讨论：①当时，②当时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， （2）解：如图： 由（1）知， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得 ， ， ， 的面积为； （3）解：， 与相似，只需或， ①当时，此时如图：， ∵，，， ，， ， ， 设，则 由（1）知：， 解得：负值舍去 ； ②当时，如图： ，， ， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 综上所述，的长为或． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 【变式5-3】（2025·四川广元·模拟预测）【探究】如图，已知四边形是正方形，点是上一动点，连接，将沿着折叠，点落在四边形内部的点处，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）如图，延长交边于点．若，求的值； 【拓展】 （3）如图，已知四边形是矩形，点是上一动点，连接，将沿着折叠，点落在四边形内部的点处，连接，延长，交直线于点，，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而根据证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由，可设，，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，求出的值即可； （3）分：当点在点左侧时，当点在点右侧时，两种情况讨论．通过证明，得到，从而可设出、、、，结合，即可求解得到的值． 【详解】（1）证明：由折叠得到， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ； 由，可设，，令， ， ． ， ． 又， ， ，， ， 在和中， ，即， （舍去）， ； （3）解：由，可设，，令，则． 当点在点左侧时，如图， 由（2）易知，． 由折叠，得， ． ， ， ． 又， ， ，即， ，． ， ，即， 解得（舍去）， ； 当点在点右侧时，如图， 则，， ． 同理可得， ， ，． ， （舍去）． ； 综上所述，或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，过点O作，交于点H，证明是的中位线，求出，，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．连接，可得，得到，，进而得，即得，据此解答即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（2025·广东中山·模拟预测）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点的函数图象、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，从图象中有效的获取信息是解题的关键． 由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，进而得到当时，点P在上运动，，即可判断B；再求出的长，勾股定理求出的长，即可判断A；如图：过点P作于点H，证明，可求，即可判断C；求出时，的长，即可判断D选项． 【详解】解：由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E， 当时，点P在上运动，， 当时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴，解得：， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，点P在线段上，则， 如图：过点P作于点H，则：， ∴， ∴， ，即，解得：， ，故选项C错误，不符合题意； ， ∴当时，点P在线段上，此时，， ，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，点E为边上的一个动点，当 时，和相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质分两种情况，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵与相似， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键；通过证明，可得，由，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ∴， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 的最小值为， 故答案为：． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图1所示：作于， 则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ②当时，如图2所示： 由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③当时，连接，如图3所示： 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点为线段上的一个动点（点与点不重合），过点作于点，连接并延长，过点作于点．当与相似时，求点的坐标． 【答案】 点的坐标为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定定理及相关性质是解题的关键． 由勾股定理可求的值，再由相似三角形的性质可得，即可求解. 【详解】解：对于直线，令，则；令，则， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 与相似，， ， ． 又． ， ， ，即， ． 又， 即， ， 解得， ∴点的坐标为． 8．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在．理由见解析 (2)存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【详解】（1）解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． （2）解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 9．（25-26九年级上·全国·周测）【问题发现】 （1）如图①，在中，是边上一动点（不与点B重合），，连接．填空： ①的值为________； ②的度数为________． 【拓展探究】 （2）如图②，在中，是边上一动点（不与点B重合），，连接．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①1；②；（2）．理由见解析 【分析】（1）根据已知条件推出，根据全等三角形的性质得到，，于是得到； （2）根据已知条件得到，由相似三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到结论. 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴. 故答案为：①1    ② （2）．理由如下： ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为6 (3)①或；② 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用矩形性质得，结合，通过角的互余关系推出，从而证明． （2）由等腰直角三角形性质得，结合相似推出全等，得到、，再在中利用勾股定理和三角形面积公式列方程求解． （3）①设，根据点与重合得，结合相似三角形对应边成比例列方程求解．②先由得，再结合推出，利用相似比求出，最后再根据求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：①设，则， 点与点重合， ， ， ， ， 整理得，， 解得，， 当，且点与点重合时，或； ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， 解得：． 11．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）分别证明、为等边三角形，则可得出，，，根据等式的性质得出，根据证明，得出，，即可求解； （2）证明，得出，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）连接，，根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质可得出，，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即； （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 1 / 14 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