专题06 相似三角形中K字型与十字架模型（3大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08相似三角形中K字型与十字架模型 月录 A题型建模·专项突破 题型一、三垂直模型 题型二、一线三等角模型 8 题型三、十字架模型。 12 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从 而得到两个三角形相似. “三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE B D 图1 例题1.(25-26九年级上·江苏无锡阶段练习)如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》 时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在 △ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E. 朱实 朱实 黄实 D 朱实 A B 图1 图2 图3 (I)如图2：通过观察，线段AB与DE的数量关系是_： (②)如图3：连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=1,AC=3,求△BDF的面积. 例题2.(24-25九年级上广西梧州期末)(1)如图甲，AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分别为B,D,P, 且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”，请判断：ABCD=PB·PD成立吗？不用说明理 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由： A B P 甲 (2)如图乙，也是一个“三垂图，AB·CD=PB·PD还成立吗？请说明理由： C 乙 (3)如图丙，已知抛物线与x轴交于点A(-1,0,B(3,0),与y轴交于点(0，-3)，顶点为P,如图所示，若 Q是抛物线上异于A,B,P的点，使得∠QAP=90°，请直接写出Q点坐标. 内 例题3.(24-25九年级上·江苏扬州阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为 （4,0)、（4,4)、(0,4),点D是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从A点向0点运动，连接BD过点D作 BD的垂线交OC于E点，设D点的运动时间为t秒(>O). E E D A 备用图 ()当D点到达OA的中点时， OE OC (②)请用t的代数式表示OE的长度，并求出t为何值时，CE有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线AB上，AF=L,P为x轴上一点且CP⊥FP于点P,请直接写出满足此条件的P点坐标. 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二、一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从 而得到两个三角形相似. “一线三等角模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE A B C D 图2 例题1.(25-26九年级上北京阶段练习)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,D是 BC边上的一个动点，（不与B、C重合）在AC边上取一点E,使∠ADE=45°， D (I)求证：△ABD∽△DCE; ②)若BD=V2 求AE的长 2 例题2.（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线I上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC,则∠CAE+∠BAC+∠BAD=I80°，又 ∠ABD+∠BDA+∠BAD=180°，故∠CAE=∠ABD.像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为 “一线三等角”图形， 请根据以上阅读解决下列问题： D CB E 图1 图2 图3 图4 (I)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E,可证∠ACD=,进而可证△BEC≌ (2)如图3，在ABC中，点D在BC上，∠CAD=90°，AC=AD,∠DBA=∠DAB,AB=25,则点C到 AB边的距离为 (3)如图4，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点.若∠DEF=∠B,AB=I0, BE=4,EF=6,求DE的长 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DELAC,则DE-BC AC AB D D A E B E B 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EFL4C,则EE-BC AC AB A E B A B 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EFLMN,,则EE-BC MN AB D F C D C H M M A 内 B y GE 例题1.(25-26九年级上·福建阶段练习)如图(1)，在ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC,D是AC的中 点，连接BD,过点C作CE⊥BD交BD于点E,交AB于点F. SC B 图(1) 图(2) (1)当n=1时，如图(2)， ①求C的值： 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②球非的雀： (2)如图(1)，请直接写出 C的值（用含n的式子表示 例题2.(2025山东·模拟预测)综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究. 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (1)操作判断 ①如图(I),在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH,若EF=5 ,则GH的长为 ②如图(2)，在矩形ABCD中，BC=2AB,点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH ,若EF=8,则GH的长为 (2)迁移探究 如图(3)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，且AE⊥BD,试证明： AB BE AD EC (3)拓展应用 如图(4)，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,BE平分∠ABC交AD于点E,点F为AE上一点， AG⊥BF交BE于点H,交矩形ABCD的边于点G,当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长. 例题3.(25-26九年级上陕西西安·开学考试)综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. 下面是他们的探究过程， E NB 图1 图2 图3 数学思考：(1)如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于 EF AD 点G,H.求证： GH AB 5/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 深入探究：(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=I0,BC=CD=5,AM⊥DN,点M ，N分别作边CB上，泉的值。 拓展延伸：(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，连接AD,过点C作CE⊥AD于 点么，且CE的延长线交AB边于点R.若4C=3,BC=4,BF请直接写出CD的长. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级下陕西宝鸡阶段练习)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边AD上，且 AE=2DE,连接BE,过点E作EF⊥BE,交CD于点F,则DF的长为() E A D B A.3 c号 D.1 二、填空题 2.(2024九年级下广东·学业考试)如图，在四边形内ABCD中，AD=4,AB=10,点E为AB中点，连 接DE、CE,若∠A=LB=∠DEC.则BE的值为 BC D B 三、解答题 3.(24-25九年级下·江西宜春阶段练习)如图，在矩形ABCD中，E为边DC上的一点，把ADE沿AE翻 折，使点D恰好落在边BC上的点F处，且AD=6. A D F (I)求证：△ABF∽△FCE. 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若F为BC的中点，求AE的长. 4.(24-25八年级下江苏淮安阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上， ∠ADE=∠ABC. B D (I)求证：△ABD∽△DCE; (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长. 5.(24-25九年级下·河北邢台开学考试)如图，E为AB上一点，LA=LCED=∠B. D 4 (I)求证：△CAE∽△EBD; (2)若CE平分∠ACD,CD=9,BD=4,求ED的长. 6.(2025·吉林延边模拟预测)【尝试探究】在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE交BC于点F. C E 图① 图② 图③ (I)如图①，若点F与点C重合，AD=AE,求证：△AED≌△BFE· (2)如图②，若AB=12,AD=7,E为AB的中点，求BF的长. 【拓展应用】如图③，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4.E为AB边上一点（点E不与点A,B重 合)，连接CE,过点E作LCEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 7.(2025·宁夏银川三模)【初识图形】 O)如图1，E,F分别为正方形ABCD的CD边和BC边上的点，连接AE,DF,且AB1DF.则 D= (2)如图2，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，连接BD,EF,且BD⊥EF,AB=3,BD=5 719 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,求职的值： BD 【类比探究】 (3)如图3，Rt△ABC中，D,F分别为AC,BC边上的点，AB=6,AC=8,D为AC的中点，连接BD, 作AF⊥BD交BD于点E,交BC于点F.直接写出AF的长为_ F 图1 图2 图3 8.(2025·山东济南模拟预测)如图 图1 图2 图3 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点G.求证： △ADE∽△DCF. (②)【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H, 使CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H· (3)【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8, ∠AED=60°，求CF的长 9.(24-25九年级上全国·期末)(1)【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点 D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E,延长AE交BC于点F,求△ABF的面积.小明发现，过 点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G,构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数 量关系、从而使问题得到样动，话直接填空：二-△8的面积为 (2)【类比探究】如图2，将(1)中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足 CD=2AD”,其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程. (3)【拓展迁移】如图3，在ABC中，AB=AC=4,∠BAC=120°，点D为AC上一点，且满足 CD=2AD,E为BD上一点，LAEB=60°，延长AE交BC于F,请直接写出△ABF的面积. 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 10.(2025湖北武汉模拟预测)【模型识别】如图1，AB⊥BC于点B,CE⊥BC于点C,AC⊥DE交BC于 点D,求证： DECE AC BC 【尝试应用】如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE,作DF⊥AE交BC于点F, CE=EP,若AB=V0,AD=5,an∠C=3,求DE的值： AE 【拓展探究】如图3，已知菱形ABCD的边长为10，am∠ABD-子，点E为边AB上的一点，连接DE, 过点A作AG⊥DE交BD于点F,交BC于点G,且DE=2AF,求CG的长. D F E G 图1 图2 图3 9/9 专题08 相似三角形中K字型与十字架模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三垂直模型 1 题型二、一线三等角模型 8 题型三、十字架模型 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 例题1.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 例题2.（24-25九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1）成立；（2）成立 理由见解析；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 例题3.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标为、、，点是线段的一动点，它以每秒1个单位速度从点向点运动，连接过点作的垂线交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点到达的中点时，________； (2)请用的代数式表示的长度，并求出为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知点在直线上，为轴上一点且于点，请直接写出满足此条件的点坐标． 【答案】(1) (2)最小值 (3)或或 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）先证明再根据相似三角形的性质即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵、、三点的坐标为、、， ， ∴四边形是菱形， 又∵ ∴四边形是正方形， ， 又∵， ， ， ， ， ∵为的中点， ， ， 解得：， ； （2）解：， ， ， ， ， 所以当时，有最大值，最大值为，此时的值最小，最小值为； （3）解：设，则， 如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， 当点在的延长线上时，即为，连接，， 因为， 所以， 则.， 即， 所以这种情况不符合条件， 当点在的延长线上时，，， ，， ， ， ， 或 或 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 题型二、一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 例题1.（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 例题2.（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 题型三、十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 例题1.（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图（1），在中，，，D是的中点，连接，过点C作交于点E，交于点F． (1)当时，如图（2）， ①求的值； ②求的值； (2)如图（1），请直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②2 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①证明，得到，进而得到，即可得出结果；②过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据，，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，即可求出； （2）过点作于点；过点作于点；判定四边形是矩形，得；根据相似三角形的判定，得，则；根据等量代换，得；根据是的中点，得，则，得，再根据三角形的面积公式，求出，证明，求出，，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）解：过点作于点，交于点；过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设边上的高为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 例题2.（2025·山东·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 例题3.（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2， 则四边形是平行四边形． ， 是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由得③， 解方程组， 得（不合题意的值已舍）， ， ． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 2．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 4．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 5．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 6．（2025·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 7．（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键． 8．（2025·山东济南·模拟预测）如图 (1)如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． (3)【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 9．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）【模型识别】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． 【尝试应用】如图2，在平行四边形中，E是上的一点，连接，作交于点F，， 若，，，求的值； 【拓展探究】如图3，已知菱形的边长为10， ，点E为边上的一点，连接，过点A作交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】模型识别：见解析；尝试应用：；拓展探究： 【分析】本题考查矩形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目． （1）证明即可得出结论； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，先证明四边形是矩形，，求出 继而证明，则 ，设，则，，，即，得到 ，求出x的值，即可解答． （3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到，则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，如图 有， 四边形是平行四边形， ，，， ∴，， ，四边形是矩形，， ∴，， 即， ，， ，， ，或（不合题意，舍去） ， ， 设，则，，， 即， ∴， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， ； （3）连接交于，交于， 四边形是菱形， ， ， ， 设，，由勾股定理，得， 解得：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ，即， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $