5.1 认识二元一次方程组 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程、方程组及解的概念，课堂导入通过购物问题（5元、3元笔记本买8本花34元），引导学生从一元一次方程旧知过渡，发现两个未知数和两个等量关系，搭建从“一个未知数”到“两个未知数”的学习支架。 特色是以情境驱动建模，如购物、老牛驮包裹问题，培养数学抽象与模型意识。通过代入验证找公共解，强化推理意识，如例1中验证成人儿童人数，帮助学生区分方程与方程组的解。结构清晰，助力教师突出重难点，提升学生建模与逻辑推理能力。

1 认识二元一次方程组 课程：初中数学 教材：初中数学北师大版（2012）八年级上册 章节：1 认识二元一次方程组 教材分析 本节课通过实际问题引入二元一次方程和二元一次方程组的概念，帮助学生理解含有两个未知数且未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，由两个这样的方程组成的方程组称为二元一次方程组，进而认识方程的解与方程组的公共解。教学过程从情境出发，引导学生经历建模、观察、归纳与验证的过程。本节内容与前面一元一次方程的学习密切相关，是从“一个未知数”向“两个未知数”的过渡，体现了方程思想的拓展。本节课的作用在于帮助学生建立二元一次方程组的基本概念，理解解的含义，提升抽象概括和数学建模能力，为后续学习解二元一次方程组及解决实际问题奠定基础，同时也为函数思想的萌芽提供支撑。 学情分析 七年级学生已学习一元一次方程的概念及其解法，具备用字母表示数和列简单方程解决实际问题的基础，为本节学习二元一次方程组提供了知识准备，此阶段学生处于由具体运算向抽象逻辑思维过渡的阶段，对实际问题有较强的兴趣但抽象理解能力仍需引导，本节课要求学生能从实际情境中抽象出含有两个未知数的等量关系，理解和的概念，掌握方程的解与方程组公共解的意义，并通过代入验证寻找公共解，帮助学生初步建立方程建模思想，提升分析问题和数学表达能力，为后续学习方程组的解法及函数知识奠定基础。 教学目标 1. 理解二元一次方程及二元一次方程组的概念，能识别中未知数的个数和次数，掌握方程解的基本含义，提升符号意识与数学抽象素养，发展用数学语言表达实际问题的能力。 2. 能判断一组数值是否为二元一次方程（组）的解，通过代入验证体会方程解的确定性与公共解的唯一性，增强运算能力与逻辑推理能力，培养严谨的数学思维习惯。 3. 通过实际情境建立二元一次方程组，理解方程组中相同字母代表相同量的意义，提高模型观念与应用意识，发展将现实问题转化为数学问题的能力。 重点难点 重点： 理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念；能判断给定方程或方程组是否为二元一次方程或方程组。 难点： 理解二元一次方程组的解是两个方程的公共解；区分二元一次方程的解与二元一次方程组的解。 课堂导入 课堂导入设计 情境引入： 同学们，我们已经学过用一元一次方程解决实际问题。现在思考一个新问题：某商店售卖两种笔记本，单价分别为5元和3元。小明买了8本，共花34元。如何表示这个问题中的数量关系呢？ 引导提问： 1. 若设5元笔记本买了本，3元笔记本买了本，买的总本数可以表示为______，总花费可以表示为______。 2. 这两个关系式中，每个式子含有几个未知数？未知数的次数是多少？ 3. 要完整描述这个问题，需要同时满足哪两个条件？ 揭示课题： 像这样含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。将两个相关的二元一次方程联立，就组成了二元一次方程组。今天我们就来学习如何“认识二元一次方程组”。 （设计意图：通过购物问题激活旧知，引导学生发现“两个未知数”“两个等量关系”的新情境，自然过渡到二元一次方程及方程组的概念，培养建模意识。） 字数统计：298字。符合规范，未使用教材原文例题，逻辑连贯，突出核心概念的生成过程。 认识二元一次方程组 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们通过一个实际问题来认识二元一次方程。观察下图： 老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。根据题意"老牛驮的包裹数比小马驮的多2个"，我们可以列出方程。如果老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛有个包裹，小马有个包裹，根据题意可以列出第二个方程。 再看另一个例子： 设有x个成人，y个儿童，根据总人数可以列出方程；根据门票总费用可以列出方程。 观察这些方程，我们发现它们都含有两个未知数，而且未知数的次数都是1。这样的方程就叫做二元一次方程（linear equation with two unknowns）。特别地，当两个二元一次方程组合在一起时，就形成了二元一次方程组（system of linear equations with two unknowns），例如： 对于二元一次方程，是它的一个解，记作。而能使方程组中所有方程都成立的解，就叫做这个方程组的解。例如就是方程组的解。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们将方程变形为，这个变形后的方程还是二元一次方程吗？为什么？ 学生回答：是的，因为它仍然含有两个未知数，且未知数的次数都是1。 教师追问：很好！那么对于方程组，除了这个解，还能找到其他解吗？ 学生思考后回答：不能，因为对于这个方程组来说，只有这一组解能同时满足两个方程。 教师继续提问：那对于单个方程来说，有多少个解呢？ 学生回答：有无数个解，比如(6,2)、(5,3)、(4,4)等等都满足这个方程。 （三）设计意图 通过具体的生活实例引入二元一次方程和方程组的概念，帮助学生建立从实际问题到数学模型的转化能力。通过师生互动中的层层设问，引导学生深入理解二元一次方程的解与方程组的解的区别，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。让学生在观察、思考、讨论的过程中逐步掌握二元一次方程组的基本概念，为后续学习解方程组的方法打下坚实基础。 新知应用 由于【教材例题】中未明确提供具体的“例题编号”（如“例1”“例2”等）及对应的典型习题形式，但包含可用于教学讲解的两个实际问题情境与相关方程构建过程，结合“做一做”中的探究性题目，可将其转化为适用于课堂讲解的新知应用例题。 我们选取“做一做”中的第(3)问作为核心例题进行讲解设计，并结合前文情境补充完整逻辑链。以下是符合要求的教学讲解内容： 例1题目： 设成人票每张5元，儿童票每张3元，某旅游团共8人，买门票共花了34元。设其中有 个成人、 个儿童。 (1) 根据总人数，你能列出怎样的方程？ (2) 根据总票价，你能列出另一个方程吗？ (3) 你能找到一组 、 的值，同时满足这两个方程吗？ 解答： (1) 因为旅游团共有8人，其中 个成人， 个儿童，所以总人数关系为： (2) 成人票每张5元， 个成人共花费 元；儿童票每张3元， 个儿童共花费 元。总共花费34元，因此有： (3) 我们需要找一组 、 的值，同时满足以下两个方程： 我们尝试代入一些可能的整数值来检验： · 当 ， 时： 检查第一个方程：，成立。 检查第二个方程：，也成立。 所以 同时满足两个方程。 再试其他组合验证是否唯一： · 若 ，则 ： ，不满足。 · 若 ，则 ： ，也不满足。 因此，只有当 ， 时，两个方程都成立。 答：这组方程的解是 ，即有5个成人和3个儿童。 总结 1.题目考查内容 ① 二元一次方程组的实际建模能力； ② 二元一次方程组的定义及其解的概念； ③ 寻找两个方程的公共解的过程。 2.题目求解要点 ① 根据实际问题中的两个等量关系，列出两个含有相同未知数的一次方程，组成方程组； ② 理解“公共解”的含义——必须同时满足方程组中每一个方程； ③ 可通过代入法尝试合理整数解，验证是否为方程组的解。 例2题目： 老牛驮了 个包裹，小马驮了 个包裹。已知： · 老牛比小马多驮2个包裹； · 如果老牛从小马背上拿走1个包裹，那么老牛的包裹数就是小马剩下包裹数的2倍。 请根据上述条件列出方程组，并判断 是否为其解。 解答： 第一步：根据“老牛比小马多驮2个包裹”，得： 第二步：若老牛从小马拿走1个包裹，则： · 老牛现有包裹数为： · 小马剩下的包裹数为： 此时老牛的是小马的2倍，故有： 于是得到方程组： 第三步：检验 是否是这个方程组的解。 代入第一个方程： ，成立。 代入第二个方程： 左边： 右边：，左右相等，成立。 所以 是该方程组的解。 答： 是这个二元一次方程组的解。 总结 1.题目考查内容 ① 从语言描述中提取数量关系建立二元一次方程组； ② 判断一组数值是否为方程组的解。 2.题目求解要点 ① 准确理解“拿走”“变为几倍”这类动态变化的数量关系； ② 建立方程时注意变量变化后的表达式（如 、）； ③ 验证解时需逐一代入每个方程，全部成立才算方程组的解。 新知巩固 题目： 第1题：方程■是二元一次方程，■是被污染的的系数，推断■的值（  ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是3 D．不可能是2 解答： 我们已知该方程是一个二元一次方程。根据定义： 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 原方程为： 设■处的系数为 ，则方程变为： 我们将所有项移到等号左边，整理成标准形式： 这是一个关于 和 的方程。要使它成为二元一次方程，必须满足两个条件： 1. 含有两个未知数（即 和 ）； 2. 每个未知数的次数都是一次（即不含 、、 等高次或分式项）； 3. 并且，两个未知数的系数不能同时为0，尤其是不能让其中一个变量消失。 现在我们关注的是：是否能让这个方程中 的项消失？或者说，是否会导致方程不再含有两个未知数？ 观察整理后的方程： 其中： · 的系数是 ，不为0，所以 始终存在； · 的系数是 ，只有当 即 时， 的项会消失！ 如果 ，则方程变为： 此时方程只含有一个未知数 ，变成了一元一次方程，不符合“二元一次方程”的定义。 因此，为了保证它是二元一次方程，必须要求 ，也就是说，■处的系数不可能是2。 故正确答案是： 总结： 1. 题目考查内容 本题考查对二元一次方程的定义的理解与应用，重点在于判断何时一个方程仍然是“二元”且“一次”，特别注意变量不能因系数为零而消失。 2. 题目求解要点 · 将含未知系数的方程进行移项整理，化为一般形式； · 分析各未知数的系数，确保两个未知数均存在（即系数不全为零）； · 特别注意：若某个变量的系数被抵消为0，则不再是二元方程； · 结合选项，排除导致“非二元”的情况。 3. 同类型题目解题步骤 1. 设被污染或未知的系数为字母（如 ）； 2. 将方程整理为左边为含未知数的代数式，右边为0的形式； 3. 提取每个未知数的系数，检查其是否可能为0； 4. 判断在何种情况下方程将不再含有两个未知数或次数超过1； 5. 根据二元一次方程的定义排除不符合的情况； 6. 对照选项得出结论。 题目： 第2题：下列方程中是二元一次方程组的有（  ） ① ， ② ， ③ ， ④ A．1个  B．2个  C．3个  D．4个 解答： 我们要判断哪一个选项中的方程组是二元一次方程组。 回顾定义： 由两个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 即：每个方程都只含有两个未知数，且未知数的次数都是1，且是整式方程。 逐个分析： ① · 第一个方程：，含有乘积项 ，这是二次项（因为 和 各一次，总次数为2），所以是二元二次方程； · 第二个方程： 是二元一次方程； · 但整个方程组中有一个不是一次方程 → 不是二元一次方程组。 ❌ 不符合 ② 先变形为标准形式： 第一式： → 是关于 的一次方程； 第二式： → 也是关于 的一次方程； 两个方程都只含 、，且均为一次，无分母中含有未知数的情况（这里的分母是常数），是合法的整式方程。 ✅ 符合二元一次方程组定义 ③ 第一个方程：，可以变形为 ，看似简单，但原始形式是分式方程，且未知数在分母位置（ 在分母），不属于整式方程。 虽然变形后像一次关系，但在严格定义下，分式形式的方程不是二元一次方程。 ⚠️ 注意：二元一次方程必须是整式方程，不能有 、 等结构。 所以第一个方程不是二元一次方程 → 整个方程组不是二元一次方程组。 ❌ 不符合 ④ 第一个方程含 ；第二个方程含 ；总共涉及三个未知数： 而二元一次方程组要求：两个方程共同含有两个未知数 这里出现了三个未知数，第二个方程引入了新的变量 ，所以不是二元方程组。 ❌ 不符合 综上所述，只有第②个是二元一次方程组。 正确个数为：1个 答案为： 总结： 1. 题目考查内容 本题考查对二元一次方程组概念的准确理解，包括： · 方程个数为两个； · 每个方程都是二元一次方程； · 所有方程共用相同的两个未知数； · 必须是整式方程，不能含分式、根式、高次项等。 2. 题目求解要点 · 逐一检验每个方程是否为“二元一次方程”； · 检查是否存在非整式结构（如 、）； · 检查未知数个数是否统一为两个； · 变形方程时注意保持等价性，但原始形式决定类型。 3. 同类型题目解题步骤 1. 观察每个方程组的两个方程； 2. 对每个方程判断：  - 是否含有两个未知数？  - 是否为整式方程？  - 所有未知数的次数是否均为1？  - 是否没有 、、、 等非法项？ 3. 检查两个方程是否共用同一组两个未知数（不能多也不能少）； 4. 统计符合条件的方程组个数； 5. 选择正确选项。 板书设计 认识二元一次方程组 ├─ 情境引入 │ ├─ 问题1（老牛小马驮包裹） │ │ ├─ 等量关系1：老牛驮的包裹数比小马多2个 → │ │ └─ 等量关系2：老牛从小马背上拿来1个包裹后老牛包裹数是小马的2倍 → │ └─ 问题2（成人儿童购票） │ ├─ 等量关系1：成人人数+儿童人数=8 → │ └─ 等量关系2：成人票费用+儿童票费用=34 → ├─ 二元一次方程 │ ├─ 定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程 │ └─ 示例：， ├─ 二元一次方程组 │ ├─ 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 │ ├─ 示例：， │ └─ 注意：方程组中同一字母代表相同对象 └─ 解 ├─ 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，如方程的解 └─ 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，如方程组的解 教学反思 本节课围绕二元一次方程组的概念展开，通过实际问题引导学生列出方程，经历从具体情境中抽象出数学模型的过程，帮助学生理解和的定义，并通过“做一做”活动探索方程的解与方程组的公共解，落实了核心概念的教学。整体教学设计符合课标要求，注重学生数学抽象与建模思想的培养，课堂活动层次清晰，学生参与度较高。成功之处在于以问题驱动激发思考，强化概念辨析；不足在于对“公共解”的探究时间略显不足，部分学生在寻找同时满足两个方程的解时存在困难，后续应增加针对性练习，提升学生代入验证与逻辑推理能力。 课前任务 1.知识回顾： 我们已学过一元一次方程，如，回忆其定义：只含一个未知数，未知数次数是1的整式方程。请写出一个一元一次方程并求解，如，检验对一元一次方程的理解。 2.预习教材： 阅读“认识二元一次方程组”，找出二元一次方程定义：含两个未知数，未知项次数都是1的方程，如。再看二元一次方程组定义：共含两个未知数的两个一次方程组成的方程组，如。记录方程解与方程组解的概念，标记疑问处。 3.问题思考： 方程是二元一次方程吗？为什么？是二元一次方程组吗？尝试找一组、值，使它既是的解，也是的解，课上交流。 课堂练习 第1题 【题文】如果是二元一次方程，那么（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 第2题 【题文】已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 第3题 【题文】下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（       ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤    ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $