专题04 一次函数常考几何模型专训（10大题型+14道拓展培优题）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 一次函数常考几何模型专训（10大题型+14道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数与线段、图形交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等） 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 题型十 一次函数中的新定义问题 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒． (1)填空：________，________； (2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）； (3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6； (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了坐标与图形、一元一次方程、函数解析式等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）假设存在点使的面积等于20，在两种情况下求出相应的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为：8，6； （2）由（1）知，，， 四边形是长方形， ，， ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ， 即 （3）存在， ①如图1，当时， ，解得； ∴ ②如图2，当时， ， 解得； 综上可知，点P的坐标为或 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 【答案】(1)，； (2)4 (3)或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． （1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）先求出长，再解得m值即可． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：由勾股定理得， ∵点C的坐标为，当时， ∴或． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点，． (1)点B在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点B的坐标； (2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点P，Q运动的时间以及点P的速度． 【答案】(1) (2)点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”及中点坐标计算公式计算即可； （2）设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度，用含t的代数式分别把点P、Q的坐标表示出来，利用待定系数法分别求出直线、的解析式，根据直线与坐标轴的交点可得点P、Q的坐标，再得到关于v和t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是线段的中点， ∵，， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为； （2）解：设运动时间为t，点P的运动速度为每秒v个单位长度， 根据题意，，， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 解得， 设直线的函数解析式为，代入、得， ， 解得， 直线的函数解析式为， 令，则， ∴， ∴， 解得． 答：点P，Q运动的时间为秒，点P的速度是每秒2个单位长度． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 【经典例题二 一次函数中的平移模型】 【例2】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数的平移问题． （1）根据一次函数k与b的特点列不等式组计算即可； （2）先根据正比例函数的特点求出m的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象， ∴是正比例函数， ∴， 解得：， ∴． 1．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键． 2．（24-25八年级下·广东·期中）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 【答案】（1）；（2），，；（3）①或；②；（4） 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①分、、，三种情况求解即可； ②过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （4）求出，则，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2），， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ． ． 过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）①如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为； 如图，当，时，过点作，过点作， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为， 综上所述：点坐标为：、； 故答案为：、； ②如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得． 所得到的图象对应的函数表达式为． 如图作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题为一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平移变换，对称点坐标，利用待定系数法求函数解析式，一次函数与几何图形的关系，熟练求一次函数解析式是解题的关键． 3．（2025·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数图象与性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得对应的自变量x的值即可求得； （2）①利用三角形面积公式求得C的纵坐标，代入即可求得C的坐标； ②分两种情况：当沿x轴向右平移时和当沿x轴向左平移时讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； ②连接， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代得：，解得：，． 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， 当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时，； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 【经典例题三 一次函数中的动点问题】 【例3】（24-25九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义∶若，则点与点的“特别距离”为；若，则点与点的“特别距离”为． 例如∶点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点)． (1)已知点，为轴上的一个动点． ①若点与点的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“特别距离”的最小值． (2)已知是直线上的一个动点，如图2，点的坐标是，求点与点的“特别距离”的最小值及相应的点的坐标． 【答案】(1)①点B的坐标是或；② (2)， 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了新定义“特别距离”、点的坐标、绝对值等知识，本题综合性强，弄清楚题干中的已知条件，正确理解“特别距离”的定义是解题的关键． （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为，由“特别距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为．根据，“特别距离”为即可求得最小值； （2）设点C的坐标为．根据材料可知C、D两点的“特别距离”取最小值时，，据此可以求得最小值和点C的坐标． 【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为． ∵， ∴， 解得或； ∴点B的坐标是或； ②设点B的坐标为， 当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∴， ∴当时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为； （2）解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是， ∴设点C的坐标为， ∴，， ∴若， 解得，此时较大值为； 当， 解得，此时较大值为， ∴当时， ∴点C与点D的“特别距离”的最小值为， 此时． 1．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是________； (2)点D在直线上（D不与B重合），当的面积等于的面积时，求出点D的坐标； (3)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2），由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， ∵，， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 2．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，。由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可。 （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称, ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或．       3．（24-25八年级下·江西新余·期末）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点过点P作轴于S，过点Q作于T，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入求得n的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，得：； 当时，得：， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为， 故答案为：；； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是， 故答案为：； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）直线的图象与x轴，y轴分别交于、， 分以下两种情况： 当时，如图3，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当时，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得：， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 【经典例题四 一次函数与线段、图形交点问题】 【例4（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的直线解析式，求得直线过点时的的值，结合图象即可求得当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或，整数有，，，共个，数形结合掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度，得到直线， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 由图象可知， 当平移后的直线与折线 只有一个交点时，则或， ∴满足条件的整数有，，，共个， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川成都·自主招生）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】根据“型函数”的定义可知“型函数”图象与轴只有一个交点时，该交点即函数本身与轴的交点；先求出函数与轴的交点坐标，结合函数图象分析即可得解． 【详解】解：令，则， ， 函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点， ； 等腰中，点， ， 点， 直线的解析式为， 解方程， ， 函数与轴的交点为， 当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点， 直线与的边已经有两个交点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， 与点关于对称， 时，函数关于直线的“型函数”图象经过点， 函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或． 故答案为：①；②或． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是运用数形结合的思想解题． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】(1)直线：； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； （2）解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； （4）解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．分别利用当直线过点C时及当直线过点A时的值，据此即可求解． 【详解】解：一次函数中，令，得， ， 将联立方程组得： ，解得：， ， 一次函数中，令，则， 故， 直线过定点，如图， 当直线过点C时，将代入得： ，解得：， 当直线过点A时，则直线与轴平行， 所以将直线绕点D从直线位置逆时针旋转到直线位置时，与没有交点， 故直线与没有交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题五 一次函数中的全等问题】 【例5】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴，， ∴， ∴， 综上：点D的坐标为或， 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 【答案】或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点，点，则，，当以，，为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点的坐标；②时，过点作于，由于，因此当时，，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，进而再求出，据此可得点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以，，为顶点的三角形与全等时， 则以，，为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ，， ，， ， 当时，，， ， 点的坐标为； ②时，如图所示：过点作于， 由①知， 当时，，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为：或 (3)B′或， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、一次函数的图象和性质、图形的翻折等，分类求解是解题的关键． （1）由，得出，利用含角的直角三角形的性质可得，则，可得点，利用待定系数法即可求解； （2）设点，根据两点间距离公式可得，，，当为斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当或为斜边时，同理可解； （3）当点P的坐标为时，作轴于，根据折叠性质得出，，根据三角形内角和定理及平角的定义得出，利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标，当点P的坐标为时，可求出直线解析式为，利用面积法可得，设，利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，利用中点坐标公式即可求出坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）， 解：∵，则，， ∴， ∴，则点， 设直线的表达式为， ∴， 解得： ∴直线的表达式为：， 故答案为：，； （2）设点， 由点A、B、P的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：（舍去）或， ∴点； 当为斜边时，, 解得， ∴点P， 当为斜边时， 解得：（舍去）， 综上，点P的坐标为：或； （3）当点P的坐标为时，如图，作轴于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点P的坐标为时，则， 设直线解析式为，与交于点， ∴， 解得：，直线解析式为， 由折叠性质可知：垂直平分， ∵， ∴， 解得：， 设， ∴， 解得：， ∴点， 由中点坐标公式得：点， 综上，B′或． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【分析】（1）把代入，求出，即可得得直线； （2）求出点、、的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标，进而可得点的坐标；当时，由翻折得，根据勾股定理得，则，即可得点的坐标为． 【详解】（1）解：把代入得， ， 直线； （2）解：直线， 将代入得：， 点的坐标为， 直线与轴、轴、直线分别交于点、、， 当时，，当时，，解得， 、， 联立与得 ，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图2，当时，过点作轴于， 由翻折得， ， ， ，， ， ， ， ， 由翻折得， 点的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得，， ，， ，，， ， 设，则， ， 解得：， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【点睛】此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点； (2)①；②存在，或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定等知识，求出直线解析式和分类讨论是解题的关键． （1）将点代入先求出b的值，即可得点A，点B坐标； （2）①过点P作于F，由折叠的性质可得 ，，可得则，即可求解；②求出点E的坐标，利用勾股定理得，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，有，解得：， ∴点，点 （2）解：①过点P作于F，    ∵将沿直线翻折得到， ∴, ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ②如图：    ∵， ⋅ ∵，直线与交于点E， ∴，解得， ∴点E的坐标, ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴, ∴点Q的坐标为 当是以为腰的等腰三角形时，， ∴， ∴点Q的坐标为， 当是以为腰的等腰三角形时，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，点Q的坐标为或或． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度角等）】 【例7】（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）操作思考：如图1．在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为 　；②点的坐标为 　　；（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，直接写出点坐标为 　　； （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是平面内一点，且坐标为．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在； 【分析】本题考查了一次函数与三角形的全等； （1）由可得，，，，易证，，，因此； （2）同（1）可证，，，，求得．代入求出直线的解析式，再求出点的垂直平分线解析式，令，即可求出点坐标； （3）分两种情况讨论①当点的横坐标小于5时，②当点的横坐标大于5时．根据等腰构建一线三直角，从而求解． 熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，作轴，轴． ， ，，， ，， ， ，， ． 故答案为：，； （2）如图2，过点作轴． ，， ， ，， ， ． 设直线的表达式为， 将和代入得， ， 解得， 直线的函数表达式． 是等腰直角三角形， 点在的垂直平分线上， 设线段的垂直平分线的解析式为， 代入点得：， 线段的垂直平分线的解析式为， 令，则， 点的坐标为． 故答案为：； （3）∵， ∴点在直线上， ①当点的横坐标小于5时，如图3， 当时，， ， 当点在点时，存在以点为直角顶点的等腰直角三角形， 此时，解得， ②当点的横坐标大于5时，如图④，设点的坐标为， 在和中， ， ， ，， ， 将点坐标代入，得， 解得， ， ， 故当点的横坐标大于5小于12 时，不存在以点为直角顶点的等腰直角三角形． 综上分析，只有点和点重合时存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．    (1)求的值和点的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点(，) (2)点的坐标为(， (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平面直角坐标系，三角形全等的判定及性质，解题的关键是正确利用模型并作出正确的辅助线． （1）由待定系数法即可求解，将点(，)代入解析式中即可求出的值，令解析式的即可求点的坐标； （2）过点作轴交于点，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点，证明，求得，利用待定系数法即可求解，当直线绕点逆时针旋转得到时，同理可得的函数表达式． 【详解】（1）解：将点的坐标代入中得：，解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则， 点， 即，点(，)； （2）过点作轴交于点， ，， 由型全等模型可得， ，，则， 点的坐标为(，)； （3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点， ，， ， 由型全等模型可得， 与轴的交点(，)，(，)， ，， (，)， 设直线的解析式为， ， 解得： ， ； 当直线绕点逆时针旋转得到时， 同理可得． 综上所述：直线的解析式为或． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）5；（3） 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论； （3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， ，． ， ， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，    由已知得，且， 由（1）得， ，， 设， ，， ，， 点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为； ∴， （3）解：如图3，    过点作，交于，过点作轴于， 对于直线，由得， ， ， 由得， ，， ， ． ． 由（1）得，． ，． ， 设直线为， 则， 解得． 直线为． 由得，， ，． ∴，． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【答案】(1)点 (2)见解析 (3)见解析，的最小值为：． 【分析】（1）令，即可求解； （2）由点，得到点，求出,得到，即可求解； （3）证明，得到点F的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）令， 解得：， 则点 （2）证明：对于，令，则，则点， ∵点B为线段的中点，则点， 将点E的坐标代入得：， 解得：， 则直线 则点 由点A、C的坐标知，其中点坐标为该点和点E的横坐标相同， 即点E在的中垂线上， ∴； （3）证明：过点F作轴于点T，如图， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点F的坐标为：， 则点F在直线上， 则 ∴的最小值为： 【点睛】本题为一次函数综合应用题，涉及到三角形全等、等腰三角形的性质、一次函数的性质，掌握数形结合以及一次函数的性质是关键 . 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 【例8】（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)当点在边上时，求与之间的函数关系式； (3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，画图见解析 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 1）当时，点的位置，利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）当点在上时有以下2种情况：当在线段上时及当在线段上时进行讨论求解即可； （3）延长到，使得，即点与点关于对称，连接交于点，则点为所求作的点． 【详解】（1）， 当时，在上，如图所示： ， ，为中点 （2）当点在上时有以下2种情况： ①当在线段上时，即时， ． ②当在线段上时，即时， ． 综上所述：． （3）存在点使得周长最小， 如图所示，作法：延长到，使得， 即点与点关于对称，连接交于点， 则点为所求作的点． 1．（24-25八年级下·河南新乡·期末）已知一次函数分别与轴、轴交于点，点在直线上，其纵坐标为5．    (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，并求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求出的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， (3) 【分析】（1）在一次函数中，令，得即可求得点的坐标，令，求得，即可得出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由轴对称的性质可得：，则，即当在一条直线上时最小，用待定系数法求出直线的解析式即可得到答案； （3）由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， 当时，， ， 点在直线上，其纵坐标为5， 当时，， 解得：， ， 故答案为：，； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 由轴对称的性质可得：， ，即当在一条直线上时最小， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，此时， 解得：， （3）解：，，，， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用—几何问题、轴对称的性质、最短路径问题、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，是线段（不含端点）上一动点，设的面积是．    (1)求点的坐标； (2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)当时，在轴上是否存在一点，使得最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（）从图中不难发现，点在轴上，即点的横坐标为，且点在一次函数的图象上，则将代入即可求得值，点坐标即可确定； （）根据点为一次函数的图象与轴的交点，不难确定点的坐标为，再运用三角形的面积计算公式，即可用求得； （）要使得最小，找出点对称点，然后连接且求出解析式，当时即可求出点的坐标． 【详解】（1）由，当，则， ∴点的坐标为， （2）由，令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 即， （3）存在，理由：当时，即，解得：， ∴点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标是， 如图，    设直线的函数表达式为，把点代入，得：， 将代入得：， ∴， 当时，，解得， ∴在轴上存在一点，使得最小． 【点睛】此题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，最短距离问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．    (1)设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； (2)当时，求点的坐标； (3)在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线l的解析式为，再由进行求解即可； （2）根据（1）所求，把代入求解即可； （3）作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，根据轴对称的性质可推出当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵直线为， ∴直线l的解析式为， ∴当时，； ∵，， ∴， ∴， （2）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【经典例题九 一次函数中的存在性问题】 【例9】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，且m ，n满足，直线恰好是一次函数的图象，轴于B． (1)求点C的坐标，并求的周长； (2)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的周长为（）； (2)存在，或． 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，进而求出点的坐标，求出点横坐标，代入解析式，进而求出点坐标，勾股定理求出的长，再利用周长公式进行计算即可； （2）设，直线与轴交点为，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）由得， ∴，， ∵轴于，又点在的图象上， 设， ∴， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）如图，假设存在点满足题意，设，直线与轴交点为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴，解得或， ∴或． 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据列出方程求解可得或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，然后求得其坐标即可解答； （4）当点Q在上方时，证明得到M的坐标为，进而求解即可；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 【经典例题十 一次函数中的新定义问题】 【例10】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称为线段的“等距点”；特别地，若，则称是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，是直线上一动点． (1)已知三个点：，，，则这三点中，可以作为线段的“等距点”的是 ，线段的“完美等距点”是 ； (2)若坐标原点为线段的“等距点”，求出点的坐标．（注意：在平面内有两点，，则其两点间的距离公式为）． 【答案】(1)B，D (2)或 【分析】本题综合考查了正比例函数与几何知识的应用，考查了两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是“等距点”； ∵， ∴， ∴C不是“等距点”； ∵， ∴， ∴是“等距点”， ∵， ，， ∴是“完美等距点”， 故答案为：B，D （2）解：∵点是直线上一动点， ∴， ∴， 而，，原点O为线段的“等距点” ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 2．（24-25九年级下·北京顺义·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①R，T；② (2)①；② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． （1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【详解】（1）解：①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是R，T， 故答案为：R，T； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）解：①直线与轴、轴分别交于点，， 当时，；当时，，解得， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ， ． 3．（24-25八年级下·广西来宾·期末）阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数关系式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】本题考查了直角坐标系下“和谐点”的定义，直角坐标系下点的平移，函数解析式的求解，需理解题目已知的“和谐点”的定义，由“和谐点”的定义求解是解决本题的关键． （1）根据“和谐点”的概念，计算，即可求解． （2）先由“和谐点”的定义求解点P的坐标，再由直角坐标系下点的坐标平移规律，即“左右平移纵坐标不变，横坐标左减右加相应的单位长度”求解即可． （3）①先由“和谐点”的定义表示出x和y，再根据t的表达式求解即可； ②根据点、点的横坐标相同，可求解x的值进而可求解t的值，即可求解点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点，， 设点， ∴有，， ∴点的坐标； 故答案为：． （2）解：设， ∵点是点，的“和谐点”， ∴， ∴， ∴点向左平移3个单位的像点的坐标为． （3）①解：∵点是点，的“和谐点”， ； ， ， 即； ②解：∵直线交轴于点，， 点、点的横坐标相同， ， ， ， 故． 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【详解】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，与坐标轴的交点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，令则，得直线与轴的交点坐标为，即可作答． （2）先分别把代入得出的值，再结合直线与线段有交点，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵直线是一次函数的图象，且 ∴， 令，则， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为； （2）解：依题意，把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴当直线与线段有交点时，则． 3．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点S，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）由题意可设，代入直线， 得，解得， F的坐标为， 过点 F分别作轴于 S点，轴于T点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【分析】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【详解】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； （2）∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 7．如图1，已知：直线与 x，y轴分别交于点A，B， 直线与x，y轴分别交于点C，D，相交于点F， (1)点F的坐标为 （用含m，n 的式子表示）； (2)当时，连接，若，请画出图形，并求m的值； (3)如图2，对于m的某一个确定的值，当n的值发生变化时，点F到直线的距离d总是一个定值，请你求出m的值并直接写出d的值． 【答案】(1) (2)见解析， (3)， 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质，平行线的判定，直角三角形的面积的计算，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）①联立两直线的解析式即可得出结论； （2）分和两种情况，利用全等三角形的对应边相等建立方程求解即可得出结论； （3）先求出点F的轨迹，进而判断出直线与直线平行，即可求出m的值，最后用三角形的面积求出d，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线①，直线②， 联立①②解得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：时， ①若，如图1， 令，则 ∴， ∴， ∵， ∴， 又点C在x轴负半轴上， ∴， 把点C的坐标代入， 得到：， 又∵ ∴舍去 ②若，如图2， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又点C在x轴正半轴上， ∴, 把点C的坐标代入， 得到：， 综上所述：； （3）解：由（1）知，，， ∴， 当m为一个确定的值时，是的正比例函数， 即：点F在直线上， ∵点F到直线 的距离d总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 设直线与x，y轴的交点为M，N， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，经过点的直线交轴的负半轴于点，且，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为．    (1)直接写出，，三点的坐标； (2)当时，求的长； (3)如图2，作点C关于直线的对称点G． ①用含m的代数式表示点G的坐标为 ； ②点D在线段上运动的过程中，当时，m的值为 ． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）在中，令得，令得，即得，，而，在轴负半轴，故； （2）设直线的解析式为，将点，代入可得直线的解析式为，当时，，，可得； （3）①由，，求得，得到或，据此求解可得；②根据已知条件得到，可解得或． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， ∵，在轴负半轴， ； （2）解：设直线的解析式为， 将点，代入中可得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标， 在中令得，即， 在中令得，即， ； （3）解：①∵，， ∴， ∴或， ∴点G的坐标为， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或． 9．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，点的坐标为，点是直线上一个动点． (1)在点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； (2)当点运动到什么位置时，的面积为9，求此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题综合考查了坐标与图形面积，列一次函数关系式，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）设点，将的面积表示出来，并分点P在第一、二象限和点P在第三象限两种情况进行讨论即可； （2）分别把代入（1）中两种情况下的函数关系式，求出点P的横坐标，再分别代入中可求出点P纵坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴P到x轴的距离为， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 令=0， 解得， ∴， ①当点P在第一、二象限时， ，      ②当点P在第三象限时，      ∴点P在运动过程中，的面积S与x的函数关系式为： ； （2）解∶当，的面积为9， ∴，解得， 代入，得， ∴， 当），的面积为9， ∴， 解得， 代入，得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）已知一次函数 (1)若函数是正比例函数，求值； (2)若函数图象不经过第四象限，求范围； (3)已知，，若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围； (4)淇淇说：“若无论为何值，一次函数的图总在一次函数下方，满足条件的值不存在．”你认为她的说法正确吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)正确；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）根据正比例函数定义可得，然后求出的值即可； （）函数图象不经过第四象限，则有，然后解不等式组即可； （）把代入一次函数得，解得：，把代入一次函数得，解得：，然后根据题意即可求出的取值范围； （）若一次函数的图象总在下方，则恒成立，然后通过讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：由题意得， 解得； （3）解：把代入一次函数得，解得：， 把代入一次函数得，解得：， ∵一次函数的图象与线段有交点， ∴的取值范围是或； （4）解：淇淇的说法正确，理由： 若一次函数的图象总在下方， 则恒成立， 移项可得，即， 当，即时，不成立； 当时，是一次函数，不可能恒小于， ∴淇淇的说法正确． 11．（24-25八年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线 与直线相交于点E，与x轴，y轴分别交于点C，D．若点 E的坐标为． (1)求点E的坐标和m的值； (2)连接AD，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、面积的计算等知识点，求得各点的坐标是解题的关键． （1）先求得，再将代入求得m的值即可解答； （2）先求得，，即，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 即点； 将的坐标代入，得， 解得：． （2）解：由（1）知直线． 当时，，当时，． ∴， ∵直线 当时，， ∴， ∴． ∴的面积． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在坐标轴的正半轴上，，点在直线上 (1)求点的坐标； (2)若点是直线上的任意一点，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将代入直线解析式即可得到点的坐标； （2）先求出长，再根据垂线段最短解答出最小值即可． 【详解】（1）解：在函数中，当时，， ． （2）解：在中，由勾股定理得， 点是直线上的任意一点， 的最小值就是点到的垂线段长， 设点到的垂线段长为， ， ． 线段的最小值为． 13．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知函数是正比例函数，且y随x增大而减小． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上有一点，在该函数图像上能否找一点 P，使 的面积为9？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质、三角形面积公式的应用，熟练掌握正比例函数（为常数，，次数为 ）的定义、对函数增减性的影响以及三角形面积公式是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义（形如（是常数，，的次数为 ）），先由次数满足求出可能的值，再结合随增大而减小（即比例系数小于 ）确定的具体值，进而得到解析式． （2）利用三角形面积公式（这里为长度，为点纵坐标的绝对值 ），先根据面积为求出点纵坐标的可能值，再代入已求得的正比例函数解析式求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：函数是正比例函数， ， 解，移项得，即，解得， 又随增大而减小， ， ， 正比例函数解析式为． （2）解：设点的坐标为， ，则， ，根据三角形面积公式， ， 化简得，两边同乘得， ， 点在直线上， 当时，，解得， 当时，，解得， 点坐标为或． 14．（24-25七年级下·黑龙江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数常考几何模型专训（10大题型+14道拓展培优题） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的平移模型 题型三 一次函数中的动点问题 题型四 一次函数与线段、图形交点问题 题型五 一次函数中的全等问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度角等） 题型八 一次函数中的最值问题 题型九 一次函数中的存在性问题 题型十 一次函数中的新定义问题 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，在以A为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．E是边上的一点，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点C．设点P运动的时间为t秒． (1)填空：________，________； (2)求出点P在运动过程中三角形的面积S（用含t的式子表示）； (3)是否存在一点P，使三角形的面积等于20？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点C的坐标为，当时，直接写出m的值． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点，． (1)点B在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点B的坐标； (2)点P从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点P，Q运动的时间以及点P的速度． 3．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 【经典例题二 一次函数中的平移模型】 【例2】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 1．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 2．（24-25八年级下·广东·期中）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 3．（2025·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 【经典例题三 一次函数中的动点问题】 【例3】（24-25九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义∶若，则点与点的“特别距离”为；若，则点与点的“特别距离”为． 例如∶点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点)． (1)已知点，为轴上的一个动点． ①若点与点的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“特别距离”的最小值． (2)已知是直线上的一个动点，如图2，点的坐标是，求点与点的“特别距离”的最小值及相应的点的坐标． 1．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是___________，点B的坐标是________； (2)点D在直线上（D不与B重合），当的面积等于的面积时，求出点D的坐标； (3)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E点坐标． 2．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 3．（24-25八年级下·江西新余·期末）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【经典例题四 一次函数与线段、图形交点问题】 【例4（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数有 个． 1．（24-25八年级下·四川成都·自主招生）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”．例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ．如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，则的取值范围为 ． 2．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 【经典例题五 一次函数中的全等问题】 【例5】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 3．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，点是线段上一点（不与点重合）．    (1)求点的坐标． (2)连接，将沿直线翻折得到，点为点的对应点，点在第一象限，且． ①求点的坐标． ②若直线与交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度角等）】 【例7】（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）操作思考：如图1．在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为 　；②点的坐标为 　　；（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，直接写出点坐标为 　　； （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是平面内一点，且坐标为．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．    (1)求的值和点的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转得到，求的函数表达式． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【经典例题八 一次函数中的最值问题】 【例8】（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)当点在边上时，求与之间的函数关系式； (3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级下·河南新乡·期末）已知一次函数分别与轴、轴交于点，点在直线上，其纵坐标为5．    (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，并求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求出的面积． 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，是线段（不含端点）上一动点，设的面积是．    (1)求点的坐标； (2)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)当时，在轴上是否存在一点，使得最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．    (1)设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； (2)当时，求点的坐标； (3)在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标． 【经典例题九 一次函数中的存在性问题】 【例9】（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，且m ，n满足，直线恰好是一次函数的图象，轴于B． (1)求点C的坐标，并求的周长； (2)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十 一次函数中的新定义问题】 【例10】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称为线段的“等距点”；特别地，若，则称是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，是直线上一动点． (1)已知三个点：，，，则这三点中，可以作为线段的“等距点”的是 ，线段的“完美等距点”是 ； (2)若坐标原点为线段的“等距点”，求出点的坐标．（注意：在平面内有两点，，则其两点间的距离公式为）． 2．（24-25九年级下·北京顺义·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称两点为同和点．下图中的两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点中，为点的同和点的是_____． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为_____． (2)直线与轴、轴分别交于点，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，直接写出的取值范围． 3．（24-25八年级下·广西来宾·期末）阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数关系式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，是原点，已知点．直线是一次函数的图象． (1)当时，求直线与轴的交点坐标； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围． 3．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1，直线与x轴， y轴分别交于A，B两点， 以点A为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求点C的坐标； (2)如图2，已知点F为直线上的一点，且F到两坐标轴的距离相等，G为y 轴的负半轴上一点，坐标为，以为直角边作，始终保持，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求 n与m的函数关系式． 5．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 7．如图1，已知：直线与 x，y轴分别交于点A，B， 直线与x，y轴分别交于点C，D，相交于点F， (1)点F的坐标为 （用含m，n 的式子表示）； (2)当时，连接，若，请画出图形，并求m的值； (3)如图2，对于m的某一个确定的值，当n的值发生变化时，点F到直线的距离d总是一个定值，请你求出m的值并直接写出d的值． 8．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，经过点的直线交轴的负半轴于点，且，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为．    (1)直接写出，，三点的坐标； (2)当时，求的长； (3)如图2，作点C关于直线的对称点G． ①用含m的代数式表示点G的坐标为 ； ②点D在线段上运动的过程中，当时，m的值为 ． 9．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，点的坐标为，点是直线上一个动点． (1)在点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； (2)当点运动到什么位置时，的面积为9，求此时点的坐标； 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）已知一次函数 (1)若函数是正比例函数，求值； (2)若函数图象不经过第四象限，求范围； (3)已知，，若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围； (4)淇淇说：“若无论为何值，一次函数的图总在一次函数下方，满足条件的值不存在．”你认为她的说法正确吗？说明理由． 11．（24-25八年级上·广东·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线 与直线相交于点E，与x轴，y轴分别交于点C，D．若点 E的坐标为． (1)求点E的坐标和m的值； (2)连接AD，求的面积． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在坐标轴的正半轴上，，点在直线上 (1)求点的坐标； (2)若点是直线上的任意一点，求线段的最小值． 13．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知函数是正比例函数，且y随x增大而减小． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上有一点，在该函数图像上能否找一点 P，使 的面积为9？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25七年级下·黑龙江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $