专题01 平面直角坐标系重难点题型专训（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 平面直角坐标系重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题中用坐标表示位置 题型十一 用方向角和距离确定物体的位置 题型十二 根据方位描述确定物体的位置 题型十三 坐标系中求两点之间距离 拓展训练一 几种点坐标规律综合 拓展训练二 平面直角坐标系中点的存在性问题 拓展训练三 平面直角坐标系中的新定义问题 知识点一：平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）根据下列描述，能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．石家庄裕华区 C．狮城公园北偏东方向 D．七年级（1）班第5排 2．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，长方形，点和点的位置用数对表示分别是、，那么点的位置用数对表示为 ． 知识点二：平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·四川广安·期末）若点M在轴下方，且到轴，轴的距离分别为3和5，则点M的坐标是 ． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为 ． 知识点三：点的对称与点的距离 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 【即时训练】 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ． 6．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列表述，不能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．解放路 C．某港口南偏东方向上距港口 D．某电影院2号厅2排3座 1．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，网格图中的每一格的边长都相等，列和行都用字母标记，按照先列后行的顺序，方格的位置可用表示，则可表示图中的（　　） A．方格 B．方格 C．方格 D．方格 2．（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，则A与B的距离为 ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5． (1)图中位置上的数是 ； (2)数据39对应的有序实数对可表示为 ； (3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数： ① ； ② ． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（25-26七年级上·北京·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．    (1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； (2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择： ①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B． 问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？ 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标是 ． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点其中，连接，，．在第一象限内作，使． (1)求点的坐标； (2)连接，求证：； (3)当时，求的值． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D．或 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果点的坐标满足，那么称点为“和谐点”，若某个“和谐点”到轴的距离为，则点的坐标为 ． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则 ； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； (3)若点是“完美点”，求的值． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为(    ) A． B． C．或 D． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，则点在第______象限； (3)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标； (4)若点到轴，轴的距离相等，求点的坐标． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．1 1．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知平面直角坐标系中一点； (1)当点在轴上时，写出点的坐标________； (2)当平行于轴，且，写出点的坐标________； (3)当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．（写全过程） 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点O，A，B都在方格纸的交点（格点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴下方的格点上找点C，使的面积为3，则这样的点C共有 个． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________； (2)已知线段轴，且，则点的坐标为___________； (3)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并求的面积； (2)如果以点为原点，以经过点平行于轴的直线为轴，向右的方向为轴的正方向，以经过点平行于轴的直线为轴，向上的方向为轴的正方向，单位长度相同，建立新的平面直角坐标系，直接写出点、点在新的坐标系中的坐标． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)若与关于轴对称，则三个顶点坐标分别为 ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标是______； (2)若点P在过点且与x轴平行的直线上，则点P的坐标______； (3)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标； 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都为1个单位长度． (1)描出点，，画直线； (2)若点C为直线上的任意一点，则点C的坐标有什么规律？ (3)在y轴上是否存在点P，使得．若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，点的坐标为______； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【经典例题十 实际问题中用坐标表示位置】 【例10】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图标明了李华同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华同学从家里出发，经过了点，，，，写出他路上经过的地方． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来； (2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 3．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）某城市部分公共场所位置如图所示，以少年宫为坐标原点，向东方向为正的直线做横轴，向北方向为正的直线做纵轴，一小格的边长为单位长度，建立直角坐标系． (1)按要求画出平面直角坐标系，并写出博物馆和体育馆的坐标； (2)图书馆与医院恰好关于轴对称，请描出图书馆的位置（并标注名称），并写出其坐标； (3)城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等，直接写出城市规划馆的坐标． 【经典例题十一 用方向角和距离确定物体的位置】 【例11】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏______度的方向行1千米到达邮局；再向______行______千米到达广场；由广场向北偏______度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东．其中． (1)求的度数； (2)若，写出小华家相对学校的位置． 2．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）观察下图： (1)描述小猴子怎样才能找到桃子的路线？ (2)小猴子拿了桃子后沿原路返回，到达点时发现小熊在点的东偏北方向上距离处．请在图中标画出小熊的具体位置． 3．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标的位置．：______； (2)若目标的实际位置是北偏西距观测站米，目标的实际位置是南偏西距观测站米，写出目标，的实际位置； ：______； ：______． (3)若另有目标在东南方向距观测站米处，写出的位置表示． ：______． 【经典例题十二 根据方位描述确定物体的位置】 【例12】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 1．（24-25八年级·全国·假期作业）某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东 度的方向上． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 3．（24-25七年级下·北京密云·期末）周末，丽丽与欣欣相约一起到图书馆看书，下图是她俩在微信中的一段对话： 根据上面两人的对话记录，丽丽能从A超市走到图书馆门口的路线是（    ） A．向北直走500米，再向西直走100米 B．向南直走500米，再向西直走100米 C．向北直走300米，再向西直走200米 D．向南直走300米，再向西直走200米 【经典例题十三 坐标系中求两点之间距离】 【例13】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点为平面直角坐标系中一点，为原点，则线段的最小值为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5.76 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为 ． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，求的最大值为 ． 3．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么A，B两点的距离，则． 例如：若点，则， 若点，且，则． 根据上面材料完成下列各问题： (1)若点，求两点间的距离． (2)若点，点B在坐标轴上，且，求B点坐标． 【拓展训练一 几种点坐标规律综合】 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·重庆·期中）长方形的两边，分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴对称得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴对称得到长方形，称为第二次操作；……依次类推，经过2025次操作后的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如…根据这个规律，则第2019个点的横坐标为 ． 3．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ． 【拓展训练二 平面直角坐标系中点的存在性问题】 【例2】（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）已知点，的坐标分别为，，以，，三点为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段交轴于点，点为轴上一动点（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)如图2，当点在轴负半轴上运动时，过点作，分别作的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在轴上是否存在这样的点，，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 平面直角坐标系中的新定义问题】 【例3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，． (1)在点、、，中，线段的内垂点为　　　　； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为　　　　； (3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是　　　　； (4)已知点，，若点F在过点且与x轴平行的直线上，点F是线段的一个内垂点．请你通过研究说明三角形的面积　　　　（填写“会”或“不会”）随着m值的变化而改变，若不改变，直接写出面积，若改变，说明理由． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“邻近距离”，记为d（图形M，图形N）． 已知点． (1)d（点O，线段） ； (2)若点G在x轴上，且d（点G，线段），求点G的横坐标a的取值范围； (3)依次连接A，B，C，D四点，得到正方形（不含图形内部），记为图形M，点，点 均不与点O重合，线段组成的图形记为图形N，若d（图形M，图形N），直接写出t的值． 2．（24-25七年级下·北京东城·期中）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，． (1)d（点O，） ， ； (2)记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围； (3)若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点． (1)已知点的坐标为． 在点，，中，为点的同族点的是 ； 若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ； (2)已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点． 若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围； 若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围． A基础训练 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点Q到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，且在第四象限，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸18-1中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 故选：C． 4．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（10-11八年级上·江苏·阶段练习）已知点A的坐标为，则它到x轴的距离为 ；到坐标原点的距离为 ． 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 7．（16-17七年级下·湖北·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的长最短时，点C的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，若对于平面内任一点有如下变换：，如，则 ， ． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点是平面直角坐标系中的一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)作出，使和关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． B 提高训练 11．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，已知点、的坐标分别为、，则点的坐标应为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 13．（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴上，如果，则点C的坐标是 ． 16．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 17．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)写出顶点的坐标：A（ ），B（ ），C（ ） (2)画出关于轴对称的图形 (3)已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标 18．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图中的两点即为“等和点”． (1)已知点的坐标为，在点中，与点为“等和点”的是_____（只填字母）； (2)若点满足方程，且，两点为“等和点”，求B点的坐标． C 培优训练 19．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 21．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 22．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是 ； （2）已知点，点，则线段的长度是 ； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当 时，点在的直角边上． 23．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标． (2)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 用有序数对表示位置 题型二 用有序数对表示路线 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 题型四 求点到坐标轴的距离 题型五 判断点所在的象限 题型六 已知点所在的象限求参数 题型七 坐标系中描点 题型八 坐标与图形 题型九 点坐标规律探索 题型十 实际问题中用坐标表示位置 题型十一 用方向角和距离确定物体的位置 题型十二 根据方位描述确定物体的位置 题型十三 坐标系中求两点之间距离 拓展训练一 几种点坐标规律综合 拓展训练二 平面直角坐标系中点的存在性问题 拓展训练三 平面直角坐标系中的新定义问题 知识点一：平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）根据下列描述，能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．石家庄裕华区 C．狮城公园北偏东方向 D．七年级（1）班第5排 【答案】A 【分析】本题考查了位置确定的条件，关键在于理解确定位置需要精准、唯一的信息．要确定一个具体位置，需要有足够精确的信息，能明确唯一的点，根据此即可判断． 【详解】解：A：地球上的经纬度是一组精确的坐标，北纬，东经能在地球表面确定唯一的一个点，可精准定位； B：石家庄裕华区是一个较大的区域范围，不能确定裕华区内的具体位置，范围太宽泛； C：狮城公园北偏东方向，只说明了方向，没有距离等信息，无法确定在北偏东方向上的哪个具体点，不能精准定位； D：七年级（1）班第 5 排，没有说明是第几列，在第 5 排上有多个座位，不能确定唯一位置． 故选：A． 2．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，长方形，点和点的位置用数对表示分别是、，那么点的位置用数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有序数对．根据有序数对的表示方法解答即可． 【详解】解：∵点和点的位置用数对表示分别是、， ∴点的位置用数对表示为． 故答案为：． 知识点二：平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·四川广安·期末）若点M在轴下方，且到轴，轴的距离分别为3和5，则点M的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴距离，解题的关键是掌握点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y 距离等于横坐标绝对值，以及各象限内点的坐标特征． 根据点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y 距离等于横坐标绝对值，结合点在第三象限，即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点M到，轴的距离分别为3和5， ∴， ∵点M在x轴下方， ∴点在第三象限，或第四象限， ∴或5，， ∴或 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据已知点A、B的坐标建立平面直角坐标系，进而确定点C的坐标． 【详解】解：∵叶片尖端两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示∶ ∴叶柄底部点C的坐标为． 故答案为∶． 知识点三：点的对称与点的距离 【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置. 1、点的对称 设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 2、点的距离 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为 若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为 【即时训练】 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化，根据题意可知：C、B关于直线m对称，即关于直线对称，即可得出答案． 【详解】∵关于直线m（ 直线m上各点的横坐标都为1）对称， ∴C、B关于直线m对称，即关于直线对称. ∵点的坐标为，设点B的坐标为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 用有序数对表示位置】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列表述，不能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．解放路 C．某港口南偏东方向上距港口 D．某电影院2号厅2排3座 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置． 根据有序数对表示位置即可得． 【详解】解：A、北纬，东经，能确定具体位置，不符合题意； B、解放路，不能确定具体位置，符合题意； C、某港口南偏东方向上距港口，能确定具体位置，不符合题意； D、某电影院2号厅2排3座，能确定具体位置，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，网格图中的每一格的边长都相等，列和行都用字母标记，按照先列后行的顺序，方格的位置可用表示，则可表示图中的（　　） A．方格 B．方格 C．方格 D．方格 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与平面，解题的关键是找出坐标中两个数代表的意义，本题属于基础题，只要明白坐标系中点的意义，结合图形即可解决问题． 确定坐标表示的规则由点O的位置在第d列、第e行，可用表示，可知坐标中前面一个数表示列，后一个数表示行． 【详解】解：点O的位置在第d列、第e行，可用表示， ∵第c列、第d行处为点C， ∴可表示图中的点C， 故选：B． 2．（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，则A与B的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，用有序数对表示位置，先根据题意得到点B的位置可以表示成，进而得到和中心点的夹角为90度，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意得，点B的位置可以表示成， ∴和中心点的夹角为90度， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5． (1)图中位置上的数是 ； (2)数据39对应的有序实数对可表示为 ； (3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数： ① ； ② ． 【答案】(1)22； (2)； (3)①该行上的数字是连续的奇数； ②该行上的数字个数等于该行数． 【分析】本题考查用有序数对表示位置，以及数字类规律探究． （1）根据题意得到表示第6行，第5个数，即可得出结论； （2）先确定39所在的行数，以及所在行的第几个数，即可； （3）由已知数据，可知，奇数行的数字为连续的奇数，个数与行数相同，即可． 【详解】（1）解：由题意，表示第6行，第5个数， 由已知数据可知：奇数行的数字为连续的奇数，偶数行的数字为连续的偶数，且每一行数字的个数与行数相同， ∴第6行的第一个数为14，第5个数为：， ∴图中位置上的数是22， 故答案为：22； （2）∵第5行的最后一个数为17， ∴第7行的第一个数为19，最后一个数为， ∴第9行的第一个数为33，最后一个数为 ∵， ∴是第9行的第4个数； ∴39对应的有序实数对可表示为， 故答案为：； （3）∵为奇数， ∴该行上的数字为连续的奇数，该行上的数字的个数等于该行数． 故答案为：①该行上的数字是连续的奇数；②该行上的数字个数等于该行数． 【经典例题二 用有序数对表示路线】 【例2】（25-26七年级上·北京·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某市地图的一部分，根据该图回答问题． (1)若小明家位于区，则光明中学、市民广场、购物中心、电视台、体育馆分别位于哪个区域？ (2)某路公交车从小明家门口的车站出发，途经区、区、区、区、区、区、区、区，到达光明中学，请你在图中描出它的行车路线． 【答案】(1)光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区 (2)见解析 【分析】本题考查了区域定位法在生活中的运用； （1）根据题意找到位置即可； （2）利用区域定位法描出公交路线. 【详解】（1）解：光明中学位于区，市民广场位于区，购物中心位于区，电视台位于区，体育馆位于区． （2）如图所示，图中黑粗线即为所求． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键． （1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案； （2）利用已知有序数对，进而得出答案； （3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可． 【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示； 故答案为：； （2）解：如图所示：李红家的位置即为所求； （3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为： ． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．    (1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； (2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择： ①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B． 问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？ 【答案】(1)点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜 (2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多 【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解； （22）根据第（1）问中求出的结果计算即可 【详解】（1）解：点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜； （2）解：走①A→C→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜； 走②A→E→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜； 走③A→E→F→B吃到个胡萝卜，棵青菜； 因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多． 【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键． 【经典例题三 写出直角坐标系中点的坐标】 【例3】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得到∴，，进而得点的坐标即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， 故选：D． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形全等和平面直角坐标系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 分两种情况进行讨论，当时，和关于轴对称和当时，，两种情况，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 当时，和关于轴对称， ∴点的坐标是， 当时，的高的高，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点其中，连接，，．在第一象限内作，使． (1)求点的坐标； (2)连接，求证：； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)证明见解析； (3)的值为． 【分析】此题考查了图形与坐标，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键． （）作轴于点，则，可证明，则，，所以，从而求出点坐标； （）延长交于点，因为，，，所以，得，则，从而求证； （）连接交轴于点，可证明，则，所以，则，求出的值即可． 【详解】（1）解：作轴于点，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：延长交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交轴于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【经典例题四 求点到坐标轴的距离】 【例4】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，据此解题． 【详解】解：由题意得：， 即或， 解得：或， ∴点P的坐标是或， 故选：D． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如果点的坐标满足，那么称点为“和谐点”，若某个“和谐点”到轴的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标和一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 直接利用某个“和谐点”定义，得出的值，进而求出的值，即可求出答案． 【详解】解：∵某个“和谐点”到轴的距离为， ∴， ∵， ∴或， 解得或， 则点的坐标为或． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作． （1）若，则 ； （2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ． 【答案】 10 2 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可； （2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作， ，， ， ，， ， 故答案为：10． （2）点在第二象限， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为_____； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； (3)若点是“完美点”，求的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，理解“长距”和“完美点”的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此求出点A到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求解即可； （2）求出点C到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求出b的值，进而得到点D的坐标，再求出点D到x轴和到y轴的距离，最后根据“完美点”的证明即可； （3）求出点B到x轴和到y轴的距离，再根据根据“完美点”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）证明：∵， ∴点C到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点的长距为4， ∴， ∵点在第二象限内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点D到轴、轴的距离相等 ∴点是“完美点”； （3）解：∵， ∴点B到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点是“完美点”， ∴， ∴或， ∴或． 【经典例题五 判断点所在的象限】 【例5】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为(    ) A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标；根据三角形面积公式及点在第一象限的条件求解，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点、、构成的，以为底边，其长度为． 点到的垂直距离为，故面积公式为： 当时， 或 若，则，此时点为，在第一象限，符合条件 若，则，此时点为，在第四象限，不符合第一象限要求 选项C包含，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数值，排除． 综上，唯一符合条件的点为，对应选项A． 故选：A． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，则点在第______象限； (3)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标； (4)若点到轴，轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)二 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的坐标特征是横坐标为，列式求解出的值，再代入纵坐标的代数式中求解即可； （2）根据点的横、纵坐标的数量关系列出关于的方程，解出的值，再分别代入横、纵坐标的代数式中得到点的坐标，最后判断所在象限即可； （3）根据平行于轴的直线上点的坐标特征得出点和点的纵坐标相等，解出的值，再代入横坐标的代数式中求解即可； （4）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征得出点的横坐标与纵坐标相等或者互为相反数，分两种情况讨论：分别列出关于的方程，解出的值，再分别代入横、纵坐标的代数式中即可求解得出点的坐标． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：因为点的纵坐标比横坐标大， 所以， 解得， 则，， 所以点的坐标为， 则点在第二象限． 故答案为：二； （3）解：因为点在过点且与轴平行的直线上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为； （4）解：因为点到轴，轴的距离相等， 所以或， 解得或， 当时，，， 所以点的坐标为； 当时，，， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)第一象限 (3) 【分析】本题考查了坐标轴上点及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，点的象限判断；掌握轴上的点纵坐标为，平行与轴的直线上的点横坐标相同，象限的符号特征是解题的关键． （1）由轴上的点纵坐标为得，即可求解； （2）由已知得，求出坐标，判断象限，即可求解； （3）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， ， ， 在第一象限； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ． 【经典例题六 已知点所在的象限求参数】 【例6】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征及代数式求值，记住坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 根据轴上点的横坐标为0求出，轴上点的纵坐标为0求出再求出的值即可解答． 【详解】解：点在轴上， ， ， 点在轴上， ， ， ， 故答案为：C． 1．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标的性质．点A的坐标是，其到x轴距离为，到y轴的距离为，则；又由点A在y轴的右侧可知A的横坐标为正数，即，据此即可求出a的值． 【详解】解：由题可知， 即或， 解得， 故答案为：3． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ． 【答案】 2024 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． （2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求出a的值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为 故答案为： （2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， 所以， 解得， 所以 故答案为： 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知平面直角坐标系中一点； (1)当点在轴上时，写出点的坐标________； (2)当平行于轴，且，写出点的坐标________； (3)当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．（写全过程） 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题主要考查了点坐标与图形，熟练掌握点坐标的特征是解题关键． （1）根据轴上的点的横坐标等于0可得，则可得，再求出，由此即可得； （2）根据题意可得点的纵坐标相等，则可得，求出，再求出，由此即可得； （3）根据点到两坐标轴的距离相等可得，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵当平行于轴，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 综上，的值为或1． 【经典例题七 坐标系中描点】 【例7】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形面积问题．根据轴，，可求出的高，再根据点C在第四象限，即可求解． 【详解】解：由图可知，轴，且， 设点到的距离为， 则的面积， 解得， 点在第四象限， 点的位置如图所示，共有3个． 故选：B． 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点O，A，B都在方格纸的交点（格点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴下方的格点上找点C，使的面积为3，则这样的点C共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系中图形的面积是解题的关键，根据点A、B的坐标判断出轴，然后根据三角形的面积求出点C到的距离，最后根据题意即可判断出点C的位置，进而得到答案． 【详解】解：如图 由题可得：， 设点C到的距离为， ∴， ∴， ∴点到的距离是2，且在x轴下方，并与平行的直线上的格点有6个， 故答案为：6． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________； (2)已知线段轴，且，则点的坐标为___________； (3)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，熟练掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据平行于y轴的坐标的特征可得答案； （3）由P为y轴上一点，设，根据的面积为4，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵、、． ∴在平面直角坐标系中画出如下； ； 故答案为：4； （2）解：∵线段轴，且， 设，则， ∴或， 解得：或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：设， 由题意可知：， ， ， ， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并求的面积； (2)如果以点为原点，以经过点平行于轴的直线为轴，向右的方向为轴的正方向，以经过点平行于轴的直线为轴，向上的方向为轴的正方向，单位长度相同，建立新的平面直角坐标系，直接写出点、点在新的坐标系中的坐标． 【答案】(1)见解析，15 (2) 【分析】本题考查了点坐标与图形、点的坐标的平移变换，将问题转化为平移问题是解题关键． （1）先描点，再顺次连接可得，然后利用三角形的面积公式即可得； （2）将问题转化为点平移后至点后，求点B和C按同样的方式平移后的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得． 【详解】（1）描出点A，B，C如下： 的面积为； （2）解：由题意可将问题转为：将点平移后至点后，求点和按同样的方式平移后的坐标． 将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得点，点按同样的方式平移后的坐标分别为，即分别为， 故点、点在新的坐标系中的坐标为． 【经典例题八 坐标与图形】 【例8】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系， 点与点关于轴对称， ， 故选：C 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，证明，得到，，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，则，，， ∵将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．设交轴于点，交轴于点，求出，，勾股定理求出，然后证明出，得到，得到当最小时，最小，当时，最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，交轴于，连接， 直线， 当时，；当时，； ，， ， 根据对称可得，， ∵，， 四边形是平行四边形，， ， 平行四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ． 当最小时，最小， 当时，最小， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)若与关于轴对称，则三个顶点坐标分别为 ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是 ． 【答案】(1)，， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解； （2）先求出的面积，再设出点坐标，根据三角形面积公式列出方程求解； （3）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示， ∵关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，，，， ∴，，． 故答案依次为：；；． （2）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键． 【经典例题九 点坐标规律探索】 【例9】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在y轴上，则点P的坐标是______； (2)若点P在过点且与x轴平行的直线上，则点P的坐标______； (3)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点在y轴上，横坐标为0进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上所有点的纵坐标都相等求解即可； （3）根据点到两坐标轴距离相等，则其横、纵坐标的绝对值相等进行求解． 【详解】（1）解：若点P在y轴上，则， 解得， ∴， ∴点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得， ∴， ∴点P的坐标是， 故答案为：； （3）解：根据题意得，， ∴或， 解得或 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； ∴点P的坐标为或． 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都为1个单位长度． (1)描出点，，画直线； (2)若点C为直线上的任意一点，则点C的坐标有什么规律？ (3)在y轴上是否存在点P，使得．若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点C的横坐标为2 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的坐标符号特点和平行于坐标轴的直线上点的坐标特点． （1）在坐标系中描出A、B两点，再连接即可； （2）由平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等可得答案； （3）设点，则，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：若点C为直线上任意一点，所以点C的横坐标为2． （3）解：存在． 如图2，设点，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或． 2．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，点的坐标为______； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知轴上、平行于轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的坐标特征进行计算即可． （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． （3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行计算即可． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 则， 所以点坐标为． 故答案为：； （2）∵直线平行于轴，且， ∴， 解得， 则， ∴点的坐标为； （3）∵点到轴、轴的距离相等， 则或， 解得或． 当时， ，， 则点坐标为． 当时， ，， 则点坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 【经典例题十 实际问题中用坐标表示位置】 【例10】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（____，_____），（____，_____），______ (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，，，，D (2)见解析 (3)10 【分析】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据表示向右走3，向上走4即可表示；表示向右走2，向上走0，即可表示；表示向右走1，向下走，即可判断； （2）按题目所示平移规律分别向右平移2个格点，向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点，即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：由图可知表示向右走3，向上走4，即； 表示向右走2，向上走0，即； 表示C向右走1，向下走，到点D， 故答案为：，，，，D； （2）解：点P位置如图所示； （3）解：根据条件可知，，， ∴甲虫走过的路程为． 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图标明了李华同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华同学从家里出发，经过了点，，，，写出他路上经过的地方． 【答案】(1)学校的坐标为、邮局的坐标为； (2)李华经过的地方依次为：商店、公园、汽车站 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据网格图写出学校、邮局的坐标； 根据坐标在平面直角坐标系中找出相应的位置，可以写出经过的地方． 【详解】（1）解：由图可得：学校的坐标为、邮局的坐标为； （2）解：由图可得：是李华家， 是商店， 是公园，是汽车站， 李华从家里出发经过的地方依次为：商店、公园、汽车站． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来； (2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【答案】(1)见解析 (2)赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； (3)牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园在中心广场东南方向，相距米 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，解题的关键是： （1）根据题意确定出原点和单位长度，建立起直角坐标系； （2）根据它们在图中的坐标置，写出图中的位即可； （3）根据图中的位置，写出它们在图中的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，他们是以中心广场为原点，100米为单位长度，建立直角坐标系，如图： （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系，可知： 赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； （3）解：根据题意，得牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园相对中心广场的位置为游乐园在中心广场东南方向，相距米． 3．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）某城市部分公共场所位置如图所示，以少年宫为坐标原点，向东方向为正的直线做横轴，向北方向为正的直线做纵轴，一小格的边长为单位长度，建立直角坐标系． (1)按要求画出平面直角坐标系，并写出博物馆和体育馆的坐标； (2)图书馆与医院恰好关于轴对称，请描出图书馆的位置（并标注名称），并写出其坐标； (3)城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等，直接写出城市规划馆的坐标． 【答案】(1)画图见解析，博物馆的坐标是，体育馆的坐标是 (2)画图见解析，图书馆的坐标为： (3) 【分析】本题考查了坐标确定位置，中点坐标公式，解题的关键是根据题意正确建立直角坐标系． （1）根据原点的位置建立直角坐标系，即可解答； （2）利用（1）中的直角坐标系先画图即可求解； （3）根据题意先画图，结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，根据题意可建立如图所示的直角坐标系： ∴博物馆的坐标是，体育馆的坐标是. （2）解：如图， ∴图书馆的坐标为：. （3）解：如图： 少年宫的坐标为，超市的坐标为， 城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等， 城市规划馆的坐标为，即． 【经典例题十一 用方向角和距离确定物体的位置】 【例11】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏______度的方向行1千米到达邮局；再向______行______千米到达广场；由广场向北偏______度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 【答案】(1)南50；正东；2.7；东40； (2)公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 【分析】本题考查的是根据方向和距离，确定物体的位置； （1）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案； （2）先求出整个过程中的总路程，算出总时间，即可求出平均速度． 【详解】（1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：南50；正东；2.7；东40； （2）整个过程的总时间为：（分钟）（小时） 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东．其中． (1)求的度数； (2)若，写出小华家相对学校的位置． 【答案】(1)； (2)小华家C在学校的南偏东方向处． 【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质． （1）根据角的和差求解即可； （2）根据方位角的概念和平角求解即可． 【详解】（1）解：∵点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东， ∴． 答：的度数为． （2）设点D为点O正南方向上的一个点，如图 ∵， ∴， ∴小华家C在学校的南偏东方向处． 2．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）观察下图： (1)描述小猴子怎样才能找到桃子的路线？ (2)小猴子拿了桃子后沿原路返回，到达点时发现小熊在点的东偏北方向上距离处．请在图中标画出小熊的具体位置． 【答案】(1)小猴子出发后向正东方向前进到达A，再向西偏北方向前进到达B，再沿北偏东方向前进到达C，再沿正东方向前进到达终点找到桃子 (2)见解析 【分析】本题考查了方向角，描述点的位置，关键是熟练应用方位角． （1）根据方位角确定每次路线的方向，再得出行进路程即可． （2）根据方向角和距离画出图形即可． 【详解】（1）解：小猴子出发后向正东方向前进到达A，再向西偏北方向前进到达B，再沿北偏东方向前进到达C，再沿正东方向前进到达终点找到桃子． （2）解：如图： 3．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标的位置．：______； (2)若目标的实际位置是北偏西距观测站米，目标的实际位置是南偏西距观测站米，写出目标，的实际位置； ：______； ：______． (3)若另有目标在东南方向距观测站米处，写出的位置表示． ：______． 【答案】(1)； (2)北偏东，距观测站米，南偏西，距观测站米； (3)． 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解答本题的关键是根据点、的位置的表示方法，理解横坐标、纵坐标的规律根据规律解答问题． 根据点、的位置的表示方法，可知横坐标表示的是从里往外数在第几圈，纵坐标表示的是从线开始逆时针旋转的度数，根据规律写出目标的位置即可； 根据目标的位置的表示方法与实际位置的关系，可以求出相邻两个圆的半径差为米，把旋转的角度转化为方位角，根据规律和目标、在坐标系中的位置，转化为目标、实际位置； 根据东南方向即为南偏东，可知目标对应的纵坐标是，根据距观测站米，可知目标的横坐标为． 【详解】（1）解：由题意可知，点的位置应表示为， 故答案为：； （2）解：目标的实际位置是北偏西距观测站米， 相邻两个圆的半径差为米， 由图可知，目标的位置可以表示为， 点与正北方向的夹角是，与观测站的距离是米， 点的实际位置是北偏东，距观测站米； 目标的位置可以表示为， 点与正南方向的夹角是，与观测站的距离是米， 点的实际位置是南偏西，距观测站米； 故答案为：北偏东，距观测站米；南偏西，距观测站米； （3）解：目标在东南方向距观测站米处， 东南方向即为南偏东， 应表示为， 距观测站米， 应表示为， 的位置表示为， 故答案为：． 【经典例题十二 根据方位描述确定物体的位置】 【例12】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西；500 (2)①②见详解 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解：（千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西（或西偏北）方向，距离500千米． （2）解：①（厘米） 图如下： ②（厘米） 图如下： 1．（24-25八年级·全国·假期作业）某人从点沿北偏东的方向走了100米到达点，再从点沿南偏西的方向走了100米到达点，那么点在点的南偏东 度的方向上． 【答案】55 【分析】在直角坐标系下现根据题意确定A、B点的位置和方向，最后确定C点的位置和方向．依次连接A、B、C三点，根据角之间的关系求出∠5的度数即可． 【详解】根据题意作图： ∵从A点沿北偏东60°的方向走了100米到达点B，从点B沿南偏西10°的方向走了100米到达点C， ∴∠1+∠2=60°，AB=BC=100， ∴∠2=50°，且△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC==65°， ∴∠5=180°-65°-60°=55°， ∴点C在点A的南偏东55°的方向上． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了直角坐标系的建立和运用，运用直角坐标系来确定点的位置和方向． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 【答案】 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据已知条件，可知，，从而得到点向右走个格点，向上走个格点到点，反过来即可得到答案． 【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负 ∴记为，记为，记为； （2）∵， ∴， ∴点向右走个格点，向上走个格点到点 ∴应记为． 故答案是：（1），，，，，；（2） 【点睛】本题考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 3．（24-25七年级下·北京密云·期末）周末，丽丽与欣欣相约一起到图书馆看书，下图是她俩在微信中的一段对话： 根据上面两人的对话记录，丽丽能从A超市走到图书馆门口的路线是（    ） A．向北直走500米，再向西直走100米 B．向南直走500米，再向西直走100米 C．向北直走300米，再向西直走200米 D．向南直走300米，再向西直走200米 【答案】A 【分析】先根据丽丽的第一、二句话确定出图书馆和A超市的位置，再根据图形解答即可． 【详解】解：根据题意画图如下，红色线路为丽丽所走的路线，蓝色线路为欣欣所走的路线， 故欣欣从A超市走到图书馆的路线是：向北直走500米，再向西直走100米． 故选：A． 【点睛】本题考查了确定位置，读懂题目信息并画出图形更形象直观． 【经典例题十三 坐标系中求两点之间距离】 【例13】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点为平面直角坐标系中一点，为原点，则线段的最小值为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5.76 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理求最短距离问题，完全平方公式的变形应用，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键． 利用勾股定理得到，配方得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． ∴线段的最小值为． 故选：A． 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式与勾股定理的应用，解题的关键是根据坐标求出线段长度． 先根据点的坐标，用含m的式子表示出的长度，再在中利用勾股定理表示出的长度，然后根据列方程求解． 【详解】∵， ∴； ∵由， ∴，， 在中 ． ∵， ∴， 两边平方得， 解得． 故答案为：4． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，求的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将代数式转化为．当在的延长线上时取得最大值，即式子取得最大值，进而勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，和 设， ∴ ∵ ∴当在的延长线上时取得最大值，即式子取得最大值， 此时最大值为的长，即的最大值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么A，B两点的距离，则． 例如：若点，则， 若点，且，则． 根据上面材料完成下列各问题： (1)若点，求两点间的距离． (2)若点，点B在坐标轴上，且，求B点坐标． 【答案】(1) (2)或或或． 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据题目所给两点间的距离公式求解即可． （2）根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：当点B在x轴上时，设． ∵，且A、B两点间的距离是5， ∴． 整理得． ∵， ∴或． ∴或． ∴当点B在x轴上时，或． 当点B在轴上时，设． 同理可得：， 解得：或． 当点B在轴上时，或， 综上所述： 或或或． 【拓展训练一 几种点坐标规律综合】 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据及，归纳可得：，再蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而，从而与在同一条射线上，且，过作轴于，则，利用含的直角三角形的性质，从而可得答案．本题考查的是图形与坐标，坐标规律的探究，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“从具体到一般的探究方法并归纳总结”是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， ， 又由题意可得：蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而， ∴与在同一条射线上，且， 如图，过作轴于，则， ， ， 故选：D． 1．（24-25七年级下·重庆·期中）长方形的两边，分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴对称得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴对称得到长方形，称为第二次操作；……依次类推，经过2025次操作后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，由题中操作，当中的为奇数时，得到坐标规律：横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，则，令，将代入即可得到答案．数形结合，找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 当中的为奇数时， ， ， ， ， ， ， 以上规律：横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度， 当中的为奇数，即时，， 则当时，， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如…根据这个规律，则第2019个点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是图形的规律探索，根据图形探索规律并归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出：当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为． 然后根据，可推导出是第几个正方形连同前边所有正方形共有的点． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为． 而， 解得： 由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推6个点的坐标为：． 故答案为: 45． 3．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律、图形与坐标等知识点，发现点坐标的规律是解题的关键． 先分别算出，，，，，，，发现规律后，然后运用规律解答即可． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点P的如意点，， ∴，，，，，，， 发现每4个点为一个循环组依次循环． ∵ ∴点的坐标与的坐标相同为． 故答案为． 【拓展训练二 平面直角坐标系中点的存在性问题】 【例2】（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）已知点，的坐标分别为，，以，，三点为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质．熟练掌握坐标轴上点的特征，各点横纵坐标之间的关系，作出图形，是解答本题的关键． 可知点P位于点的位置时，以A、B、P为顶点的三角形与全等，结合全等三角形的性质找出这三个点的坐标． 【详解】解：如图所示： 当时，， ∴． ∴点P位于x轴上． ∵点的坐标为， ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∵点的坐标为， ∴或． ∴，． 综上可知，符合条件的点的坐标为或或． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)①；②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半 【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，，过点作，则，根据平行线的性质解题； （2）①由长方形的性质写出坐标； ②延长交轴于点，则，列出对应方程，进行求解． 【详解】（1）解：如图1，设，， 的平分线和的平分线交于点， ，，     ， ， ， ，   过点作，则， ，     ， ， 即的度数为； （2）解：①∵，，， ∴， 由长方形的性质知， ∴； ②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下： ， ∴长方形只在第一象限内移动，     如图2，延长交轴于点，则， ∵，， ∴， 由题意知，，，， ，     ∵， ， ， ， 解得． 2．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段交轴于点，点为轴上一动点（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)如图2，当点在轴负半轴上运动时，过点作，分别作的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． (3)在轴上是否存在这样的点，，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)不变，值为； (3)存在，． 【分析】（1）根据和平方的非负性、二次根式的非负性、绝对值的非负性，求出：、、的值，从而可得点、、的坐标； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，可得：，，，从而可得：，根据角平分线的定义可知，，从而可求； （3）当点在轴上方时，过点作轴于，根据可得：，又因为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的坐标即可得到点的坐标；当点在轴下方时，过点作轴于，根据，可得：，因为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：，，，， ，，， 解得：，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：， 如下图所示，过点作， ， ， ，，， ， ， 、分别为、的平分线， ，， ； （3）解：设， 如下图所示，当点在轴上方时，过点作轴于， ，，，， ，，，，，， ， ， ， ； 如下图所示，当点在轴下方时，过点作轴于， 同理可得， ， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形与坐标、平行线的性质、解一元一次方程、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义和平行线的性质找角之间的关系． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，面积为或或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）直接利用两点距离计算公式求解即可； （2）过点作轴于，分点C在线段上（不包括点O）和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可； （3）利用两点距离计算公式分别求出，再分， 和三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为 点，点， ，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于，当点C在线段上（不包括点O）时， 点，点，点 ，，，， ； 当点在线段的延长线上， ∴ ； 综上所述：； （3）解：点，点，点， ∴，， ； 当时，由勾股定理得， ∴，   ， ； 当时，由勾股定理得， ∴， 解得 ； 当时，由勾股定理得， ∴， ， ； 综上所述，存在点C使为直角三角形，为直角三角形时，其面积为或或． 【拓展训练三 平面直角坐标系中的新定义问题】 【例3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，． (1)在点、、，中，线段的内垂点为　　　　； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为　　　　； (3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是　　　　； (4)已知点，，若点F在过点且与x轴平行的直线上，点F是线段的一个内垂点．请你通过研究说明三角形的面积　　　　（填写“会”或“不会”）随着m值的变化而改变，若不改变，直接写出面积，若改变，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)不会，三角形的面积为6 【分析】本题考查坐标与图形的性质，垂线，平行线的距离，理解内垂点的定义是解题的关键． （1）根据新定义解决问题即可； （2）满足条件的点在线段的垂直平分线上； （3）画出图象即可解决问题； （4）由题意知轴，根据平行线间的距离处处相等，可得直线与x轴之间的距离为3，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，， 轴， 由内垂点的定义可知，线段的内垂点的横坐标在与1之间， 在点、、，中，线段的内垂点为，， 故答案为：，； （2）解：点M是线段的最佳内垂点，，， 点M的横坐标为， 点M到线段的距离是2， 点M的纵坐标为， 点M的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：如图，利用格点作交y轴于E，作交y轴于F， ∵点N在y轴上且为线段的内垂点， ∴N在线段上， ∴， 故答案为：； （4）解：不会，三角形的面积为6． ，， 线段在x轴上，， 点F在过点且与x轴平行的直线上， 轴，直线与x轴之间的距离为3， ， 三角形的面积为6，不会随着m值的变化而改变． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“邻近距离”，记为d（图形M，图形N）． 已知点． (1)d（点O，线段） ； (2)若点G在x轴上，且d（点G，线段），求点G的横坐标a的取值范围； (3)依次连接A，B，C，D四点，得到正方形（不含图形内部），记为图形M，点，点 均不与点O重合，线段组成的图形记为图形N，若d（图形M，图形N），直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3) 【分析】（1）根据“邻近距离”定义即可得出答案； （2）根据“邻近距离”定义得：当 时，d（点G，线段 ），即可得到在两侧满足题意 ； （3）画出图形，结合“邻近距离”定义，分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴线段AB是直线的一部分，且垂直y轴，垂足为点 ∴点到线段距离为2， ∴根据“邻近距离”定义得：d（点O，线段）， 故答案为：2； （2）解：∵， ∴根据“邻近距离”定义得：当时，d（点G，线段）； 当或时，d（点G，线段）， ∴或； （3）∵d（图形M，图形N）， ∴图形M与图形N不重合， 即点E、F在正方形的内部， ∵点，点均不与点重合， ∴且， 根据图形，可分以下情况 ： ①如图1，根据“邻近距离”定义，由得（不合题意，删去）； ②如图2，当时，根据“邻近距离”定义，由得（不合题意，删去）； 当时，根据“邻近距离”定义，由得（不合题意，删去）； ③如图3，根据“邻近距离”定义，由得； 综上，． 【点睛】本题考查平面直角坐标系、坐标与图形、点与点、点与直线的距离问题，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解答的关键． 2．（24-25七年级下·北京东城·期中）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，． (1)d（点O，） ， ； (2)记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围； (3)若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)6，8； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了图形与坐标，新定义，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）设交x轴于M，根据点的坐标得到轴，则，即可得到O到的距离，即d（点O，）；再推出，即可得到； （2）在直线上找出到到距离等于2的点，画出图形即可得到答案； （3）分三种情况：①当时，②当时，，③当时，分别求出（，四边形）和（，四边形）时t的值，进而结合图形和定义可得答案． 【详解】（1）解：设交x轴于M， ∵， ∴轴， ∴， ∴O到的距离， ∴d（点O，） ∵，，，， ∴， ∴ 故答案为：6，8； （2）解：作直线，取，如图： 在直线上，到距离为2，线段上的点到距离都小于2， 同理到的距离为2，线段上的点到的距离都小于2， ∴当d（点T，G），或； （3）解：当时， 设与x轴交于G，与y轴交于H，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时线段上的一点到四边形上一点的距离的最小值即为或的长， 当时，此时，即（，四边形）； 当时，此时，即（，四边形）； ∴当时，（，四边形）； 如图所示，当时，此时（，四边形） 当时， 同理可得当时，此时（，四边形）； 当时，此时（，四边形）； ∴当时，（，四边形）； 综上所述，或． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同族点．如下图中的点，两点即为同族点． (1)已知点的坐标为． 在点，，中，为点的同族点的是 ； 若点在轴上，且，两点为同族点，则点的坐标为 ； (2)已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点． 若点为线段上一点时，已知点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，直线上存在点，使得点，两点为同族点，求的取值范围； 若以，，，为顶点的正方形上存在点，使得点，两点为同族点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，；或； (2)；或 ． 【分析】（）把各点的横纵坐标的绝对值相加，得，则是A的同族点； 因为点在轴上，所以设，则，可得结论； （）首先证明点的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值，然后画出图形即可解决问题； 找出特殊位置进行判断即可； 本题考查了一次函数、同族点的定义，坐标与图形，点到坐标轴的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题． 【详解】（1）∵点A的坐标为， ∴ 则点，，中，，，， ∴点的同族点的是，， 故答案为：，； ∵点在轴上， ∴点的纵坐标为0，设，则， ∴， ∴或， 故答案为：或； （2）由题意，直线与轴交于，与轴交于， 点在线段上，设其坐标为， 则有：，，且， ∵点到轴的距离为, 点到轴的距离为，则， ∴点的同族点满足横纵坐标的绝对值之和为，即点N在图中所示的正方形上， ∵点坐标为，点在直线上， ∴； 如图， 则由题意得： 或． A基础训练 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴点在第二象限； 故选B． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点Q到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，且在第四象限，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，根据点Q到两坐标轴的距离及点Q所处的象限确定点Q的坐标即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴， ∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴点， 故选：B． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸18-1中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的坐标． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“传”在第三象限，坐标为 ． 故选：C． 4．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标，长方形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵， ∴细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处， 即细线的另一端所在位置点的坐标是． 故选：A． 5．（10-11八年级上·江苏·阶段练习）已知点A的坐标为，则它到x轴的距离为 ；到坐标原点的距离为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值．根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得第一个空的答案，根据点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值，可得答案． 【详解】解：已知点A坐标为，则点A到x轴距离为2，到原点距离为， 故答案为：2，． 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍， ∴， 解得或， 故答案为：3或7． 7．（16-17七年级下·湖北·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的长最短时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，则，再由垂线段最短可知，当时，线段的长最短，则轴，可得，由此可得答案． 【详解】解：∵轴，， ∴， ∵线段的长最短， ∴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，若对于平面内任一点有如下变换：，如，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，正确得出坐标变化规律是解题关键．直接利用已知得出点的变化情况，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故当，时， ，， 即． 故答案为：，． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点是平面直角坐标系中的一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为0即可得到答案； （2）根据平行于轴的直线上各点纵坐标相等进行解答即可． 【详解】（1）解：因为点在轴上，所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． （2）因为点的坐标为，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)作出，使和关于轴对称； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质，进而得出答案； （2）直接利用（1）中所画图形得出各点坐标即可； （3）利用三角形所在长方形面积减去周围三角形面积进而得到答案． 【详解】（1）解：由关于轴对称点的性质我们可以得到的图形如图所示． （2）解：由（1）中所画的图形我们可以得出两点的坐标分别为：． （3）解：如图所示，， ， ， ． B 提高训练 11．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，已知点、的坐标分别为、，则点的坐标应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用坐标表示位置，根据已知的两个坐标点建立坐标系，即可求解． 【详解】解：由已知的两个标志点和，建立如图的坐标系， 则点C的坐标为． 故选：D． 12．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质及三角形的面积，能根据题意得出关于的等式是解题的关键． 根据题意求出的长，据此得出点B的坐标即可． 【详解】解：由题知，因为与坐标轴所围成的三角形面积为4，且点A坐标为， 所以， 解得， 所以点B的坐标为或 故选： 13．（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 15．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴上，如果，则点C的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平面直角坐标系内三角形的面积的计算，熟练的表示坐标系内线段的长度是解本题的关键． 设再利用三角形的面积公式列方程，从而可得答案． 【详解】解：如图，设， ∵， ∴， ∵，面积为， ∴ 解得或 点坐标为或． 故答案为：或 16．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质易得，，进而可得，即可确定点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∵，轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)写出顶点的坐标：A（ ），B（ ），C（ ） (2)画出关于轴对称的图形 (3)已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形面积相等知识点，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据题意写出三点坐标即可； （2）分别作出的对应点，顺次连接点，继而即可求解； （3）设点，构建方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：如图所示：根据题意可得：，顺次连接点即可求得； （3）解：设点， ， 由题意可得：，即， 解得：或， ∴点的坐标为或． 18．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图中的两点即为“等和点”． (1)已知点的坐标为，在点中，与点为“等和点”的是_____（只填字母）； (2)若点满足方程，且，两点为“等和点”，求B点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形，理解“等和点”的定义是解此题的关键． （1）由“等和点”的定义一一验证即可； （2）设，由“等和点”的定义列出方程求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 在点，，中，，，， 与点为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点满足方程， ∴， 设， ， 解得：或， 或． C 培优训练 19．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定长方形的边长，分析滚动过程中坐标的变化规律，找出循环周期，再根据周期计算第次滚动后点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形滚动的坐标变化规律，熟练掌握找循环周期及根据周期计算坐标的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，． 第一次滚动后，的坐标为； 第二次滚动后，的坐标为； 第三次滚动后，的坐标为； 第四次滚动后，的坐标为 ． 观察可得滚动周期为，每滚动次，横坐标增加，纵坐标按循环． ，即经过个完整周期后，再滚动次． 一个周期横坐标增加，个周期横坐标增加 ． 初始，经过个周期后对应点横坐标为 ，再滚动次（第一次滚动规律），横坐标变为，纵坐标为 ． 所以的坐标为． 故选：． 20．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 21．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 【答案】 3 或 【分析】（1）根据P点在x轴上，得解答即可； （2）根据点P到y轴的距离为3，得到，解答即可． 本题考查了点在x轴上，点到坐标轴的距离，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：（1）根据P点在x轴上，得， 解得， 故答案为：3； （2）解：根据点P到y轴的距离为3，得到， 得或， 解得或， 故或， 故答案为：或． 22．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是 ； （2）已知点，点，则线段的长度是 ； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当 时，点在的直角边上． 【答案】 2 5 【分析】本题考查的是新定义，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）由点，点，利用两点间距离公式可得答案． （2）由点，点，根据勾股定理即可求出线段的长度． （3）由点的坐标为， 假设点在边上时求出m，检验是否在边上，若点在边上，检验是否在边上即可求解． 【详解】解：（1）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （2）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （3）∵，，，， ∴，， ∴点的坐标为， 当点在边上，则， 解得，此时点的坐标为． ∵， ∴当时，点在边上． 当点在边上，则，此时点的坐标为，在第四象限， ∴当时，点不在边上． 综上：当时，点在的直角边上． 故答案为： 23．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标． (2)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为或 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的计算，能够熟练地转化线段长度与点的坐标是解题关键． （1）根据两点之间的距离求点B的坐标即可，注意分左右两边讨论； （2）以为底，以点P的纵坐标的绝对值为高，利用面积计算公式求高的值即可． 【详解】（1）解：当点B在点A的右边时，点B的坐标为； 当点B在点A的左边时，点B的坐标为． 所以点B的坐标为或； （2）解：设点P到x轴的距离为h， 根据题意得，， 解得， ①当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为或． 24．（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明即可； （2）作轴，证明，即可得出结果； （3）过点作直线轴，交轴于点，作，证明，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）作轴，则， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴， ∴； （3）过点作直线轴，交轴于点，作， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴，即：． 学科网（北京）股份有限公司 $