专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（6个知识点+16大题型+7大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训 （6个知识点+16大题型+7拓展训练+自我检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象与性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴交点问题 题型九 一次函数的图象问题 题型十 一次函数的平移问题 题型十一 根据一次函数增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探索问题 题型十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型十六 利用图象法解一元一次方程 拓展训练一 一次函数的图象与性质综合 拓展训练二 一次函数的增减性问题 拓展训练三 一次函数的平移问题 拓展训练四 一次函数的对称问题 拓展训练五 一次函数的旋转问题 拓展训练六 一次函数的最值问题 拓展训练七 一次函数的特殊角度问题 知识点一：一次函数、正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中，求出y的值即可得到答案； （3）把代入（1）所求的函数解析式中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，， 解得． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解； （2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：函数图象经过第二、四象限 ∴，即k的取值范围是； （2）将点代入函数解析式中，得：， 解得：， 所以正比例函数解析式为． 4．（24-25八年级下·吉林延边·期末）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质．可设，代入，，进行计算求出的值，整理即可得到答案． 【详解】解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 整理得：， 与之间的函数关系式为：． 知识点三：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 5．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 2 … … … (2)描点并连线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）根据的值求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【详解】（1）解：列表： x … … … … （2）描点、连线： 知识点四：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知y关于x的一次函数为． (1)当m，n是什么数时，y随x的增大而增大？ (2)当m，n是什么数时，函数图象经过原点？ (3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围． 【答案】(1)当，n为任意数时，y随x的增大而增大 (2)当时，函数图象经过原点 (3)若图象经过第一、二、三象限， 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数图象的性质解答． （1）根据一次函数，时，y随x的增大而增大，可得答案； （2）根据一次函数，且时，函数的图象经过原点，可得答案； （3）根据一次函数，，时，函数的图象经过第一、二、三象限，可得答案． 【详解】（1）解：当，n为任意数时，y随x的增大而增大； （2）解：当时，函数图象经过原点； （3）解：若图象经过第一、二、三象限， 8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质． （1）根据y随x的增大而减小，即，建立不等式求解即可； （2）根据一次函数不经过第四象限，即，建立不等式求解，再结合m为整数判断即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y随x的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下： ∵一次函数不经过第四象限， ∴且， ∴解得． ∵m为整数， ∴或． 知识点五：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第一、二、三象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2． 故选：D． 10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律是解题的关键． （1）将点的坐标代入计算即可； （2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可． 【详解】（1）解：一次函数（k为常数，且）的图象经过点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式为； （2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为． 知识点六：一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 【即时训练】 11．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： (1)关于x的方程的解是 ． (2)关于x的方程的解是 ． (3)关于x的方程的解是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是能利用图象解决问题． （1）（2）（3）都可利用函数图象直接得到答案． 【详解】（1）解：由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （2）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （3）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 1．（24-25八年级上·广西崇左·期末）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数， ∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2． 又∵该函数为正比例函数， ∴m+2=0，解得m=-2． ∴方程可变形为：， 解得：x=1， ∴方程的解为x=1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据是某正比例函数的“相关数对”，设这个正比例函数为，根据正比例函数的定义可知，正比例函数的比例系数不为，正比例函数的常数项为，可得：，，从而可以求出的值． 【详解】解：是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为， 则有，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)与x之间的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得，解得． 与x之间的函数关系式为； （2）由（1）知，， 则当时，， ． 【经典例题二 正比例函数的图象与性质】 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点在第 象限，它的横坐标为 【答案】 一 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，正比例函数的性质．分别计算、、、、、、、的横坐标，发现规律的横坐标为，按照规律解答即可． 【详解】解：∵，点在直线上， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线， ∴， 解得：， ∴，即点的横坐标为，且在第二象限， 同理： 点的横坐标为，且在第三象限， 点的横坐标为，且在第四象限， 点的横坐标为，且在第一象限， 点的横坐标为，且在第二象限， 点的横坐标为，且在第三象限， 点的横坐标为，且在第四象限， 点的横坐标为，且在第一象限， ， ∴点的横坐标为， 令， ∴， ∴点的横坐标为，且在第一象限， 故答案为：一；． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例3】（25-26八年级上·全国·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得，，解方程即可求出答案． 【详解】解：设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得， ， 则或 解得， 即一次函数的图象上的“特殊点”坐标为， 故答案为： 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数．无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确对函数解析式进行变形成为解题的关键． 解析式变形为，由此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 令，则． ∴一次函数图象过定点． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的函数值，先根据定义可得，求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数得， ， ∴， ∴； ∴， 把代入， ． 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·阶段练习）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值，解题的关键是正确运算． 【详解】解：把，代入，得， 解得：， 则当时， 把，代入， 得． 故答案为：. 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）在密码学中，把直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，a，b，c，…z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数，当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号，当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按该规定，将明码“”译成密码（密码是字母）是 ． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【答案】 【分析】此题考查一次函数的应用，先找出“”中各个字母对应的数，判断出奇偶数，然后依据不同的解析式进行解答即可． 【详解】解：明码中y对应序号为25，故密码对应的序号为，对应的字母为m， 明码中a对应序号为1，故密码对应的序号为，对应的字母为a， 明码中n对应序号为14，故密码对应的序号为，对应的字母为t， 明码中o对应序号为15，故密码对应的序号为，对应的字母为h， ∴将明码“”译成密码是； 故答案为：． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ． 【答案】-3 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上， ∴b＝3a+2， 则3a﹣b＝﹣2． ∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 1．如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是 ． 【答案】或． 【分析】根据k的取值大小分类计算即可； 【详解】解：当时，函数经过点和点， 将和代入， 得，解得， ∴函数解析式为， 当时，函数经过点和点， 将和点代入， 得，解得， ∴函数解析式为， 综上所述：函数解析式为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式求解，准确分析计算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（25-26八年级上·全国·阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．图像必经过第一、二、三象限 C．当时， D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质并熟练运用． 根据一次函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当时，图象与y轴的交点在x轴的上方，当时，图象与y轴的交点在x轴的下方，并对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．直线在轴上的截距为1，该选项错误，不符合题意； B．函数中，，，此函数图像经过第一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C．当时，，解得，该选项正确，符合题意； D．函数中，，随增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选C． 1．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶ 当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 故选∶ C． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）关于一次函数，给出下列结论：①图象经过第一，二，四象限；②图象与轴交于点；③图象向下平移个单位经过原点；④点在函数图象上其中正确的说法是 ．（只填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系以及坐标与图形变化平移，逐一分析各说法的正误是解题的关键． 由，，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限； 代入，可求出的值，进而可得出一次函数的图象与轴交于点；代入，可求出的值，进而可得出一次函数的图象与轴交于点，再利用平移，可得出将一次函数的图象向下平移个单位经过原点；代入，可求出的值，由，可得出点不在函数图象上． 【详解】解：，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，说法正确； 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴交于点，说法不正确； 当时，， 一次函数的图象与轴交于点， 将一次函数的图象向下平移个单位经过原点，说法正确； 当时，， ， 点不在函数图象上，说法不正确． 综上所述，正确的说法有． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数 (1)当时，______；当时，______； (2)y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； (3)函数图象经过第______象限； (4)函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 【答案】(1)； (2)减小；> (3)一、二、四 (4)； 【分析】（1）将代入，求出对应的y值；将代入，求出对应的x值； （2）根据一次函数的增减性作答即可； （3）分别求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标并作出图象，根据图象判断即可； （4）根据（3）作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，得， 解得 故答案为：； （2）， ∴y随x的增大而减小， ， 故答案为：减小； （3）当时，；当时，， 函数经过坐标和， 函数的图象如下： 由图象可知，函数经过第一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． （4）由（3）可知，函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 故答案为：； ． 【点睛】本题考查函数值、解一元一次方程、一次函数的图象和性质，掌握一元一次方程的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知一次函数的图象不经过第三象限，且图象经过、、三点，则、、的大小关系 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第三象限可得，，进而根据图象经过、、三点，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴，， ∴随的增大而减小， ∵一次函数的图象经过、、三点， ∴ 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． (1)当在何范围内取值时，随的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数，使函数的图象不经过第一象限？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查一次函数的图象性质： （1）根据一次函数的k与增减性的关系即可求解； （2）根据一次函数的k与b与图象关系即可求解． 【详解】（1）解：随的增大而减小， ， ； （2）解：存在，或，理由如下： 若一次函数不经过第一象限，则，解得， 为整数， 或． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围； (4)当时，y有最大值8，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一元一次不等式的求解，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）根据一次函数的性质得到，然后解不等式； （2）根据一次函数的性质得到，然后解不等式组； （3）先确定解析式，再分别计算出当时，；当时，；然后根据一次函数的性质确定函数值的范围； （4）根据或两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：函数图像经过第一、二、三象限， ， 解得：； （3）， 函数解析式为：， ，y随x的增大而增大 当时，， 当时，， 当时，； （4）若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：， 若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴交点问题】 【例8】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由得，当时，，由得，当时，，又一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则有，然后化简即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， 由得，当时，， ∵一次函数与的图象在轴上相交于同一点， ∴， ∴， 故选：． 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的意义，求一次函数与x轴交点的坐标，熟练掌握方程解的意义及求一次函数与x轴交点的坐标是解题的关键．把代入，求得，则，再令，即可列方程求解． 【详解】解：把代入，得， ， ， 令，则， 解得， 一次函数的图象与x轴交点的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知一次函数 (1)画出函数的图象． (2)求图象与x轴、y轴的交点 A、B的坐标． (3)若(1)中的图象上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3)． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，正确画出一次函数的图象是解题的关键． （1）根据描点法画出函数图象即可； （2）当时，，当时，，解得，即可求出答案； （3）把点的坐标代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． ．．． 函数的图象如图所示， （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴一次函数与x轴、y轴的交点 A、B的坐标分别为、． （3）把代入得到， 即m的值为． 3．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，注意（2）中C的坐标是两种情况． （1）分别令和，可求得A、B的坐标； （2）设C点的坐标为，然后分两种情况求得C的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令，得， 令，得，解得， ，； （2）解：，， ，， ， 设C点的坐标为， ， 将的面积分成的两部分， 或， 或， 解得：或4， 或， 设直线的解析式为， 或， 解得或 直线的解析式为或． 【经典例题九 一次函数的图象问题】 【例9】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期中）已知一次函数． (1)根据关系式画出函数的图象． (2)求出图象与轴、轴的交点、的坐标． (3)求出的面积． (4)的值随值的增大怎样变化？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)的面积为1 (4)随着的增大而减小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）列表，描点，连线画出函数图象即可； （2）直接根据（1）即可得出结果； （3）利用面积公式进行计算即可； （4）根据图象进行作答即可． 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 2 y 2 0 描点，连线，画图如下： （2）由（1）可知：，； （3）∵，， ∴，， ∴； （4）根据图象可知，随着的增大而减小． 1．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【答案】(1)见解答图 (2)①>；② (3)m的值为 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可； （2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得； （3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E点的坐标，利用即可求得m的值． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 当时，， ， 当时，解得， ， 函数图象如图． （2）解：①由图象可知，一次函数随x的增大而减小， 点，在该一次函数的图象上，且， ， 故答案为：>； ②由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，得到， 令，则求得， ， ， ， ， 的值为 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②0，或3 (2) 【分析】（1）①由题意画出函数图象即可；②由图象即可得解； （2）分类讨论，然后根据增减性找到取值范围内最大值和最小值，即可得解． 本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）①函数的图象如图所示； ②根据图象可知，当时，， 当时，或3； 故答案为：0，或3； （2）当时，此时当时，其图象都在的图象上， ， 随x增大而增大， 当时，，当时，， ； 当时，此时， 当时，，当时， ， 综上， 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C． (1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象； (2)若，求k的值； 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）根据一次函数，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象； （2）利用三角形面积公式求得的面积，进而求得，利用面积公式求得C的横坐标，代入即可求得纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是一条直线， 当时，解得； 当时，解得， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是和， 其图象如下： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 把代入得，， ∴， 把C的坐标代入得，． 【经典例题十 一次函数的平移问题】 【例10】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）直线与平行，则的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题考查两条直线平行问题，判断一次函数图象经过的象限，根据与平行，可得，进而判断的图象经过的象限． 【详解】解：直线与平行， ， 直线的解析式为， 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 3．（24-25八年级上·四川·期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题： 若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线． (1)若时，求： ①直线l1的表达式； ②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标； (2)若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值． 【答案】(1)①；②或 (2)5 【分析】本题考查了直线的平移，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）①先求出直线l与y轴交点A的坐标，然后求出平移后的对应点的坐标，设平移后的解析为，把对应点的坐标代入求解即可； ②设点的坐标，结合已知得方程，解方程即可求解； （2）类似（1）求出平移后直线的解析式，然后求出点B、P的坐标，根据两点间距离公式构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当，则， ∴直线经过， ∴右平移3个单位得到， ∴直线由直线向右平移3个单位后经过， ∴设直线解析式为， 则， ∴， ∴； ②设点的坐标为， ∵点到坐标轴距离相等， ∴， 解得或， ∴或， ∴坐标为或； （2）解：对于，当，则， ∴直线经过， ∴右平移m个单位得到， ∴直线由直线向右平移3个单位后经过， ∴设直线解析式为， 则， ∴， ∴； 令，则， ∴， ∴， 对于，当，则， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得 【经典例题十一 根据一次函数增减性求参数】 【例11】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，，，均在一次函数图象上，若，且，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由可得出与异号， 即随的增大而减小，再结合，可得出，对照四个选项后，即可得出结论，由，找出随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数图象上，且， ∴与异号， ∴随的增大而减小， 又∵，在一次函数图象上，且， ∴， ∴的取值可能是， 故选：． 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若点和点是一次函数（m，t为常数且）的图象上的两点，当时，m的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据且，判定即，自主选择即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据且，判定，即， 故， 故答案为：1（答案不唯一）． 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，其中．当时，函数有最大值，且最大值为2，则m的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 分两种情况：当，即时，当，即时，分别 根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最大值，且最大值为2， ∴时，函数， ∴； 当，即时，y随x的增大而减小， ∵当时，函数有最大值，且最大值为2， ∴时，函数， ∴； 综上，m的值为9或． 故答案为：9或． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线l 经过第二、三、四象限．若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第二、三、四象限且过点，得出y随x的增大而减小，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答． 【详解】解：∵过点的直线l 经过第二、三、四象限， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∴A、B、C均错； ∵点在直线l上，， ∴． ∴D正确． 故选：D． 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点，， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得： ， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1． 故答案为：1． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据当时，，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． （2）利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点，时，． ∴， 解得． （2）解：由（1）可知函数y随x的增大而减小， ∵该函数图象上有三个点，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，一次函数与不等式； （1）当时，，根据列表，描点，连线的方法画函数图像； （2）根据函数图像，即可求解； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称，离对称轴越远，函数值越大，据此分，，三种情况，结合题意，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 列表如下， -3 -2 -1 0 1 3 2 1 2 3 （2）根据函数图像可得，当时，函数随着的增大而减小， 的取值范围为； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称， 当时，，得 当时，，得 当时，不符合要求   ∴或 【经典例题十三 一次函数的规律探索问题】 【例13】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 1．（24-25八年级下·山东·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．以点O为圆心，以长为半径画弧，交直线于点B1，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心．以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；…按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律，由，，设，可求得为，同理可得，，找出规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为， 的坐标为，的坐标为， … 的坐标为，的坐标为， 故答案为：． 【经典例题十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例14】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识，重点是掌握直线与坐标轴交点求方程的解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据一元一次方程 的解和一次函数与轴交点的关系，即可求解； 【详解】解：已知一次函数 的图像经过点 和点 ， 点表示当时，函数值， ∴方程， 即求函数值时对应的值， ∴方程的解为； 故答案为：； 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）关于函数，给出下列结论： ①此函数是一次函数： ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是，其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】一次函数的形式是y=kx+b（k≠0），根据一次函数的图象的性质解答该题． 【详解】解：①当k-3≠0，即k≠3时，函数y=（k-3）x+k是一次函数．故①结论错误； ②由原解析式知（y+3x）-k（x+2）=0．所以， 解得，即无论k取何值，该函数图象都经过点点（-2，6）．故②结论正确； ③当该函数图象经过第二、三、四象限时，k-3＜0，且k＜0，所以k＜0．故③结论正确； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则（k-3）x+2k=0，所以x=＞0，解得0＜k＜3．故④结论错误． 综上所述，正确的结论是：②③． 【点睛】本题考查了一次函数的定义和一次函数的性质．在解答①题时，要注意一次函数解析式y=（k-3）x+k中自变量的系数不为零． 【经典例题十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例15】（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是 ． 【答案】5 【分析】由题意得直线l一定过点（3，0），在过（3，0）的直线中，当点Q和（3，0）的连线垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】∵直线l：y＝kx﹣3k=k（x-3） ∴当x=3时，y=0，故点（3，0）再直线l上 令点P（3，0） 连接PQ，当PQ垂直与直线l垂足为点P时，点Q到直线l的距离最大 PQ= 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了一次函数图像和点到直线的距离，过一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度是点到直线的距离；明确当PQ⊥直线l时，点Q到直线的距离最大是解题的关键． 3．（24-25八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用相似求出线段长度是解题的关键． （1）分别令x，y为0即可求得B，A的坐标，利用勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得： （2）当点G与点B重合时，如图，则 直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的面积 【经典例题十六 利用图象法解一元一次方程】 【例16】（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质： （1）确定两点后，连接即可； （2）一次函数与轴的交点坐标即为方程的解． 【详解】（1）函数的图象如图所示； （2）从图象上可知一次函数与轴的交点坐标为 则关于的方程的解是． 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与方程． （1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据一次函数与x轴的交点作答即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， ∴一次函数的图像过点、，画出图像如下： （2）解：根据函数图象可知，当时，， 即方程的解为． 2．（24-25八年级下·青海·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 2 3 4 … ①_______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则_____． (2)描点并画出该函数的图象． (3)根据函数图象可得： ①该函数的最小值为_________； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：________；________． (4)结合函数图象，解决问题：直接写出方程的解：________． 【答案】(1)①3；②2； (2)见解析； (3)①1；②函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (4)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）①将代入函数解析式即可求解；②由函数的对称性，从表格观察可得； （2）根据表格数据描点画出图象； （3）根据函数图象即可写出该函数图象的性质及函数的最小值； （4）结合函数图象，观察可得方程的解． 【详解】（1）①由表可知，当时，， ，解得； ②由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x值的和为2， 若点和点是该函数图象上的两点，则； （2）通过描点画出图象： （3）①从图象看，函数的最小值为1； ②函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （4）从图象看，和的交点的横坐标为或， 即方程的解为或． 【拓展训练一 一次函数的图象与性质综合】 【例1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），． (1)求点、的坐标； (2)设的面积为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)当的面积为时，点的坐标； (4)的面积能达到1吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及直线与坐标轴的交点问题，已知函数值求自变量的值，函数关系式等知识点． （1）分别令，即可求解直线与坐标轴的交点； （2）由题意得，则由即可建立函数关系式，根据点的运动范围可求解取值范围； （3）将代入函数解析式，求出，即可求解的坐标； （4）将代入函数解析式，求出，与取值范围比较即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当， 当，， 解得：， ∴，； （2）解：由题意得， ∴， ∴与之间的函数关系式为：， 的取值范围为：； （3）解：由题意得，当时，， 解得：， ∴； （4）解：不能，理由如下： 当时，， 解得：，不在范围内， 故不能． 2．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过点和点． (1)若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____． (2)在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）先利用待定系数法，用m表示出k，b，再根据一次函数的性质得出，解不等式即可； （2）由已知，根据勾股定理得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和点， ∴， 解得， ∵一次函数的函数值随着的增大而增大， ∴， 解得， 即若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是， 故答案为：； （2）解：∵在轴上有一点，且， ∴在中，， ∵，，， ∴，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于A、B两点（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求的值； (3)点是函数图像上一动点，其横坐标为，点不与点重合，将图像上、之间的部分（包括点、点）记作图像； ①图像的最高点和最低点的纵坐标差为，当时，求关于的函数解析式． ②当图像G的最高点和最低点在直线的异侧时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)2 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，分段函数图象； （1）当时解方程即可； （2）由把代入计算即可； （3）①设，分三种情况：当时，当时，当时，分别判断最低点和最高点，再计算即可；②图像G的最高点和最低点在直线的异侧结合①中最高点和最低点分情况列不等式求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象与轴交于A、B两点， 当时，或， 解得：或， ∵点A位于点B左侧， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点在函数图像上，， ∴，即， ∴的值为2； （3）解：①设， 当时，点在线段上，，此时图像解析式为，随的增大而减小，当点是最低点，点是最高点，； 当时，点在线段上，此时图像解析式为，当点是最低点，点是最高点，； 当时，点在射线上，，此时图像解析式为，当点是最低点，点是最高点，； 综上所述，； ②∵图像G的最高点和最低点在直线的异侧， ∴当时，点是最低点，点是最高点，则，解得，不符合； 当时，点是最低点，点是最高点，，解得，不符合； 当时，点是最低点，点是最高点，，解得； 综上所述，当图像G的最高点和最低点在直线的异侧时，． 【拓展训练二 一次函数的增减性问题】 【例2】】（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)若点在函数图像上，求m的值． (4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）令，分别求出的值，即可A、B两点坐标； （2）当时，代入求值即可； （3）当时，分情况代入求值即可； （4）利用一次函数的增减性，确定图像G的最高点和最低点的纵坐标即可，注意分类讨论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，； （3）解：当，解得， 当，解得， 综上所述：的值为； （4）解：当时，图象G解析式为，此时随的增大而减小，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为， ∴； 当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为，当时，最低点纵坐标为， ∴； 综上所述：①，；②，；③，． 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【答案】(1)0；； (2)见解析 (3)1；小； (4)9 【分析】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把或1或2代入函数解析式，即可解； （2）描点、连线，在图中画出该函数图象即可； （3）观察图形即可得出结论； （4）根据图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0；；； （2）解：函数图象如下图所示： ， （3）解：观察图象得： 图象关于直线对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最小值，该值是； 故答案为：1；小；； （4）解：画出直线，根据整点的定义可知，有九个整点． . 故答案为：9． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)是 (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把的值分别代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再分别求出当、、 时的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：，； （2）如图，即为所求； （3）由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形， 故答案为：是； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数的图象和性质，部分过程如下：自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． (1)请补全该函数的图象； (2)观察该函数图象，写出该函数的一条性质： ________； (3)已知函数（其中为常量），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴是（答案不唯一） (3)的值为 【分析】本题主要考查了一次函数性质、一次函数的图象等知识点，掌握数形结合是解题的关键． （1）根据表格数据，画出函数图象即可； （2）根据函数图象，写出一条性质即可； （3）在自变量范围内，分、两种情况分别利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：补全函数图象如下： （2）解：函数图象的对称轴是（答案不唯一） （3）解：①若，即，当时，函数取最大值，     ∴，即（舍去）．     ②若，即，当时，函数取最大值，     ∴，即，解得，符合题意． 综上，满足条件的的值为． 【拓展训练三 一次函数的平移问题】 【例3】（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的美丽邂逅我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图1所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、二、三象限；③其图象与轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向上平移2个单位长度得到． 在一次函数的表达式的右侧添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． （1）列表： (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)请写出函数与一次函数图象特征的相同点和不同点（各写一条即可）； (3)将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把，，代入函数关系式进行计算，再描点、连线画出函数图象即可； （2）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可； （3）根据函数平移的规律即可解答． 【详解】（1）解：（1）当时，， 当时，， 当时，， 列表： … 0 1 … … 3 2 1 0 1 2 3 … 连线，画出函数的图象； （2）解：答案不唯一，例如： 相同点：两个函数图象都与轴交于点；都与轴交于点， 不同点：函数的图象是具有公共端点的两条射线组成，函数的图象是一条直线；函数不经过第三象限，而函数经过第三象限． （3）解：将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为， 故答案为： 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． (2)求原点到直线的距离； (3)点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 【答案】(1)直线的表达式为，， (2) (3)最小值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数，函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求出直线的解析式． （1）先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再根据平移即可求解； （2）过点作于点，根据（1）可得，，，最后根据即可求解； （3）先求出点的坐标，将点、的坐标分别代入中，求出的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，将点代入得：， 正比例函数的解析式为， 正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为：， 令，则；令，则， ，； （2）过点作于点， 由（1）知，， ，，， ， ， 原点到直线的距离为； （3）点是直线：上的一点， ，即， 点， 当直线：经过点时，， 解得：， 当直线：经过点时， ， 解得：， ， 最小值为． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式计算． 例如：求点到直线的距离． 解：∵直线，其中，． ∴点到直线的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点到直线：的距离； (2)直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，求、这两条平行直线之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式直接计算即可； （2）先根据平移求出直线的解析式，在直线上任意取一点，然后计算这个点到直线的距离即可． 【详解】（1）解：∵直线，其中，． ∴点到直线的距离为：． （2）解：∵直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 当时，，即点在直线上， ∵直线：，其中，， ∴点到直线的距离为：． ∴、这两条平行直线之间的距离为． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，平行线之间的距离等，解题的关键是能够理解题目中距离的计算公式求得点到直线的距离． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点，． (1)填空：_________，_________． (2)如图，点是坐标平面第一象限内一点，现将直线AB沿x轴正方向平移n个单位长度后恰好经过点M，求平移后的直线解析式和n的值． 【答案】(1)-4，2； (2)， 【分析】（1）令x = 0，可以求出B的坐标，再令y= 0可以求出A的坐标，从而得到a和b的值； （2）根据一次函数解析式平移规律——左加右减，上加下减，设平移后函数解析式，将代入解析式，解之即可得解． 【详解】（1）解：在函数中， 令得：， 解得：， ∴，即； 令得：， ∴，即； 故答案为：-4，2； （2）解：根据题意，设平移后的直线解析式为：， ∵平移后的直线恰好经过点M， ∴将代入中得： ， 解得： ， ∴平移后的直线解析式为：． 【点睛】本题考查了一次函数，以及平移后直线解析式，平移后解析式遵循“左加右减，上加下减”的规律，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 【拓展训练四 一次函数的对称问题】 【例4】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 1．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 2．（24-25八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； 故答案为：2； （3）解：如图所示， （4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 【拓展训练五 一次函数的旋转问题】 【例5】（24-25八年级下·四川成都·期中）一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边． (1)求点坐标； (2)在第二象限内有一点，使，求点的坐标； (3)将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于．求的面积． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先求得、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标； （2）过点作，则．设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标； （3）先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）当时，， ． 当时，． ． ，． ， ，． 为等边三角形， ． ． ． （2）如图1，过点作． ， ． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：，解得． 直线的解析式为． 将代入的解析式得：，解得：， ． （3）如图，由（1）知，，， ， 为等边三角形， ， 由折叠知，， 由旋转知，，， 取上取一点使，，连接， ， 设， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键． 1．（24-25八年级下·广东·期中）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 【答案】（1）；（2），，；（3）①或；②；（4） 【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①分、、，三种情况求解即可； ②过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （4）求出，则，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2），， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ． ． 过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）①如图，当，时，过点作于点，过点作于点， 点，点， ，，， ， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为； 如图，当，时，过点作，过点作， ，， ，， ，且，， ， ，， ， 点坐标为， 综上所述：点坐标为：、； 故答案为：、； ②如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得． 所得到的图象对应的函数表达式为． 如图作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题为一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平移变换，对称点坐标，利用待定系数法求函数解析式，一次函数与几何图形的关系，熟练求一次函数解析式是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为_____；②点的坐标为_____．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）， 【分析】（1）作轴于F，轴于E，根据勾股定理可得长，由对应边相等可得B点坐标； （2）过点作轴,通过证明得出点B坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； （3）设点Q坐标为，可通过证三角形全等的性质可得a的值，由Q点坐标可间接求出P点坐标. 【详解】解：（1）如图1，作轴于F，轴于E， 由A点坐标， ， 在中，根据勾股定理可得， 为等腰直角三角形， ， 轴于F，轴于E， ， 又， ， ， ， 所以B点坐标为： ； （2）如图2，过点作轴． 为等腰直角三角形， ， 轴， ， 又， ， ∴， ∴，， ∴． 设直线的表达式为， 将和代入，得： ， 解得， ∴直线的函数表达式． （3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方， 设点Q坐标为，点P坐标为， 当点Q在x轴下方时，连接，过点作 交其延长线于M，则M点坐标为， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， 由题意得 ， ，， 解得 ， 所以； 当点Q在x轴上方时，连接，过点作 交其延长线于N，则N点坐标为， 同理可得， ， 由题意得 ， ，， 解得 ， 所以， 综上的坐标为：． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键. 3．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答． (1)理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______， ∴______． 在中，∵， ∴， 即最小． 归纳小结：本问题实际是利用轴对称或旋转等变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决，本问题可拓展为作定点关于定直线的对称点，从而转化为两点之间的距离或点线之间的距离来解决生活中问题的思想． (2)模型应用 如图④，正方形的边长为2，E为的中点，F是上一动点．求的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线对称，连接交于F，则的最小值就是线段的长度，的最小值是 ． 如图⑤在平面直角坐标系中，直线的函数关系式是，点C是的中点，点P是线段上一点，点Q是线段上一点，则周长的最小值是 ； 如图⑥，正方形的边长为，其内部有一点P，当的和最小时，则点P距离最近顶点的距离是多少？并写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； （2）由正方形的对称性确定出的位置；如图，作关于直径轴对称点，作交轴于，垂足为，则周长的最小值是就是线的长度，作轴交轴于，连接，利用三角函数结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，， ∴． 在中，∵， ∴，即最小． （2）解：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，与关于直线对称，连接交于， 则的最小值就是线段的长度，的最小值是． 在正方形中，， 点是中点， ， 根据勾股定理得，， 即：的最小值， 故答案为：； 如图， 一次函数的图象与，轴分别交于，两点， ，， ∴ 又∵点C是的中点， ∴， 由平面坐标系中的对称性可知，作关于轴对称点，关于直线的对称点，连接，则长为周长的最小值，过作轴于点D，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， 在中，，即， 解得（舍去），， ∴， ∴    ， ∴； 故答案为：； 解：如图，将沿点逆时针旋转到， 过作，交的延长线于，连接， ，，，， ，， 是正三角形， ， ∴∠ 此时，的最小值为， ，， ， 在中，，， 得：，，， ∴，， 过点P作于点Q， 则， ∵， ∴， ∴，即， 解的：， ∴， ∴， ∴点P距离最近顶点的距离是． 【拓展训练六 一次函数的最值问题】 【例6】】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； (3)在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）由（1）即可解答； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再设的解析式为，将点和点C代入求出解析式，进而即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：，，关于y轴对称对应点分别为，，， 连接如下图所示： （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：如图，∵点A和点关于y轴对称， ∴连接交y轴于点P，则点P即为所求： 由对称可知，， ∴的周长为， ∵两点之间线段最短， ∴当点P为与y轴的交点时，的周长最小， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短线路问题，熟练掌握以上知识点是关键． 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小，先求出值，得到坐标，利用待定系数法求出直线解析式，由解析式得到点坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小， ∵点在一次函数的图象上， ， ∴， 在一次函数中，当时，当时， ∴，， 设直线解析式为，由条件可得： ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，若轴上有一点，使得的值最小，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，由于点的坐标易得，于是利用待定系数法可求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，连接， ∵被轴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时的值最小． ∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为． 当时，则，解得：． ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①； ②直线BC的解析式为； ③点； ④若直线BC上存在一点P，使得的值最小，则点P的坐标是．正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识． 先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；分别讨论点在、点的情况，比较值的情况，得出当点在点时，使得的值最小可判断④，即可求解． 【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点，故③正确； 直线上存在一点， 当点在点时，， ， 当点在点时，， 在中， 当点在点时，使得的值最小，则点的坐标是，故④正确； 综上分析可知，正确的结论为①②③④． 故答案为：①②③④． 【拓展训练七 一次函数的特殊角度问题】 【例7】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江·期末）【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【详解】（1）①求出，可得是等腰直角三角形，故；②当时，取得最小值，求出的值，证明，即得，即的最小值是； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，求出，设，可证，则，求出，即可得直线l的函数表达式； （3）设，分两种情况求解：当P在x轴的上方时和当P在x轴的下方时． 【解答】解：（1）①在中，令得，令得； ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由垂线段最短知，当时，取得最小值，如图： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值是， 故答案为：； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，如图： 在中，令得，令得， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线l的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， ∴； （3）设， 当P在x轴的上方时，过P作轴于M，如图： 由，同（2）可证， ∴； ∴， 解得， ∴； 当P在x轴的下方时，过Q作轴交于N，过P作于M，如图： 则， 同（2）可证， ∴； 即， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，，直线经过点且与轴负半轴交于点，．若线段上存在一点，使是以为直角顶点的等腰直角三危形，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作交于，过作，可得，有，，即可得出结论． 【详解】解：过作交于，过作，如图：    ∵， 是以为直角顶点的等腰直角三危形， ，， ， ， ， ， ∴ ． 故选：C 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及旋转变换，全等三角形的判定与旋转，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）由题知，设，则． 在中，， 即：， ， ∴， 又， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3），，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． A基础训练 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：符合正比例函数定义的只有C选项，A、B、D都不是正比例函数； 故选C． 2．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例的图象与性质，涉及解一元一次方程等知识．根据题意，将代入并解方程求出，得到，把代入即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得， ∴ 把代入得到， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第一、二、三象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2． 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）关于的方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得当时，则转化为方程，进而问题可求解． 【详解】解：当时，函数则转化为方程， ∴函数的图象与轴的交点坐标是； 故答案为． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特征，此类题目只需要根据k的符号确定函数y随x的变化情况，进而求解．由一次函数判断函数值y随自变量x的值增加而增加，即可求解． 【详解】解：由题意可知一次函数解析式为： ， 斜率， 函数的增减性为：函数值y随自变量x的值增加而增加， 令，代入函数解析式得， 点在一次函数上， ，也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知，． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，得到的新的一次函数解析式为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数，解题关键是熟练掌握如何根据一次函数增减性求参数． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）一次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， 解得：； （2）在一次函数中， ， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 代入得， ， 解得：． 故答案为：①；②． 9．（24-25八年级上·全国·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出正比例函数的图象，说说你的发现． 【答案】图像见解析. 由图像可得：图像都通过坐标原点；当时，如，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；并且k越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大，直线越陡.当时，如，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小. 【分析】画出正比例函数图像，通过图像分析． 【详解】解：当时，,所以正比例函数通过这个点； ,所以正比例函数通过这个点； ,所以正比例函数通过这个点． 画出正比例函数的图象可得： 由图象可得：图像都通过坐标原点； 当时，如，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；并且k越大，直线与x轴正方向所成的锐角越大，直线越陡； 当时，如，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质，解决问题的关键时熟练掌握一次函数的性质． 10．（25-26八年级上·全国·阶段练习）将直线向上平移5个单位后得到直线． (1)写出直线的函数表达式； (2)判断点是否在直线上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的性质； （1）根据口诀“上加下减，左加右减”求解即可； （2）求出当时的函数值，再判断即可． 【详解】（1）解：将直线向上平移5个单位后的函数解析式为， 即直线的函数解析式为； （2）解：当时，， 所以点在直线上． B 提高训练 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）将直线先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后，所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律来求解平移后的直线表达式． 【详解】解：根据一次函数图像平移规律：向左平移个单位，自变量需加；向下平移个单位，函数值需减． 原直线表达式为，向左平移个单位后，表达式变为, 再向下平移个单位后，表达式变为, 化简可得：, 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图像的平移变换，解题关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律，准确对自变量和函数值进行变换． 12．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性．根据正比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵、、三点都在函数的图象上，且， ∴． 故选：D 13．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程之间的关系，解题关键是利用数形结合思想解题． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：， ， 一次函数的图象与轴交于点， 时，，即时，， 关于的方程的解为． 故选：． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象必过二、四象限，随的增大而减小；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解． 【详解】解：令，； ∴图象与轴交于点，故A错误； ∵， ∴随的增大而增大，故B错误； ∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，故C错误； ∵，；且随的增大而增大， ∴当时，；故D正确； 故选：D 15．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·期中）关于函数，有下列说法：①y 随 x 的增大而增大；②图象不经过第一象限；③图象与直线 平行．其中正确的说法是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质、正比例函数的性质．根据一次函数的图象和性质、正比例函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴y 随 x 的增大而减小，图象经过第二、三，四象限，故①错误；②正确； ∵， ∴函数图象与直线 不平行，故③错误． 故答案为：② 17．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴正半轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点恰好落在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题， 一次函数图象上点的坐标特征，过作于，先求出，，得到的长，再根据折叠的性质得到平分，得到，，则，，在中，利用勾股定理得到的方程，解方程求出即可． 【详解】解：过作于，如图， 对于直线，令，得；令，， ，，即，， ， 又坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴上， 平分， ，则， ， ， 在中   解得， 点的坐标为； 故答案为：． 18．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·全国·阶段练习）把下面画函数的图象的过程补充完整． 解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 … （2）画出的函数图象如下图所示． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）将的值代入函数解析式求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【详解】解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 3 2 1 0 … （2）画出的函数图象如图所示． 20．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． 【答案】(1) (2)图见详解 (3)①0，；②当时，随着的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可代值进行求解即可； （2）根据描点连线可作函数图象； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由表格可得： ； 故答案为2； （2）解：根据表格可得图象如下： （3）解：由（2）中图象可得： ①当时，函数有最小值为； ②除了上述性质外，该函数当时，随着的增大而增大． C 培优训练 21．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数的图象确定相应的系数，然后比较，找出矛盾即可求解． 【详解】解：A、中即，中，即，矛盾，不符合题意； B、 中即，中，即，矛盾，不符合题意； C、中即，中，即，符合题意； D、中即，中，即，矛盾，不符合题意； 故选：C． 22．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，中点坐标公式，两点间距离公式，先求出A，B两点坐标，得中点F的坐标，求得点E关于x轴的对称点，求出直线的解析式，交x轴于点P，则，当三点在同一条直线上时最小，最小值为，由两点间距离公式求出即可． 【详解】解：对于直线 ， 当时，；当时，， ∴，， 由中点坐标公式得，， 则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 23．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算出对应a的值；时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算对应a的值． 【详解】解：①时，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得； ②时，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得， 所以或， 故选：D． 24．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 【详解】解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． 25．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，分和两种情况分析即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ， ∴当时，有最大值为， 解得：； 当时，随的增大而减小， ， ∴当时，有最大值为， 解得：； ∴的值为或， 故答案为：或． 26．（24-25七年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，则线段的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． 先求出一次函数与轴、轴的交点、的坐标，再利用勾股定理计算线段的长． 【详解】解：对于一次函数，令，则， ， ， ∴； 令，则， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解，，结合以点P，O，B为顶点的三角形与全等，分三种情况讨论即可． 【详解】解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合），分情况如下： ①如图所示： ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴当时，当时，则， 解得：， ∴，， ； ②如图， 此时， ∴； ③如图，当时， 此时， ∴， 故点的坐标为或或． 故答案为：或或 28．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，函数y有最大值， ∴当时，，代入得，， 解得：． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若函数图象与轴的交点在原点上方，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)且． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）根据一次函数的图象与性质即可求解； （）根据一次函数的图象与性质即可求解； （）根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：∵随的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：∵函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴； （3）解：∵函数图象与轴的交点在原点上方， ∴， ∴， ∵关于的函数是一次函数， ∴，即， ∴的取值范围是且． 30．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训 （6个知识点+16大题型+7拓展训练+自我检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象与性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴交点问题 题型九 一次函数的图象问题 题型十 一次函数的平移问题 题型十一 根据一次函数增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探索问题 题型十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型十六 利用图象法解一元一次方程 拓展训练一 一次函数的图象与性质综合 拓展训练二 一次函数的增减性问题 拓展训练三 一次函数的平移问题 拓展训练四 一次函数的对称问题 拓展训练五 一次函数的旋转问题 拓展训练六 一次函数的最值问题 拓展训练七 一次函数的特殊角度问题 知识点一：一次函数、正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 4．（24-25八年级下·吉林延边·期末）已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式． 知识点三：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 5．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 2 … … … (2)描点并连线． 知识点四：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知y关于x的一次函数为． (1)当m，n是什么数时，y随x的增大而增大？ (2)当m，n是什么数时，函数图象经过原点？ (3)若图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围． 8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数． (1)当m在何范围内取值时，y随x的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 知识点五：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 知识点六：一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 【即时训练】 11．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： (1)关于x的方程的解是 ． (2)关于x的方程的解是 ． (3)关于x的方程的解是 ． 12．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25八年级上·广西崇左·期末）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【经典例题二 正比例函数的图象与性质】 【例2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点在第 象限，它的横坐标为 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例3】（25-26八年级上·全国·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 1．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知一次函数．无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·期中）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26八年级上·全国·阶段练习）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）在密码学中，把直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，a，b，c，…z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数，当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号，当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按该规定，将明码“”译成密码（密码是字母）是 ． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于 ． 1．如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是 ． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（25-26八年级上·全国·阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．图像必经过第一、二、三象限 C．当时， D．随的增大而增大 1．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）关于一次函数，给出下列结论：①图象经过第一，二，四象限；②图象与轴交于点；③图象向下平移个单位经过原点；④点在函数图象上其中正确的说法是 ．（只填序号） 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数 (1)当时，______；当时，______； (2)y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； (3)函数图象经过第______象限； (4)函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知一次函数的图象不经过第三象限，且图象经过、、三点，则、、的大小关系 ． 2．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． (1)当在何范围内取值时，随的增大而减小？ (2)是否存在这样的整数，使函数的图象不经过第一象限？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围； (4)当时，y有最大值8，求m的值． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴交点问题】 【例8】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则的值是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴交点的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知一次函数 (1)画出函数的图象． (2)求图象与x轴、y轴的交点 A、B的坐标． (3)若(1)中的图象上有一点，求m的值． 3．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式． 【经典例题九 一次函数的图象问题】 【例9】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期中）已知一次函数． (1)根据关系式画出函数的图象． (2)求出图象与轴、轴的交点、的坐标． (3)求出的面积． (4)的值随值的增大怎样变化？ 1．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C． (1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象； (2)若，求k的值； 【经典例题十 一次函数的平移问题】 【例10】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）直线与平行，则的图象不经过的象限是 ． 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 3．（24-25八年级上·四川·期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题： 若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线． (1)若时，求： ①直线l1的表达式； ②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标； (2)若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值． 【经典例题十一 根据一次函数增减性求参数】 【例11】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，，，均在一次函数图象上，若，且，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若点和点是一次函数（m，t为常数且）的图象上的两点，当时，m的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，其中．当时，函数有最大值，且最大值为2，则m的值为 ． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线l 经过第二、三、四象限．若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【经典例题十三 一次函数的规律探索问题】 【例13】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·山东·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．以点O为圆心，以长为半径画弧，交直线于点B1，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心．以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；…按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 【经典例题十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例14】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）关于函数，给出下列结论： ①此函数是一次函数： ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是，其中正确的是 （填序号）． 【经典例题十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例15】（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是 ． 3．（24-25八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【经典例题十六 利用图象法解一元一次方程】 【例16】（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 2．（24-25八年级下·青海·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 2 3 4 … ①_______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则_____． (2)描点并画出该函数的图象． (3)根据函数图象可得： ①该函数的最小值为_________； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：________；________． (4)结合函数图象，解决问题：直接写出方程的解：________． 【拓展训练一 一次函数的图象与性质综合】 【例1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 1．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），． (1)求点、的坐标； (2)设的面积为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)当的面积为时，点的坐标； (4)的面积能达到1吗？请说明理由． 2．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过点和点． (1)若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____． (2)在轴上有一点，且，求点的坐标． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于A、B两点（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求的值； (3)点是函数图像上一动点，其横坐标为，点不与点重合，将图像上、之间的部分（包括点、点）记作图像； ①图像的最高点和最低点的纵坐标差为，当时，求关于的函数解析式． ②当图像G的最高点和最低点在直线的异侧时，直接写出的取值范围． 【拓展训练二 一次函数的增减性问题】 【例2】】（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求n的值． (3)若点在函数图像上，求m的值． (4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式． 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数的图象和性质，部分过程如下：自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． (1)请补全该函数的图象； (2)观察该函数图象，写出该函数的一条性质： ________； (3)已知函数（其中为常量），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，请求出满足条件的的值． 【拓展训练三 一次函数的平移问题】 【例3】（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的美丽邂逅我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图1所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、二、三象限；③其图象与轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向上平移2个单位长度得到． 在一次函数的表达式的右侧添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． （1）列表： (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)请写出函数与一次函数图象特征的相同点和不同点（各写一条即可）； (3)将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象对应的表达式为． 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． (2)求原点到直线的距离； (3)点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式计算． 例如：求点到直线的距离． 解：∵直线，其中，． ∴点到直线的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点到直线：的距离； (2)直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，求、这两条平行直线之间的距离． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点，． (1)填空：_________，_________． (2)如图，点是坐标平面第一象限内一点，现将直线AB沿x轴正方向平移n个单位长度后恰好经过点M，求平移后的直线解析式和n的值． 【拓展训练四 一次函数的对称问题】 【例4】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【拓展训练五 一次函数的旋转问题】 【例5】（24-25八年级下·四川成都·期中）一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边． (1)求点坐标； (2)在第二象限内有一点，使，求点的坐标； (3)将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于．求的面积． 1．（24-25八年级下·广东·期中）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______； 【深度思考】 （3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______． ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式． 【拓展应用】 （4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为_____；②点的坐标为_____．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的坐标，若不存在，请说明理由． 3．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图②，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答． (1)理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______， ∴______． 在中，∵， ∴， 即最小． 归纳小结：本问题实际是利用轴对称或旋转等变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决，本问题可拓展为作定点关于定直线的对称点，从而转化为两点之间的距离或点线之间的距离来解决生活中问题的思想． (2)模型应用 如图④，正方形的边长为2，E为的中点，F是上一动点．求的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线对称，连接交于F，则的最小值就是线段的长度，的最小值是 ． 如图⑤在平面直角坐标系中，直线的函数关系式是，点C是的中点，点P是线段上一点，点Q是线段上一点，则周长的最小值是 ； 如图⑥，正方形的边长为，其内部有一点P，当的和最小时，则点P距离最近顶点的距离是多少？并写出解答过程． 【拓展训练六 一次函数的最值问题】 【例6】】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； (3)在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为 ． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，若轴上有一点，使得的值最小，则点坐标为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①； ②直线BC的解析式为； ③点； ④若直线BC上存在一点P，使得的值最小，则点P的坐标是．正确的结论是 ． 【拓展训练七 一次函数的特殊角度问题】 【例7】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 1．（24-25八年级上·浙江·期末）【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于，，直线经过点且与轴负半轴交于点，．若线段上存在一点，使是以为直角顶点的等腰直角三危形，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． A基础训练 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）关于的方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是 ． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是 ． 7．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的解析式是 ． 8．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·全国·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出正比例函数的图象，说说你的发现． 10．（25-26八年级上·全国·阶段练习）将直线向上平移5个单位后得到直线． (1)写出直线的函数表达式； (2)判断点是否在直线上． B 提高训练 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）将直线先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后，所得直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 12．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 15．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 16．（25-26八年级上·全国·期中）关于函数，有下列说法：①y 随 x 的增大而增大；②图象不经过第一象限；③图象与直线 平行．其中正确的说法是 ． 17．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴正半轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点恰好落在轴上，则点的坐标是 ． 18．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 19．（25-26八年级上·全国·阶段练习）把下面画函数的图象的过程补充完整． 解：（1）列表如下： x … 0 1 2 3 …      … 4 … （2）画出的函数图象如下图所示． 20．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)列表：下表是列出的几组、的对应值； 0 1 2 3 4 2 1 0 0 1 a 表中___________； (2)据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象； (3)性质探究： ①观察图象，当___________时，函数有最小值为___________； ②除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质． C 培优训练 21．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 24．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 26．（24-25七年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，则线段的长是 ． 27．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图直线分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形与全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ． 28．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 29．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若函数图象与轴的交点在原点上方，求的取值范围． 30．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $