5正态分布（8大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

5正态分布 题型一：正态密度函数 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（ ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．函数(其中)的图象可能为（ ） A． B． C． D． 3．设随机变量，则X的密度函数为（ ） A． B． C． D． 题型二：概率分布曲线的认识 1．已知随机变量，设随机变量，则（ ） A． B． C． D． 2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 题型三:指定区间的概率 1．若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 2．设随机变量，则（ ） A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.70 3．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．已知随机变量，则（ ） A． B． C． D． 题型四:的概率 1．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 2．某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ） （参考数据：若，有，，） A．580 B．480 C．380 D．280 3．小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（ ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 4．已知某种袋装食品每袋质量（单位：），，，.则下面结论正确的是（ ） A． B． C．随机抽取10000袋这种食品，每袋质量在区间的约8186袋 D．随机抽取10000袋这种食品，每袋质量小于的不多于14袋 题型五:正态分布的对称应用 1．（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 2．（多选）若随机变量，，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选）2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，）（ ） A． B． C． D． 4．（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 题型六:正态分布的实际应用 1．为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 2．从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示频率分布直方图． (1)求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①利用该正态分布，求； ②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求． 附：． 3．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 4．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，． 题型一:正态分布的对称性求参 1．已知随机变量，则（ ） A．5 B．4 C．6 D．3 2．已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若随机变量，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D． 5．（多选）随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 题型一:正态分布的综合应用 1．（多选）已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选）已知随机变量，若，，则（ ） A． B． C．若，则 D．函数在上单调递减 3．（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 4．（多选）若随机变量，则（ ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 5．泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为． (1)当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则， (2)若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：） ②求使得最大时的值． (3)若Poisson（），求证：当时，． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 5正态分布 题型一：正态密度函数 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（ ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 2．函数(其中)的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 3．设随机变量，则X的密度函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 题型二：概率分布曲线的认识 1．已知随机变量，设随机变量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布性质以及期望值与方差的性质计算可得，即可判断得出结论. 【详解】由可知， 因此可知， ， 所以可得. 故选：B 2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【详解】由题，，则，又，， 故选：D 3．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 题型三:指定区间的概率 1．若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 2．设随机变量，则（ ） A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.70 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 3．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性结合随机事件的关系运算即可得答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以 又，所以， 则. 故选：B. 4．已知随机变量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性结合随机事件的关系运算即可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 题型四:的概率 1．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由，得 . 故选：D 2．某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ） （参考数据：若，有，，） A．580 B．480 C．380 D．280 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性得，进而有，根据已知及对称性求概率，即可估计人数. 【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而， 所以， 所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人. 故选：B 3．小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（ ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可. 【详解】由题设，，． 故选：A 4．已知某种袋装食品每袋质量（单位：），，，.则下面结论正确的是（ ） A． B． C．随机抽取10000袋这种食品，每袋质量在区间的约8186袋 D．随机抽取10000袋这种食品，每袋质量小于的不多于14袋 【答案】C 【分析】由正态分布内容对选项逐一判断 【详解】根据题意，，∴，故A错误 又，故B错误. 由于 所以随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约8186袋，故C正确. 对于D，根据概率的意义，有可能多于14袋，D错误 故选：C 题型五:正态分布的对称应用 1．（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 2．（多选）若随机变量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误. 【详解】由，则，，由，则，， A：由，即，对； 由，即，B错，C对； D：由，即，错. 故选：AC 3．（多选）2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，）（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正态分布曲线的对称性以及概率公式求解即可 【详解】对于A，，故，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，，故C错误． 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 4．（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 题型六:正态分布的实际应用 1．为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 2．从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示频率分布直方图． (1)求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． ①利用该正态分布，求； ②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求． 附：． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的计算公式，即可求解； （2）①利用（1）中结果，得，利用正态分布的性质，即可求解；②利用二项分布期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为， 方差为. （2）①由（1）知，，又， 则． ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为， 依题意知，所以． 3．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图． (1)根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示） (2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于17.56千元的人数最有可能是多少？ ②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？ 附：；若，则，，． 【答案】(1)20千元； (2)①978人；②18.78千元． 【分析】（1）求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得； （2）①根据正态分布求出每个农民的年收入不少于17.56千元的概率， 记1000个农民的年收入不少于17.56千元的人数为， 可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式， 计算出“恰好有k个农民的年收入不少于17.56千元”中k的最大值即可； ②根据正态分布曲线的对称性分析求解即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可知： ， 故估计50位农民的年平均收入为20千元． （2）由题意知， ①由， 每个农民的年收入不少于17.56千元的概率为0.97725， 记1000个农民的年收入不少于17.56千元的人数为，则，其中． 于是恰好有个农民的年收入不少于17.56千元的事件概率为：． 从而由，得，而， 所以当时，， 当时， 由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于17.56千元的人数最有可能是978人． ②因为， 时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78千元． 4．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）求出X的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列. （2）由给定的数据求出，再利用正态分布求出概率，利用二项分布求出期望. 【详解】（1）依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）依题意，， ，则，， 于是， 学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，， 所以Y的数学期望. 题型一:正态分布的对称性求参 1．已知随机变量，则（ ） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称， 因为， 所以，解得． 故选：A． 2．已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 3．已知随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正态分步曲线的对称性，结合基本不等式进行求解即可 【详解】由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称， 由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称， 因为正实数满足，而且， 所以有， 根据正态分布曲线的对称性可知， 因为是正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此当时，的最小值为， 故选：C 4．若随机变量，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性求得的关系，进而求出最小值. 【详解】由随机变量，且，得，即， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 5．（多选）随机变量，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布的性质可得，结合基本不等式判断各选项的结论. 【详解】随机变量，，， 则有， 所以，A正确； ，，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ， 当且仅当且，即，时等号成立，D正确. 故选：ACD. 题型一:正态分布的综合应用 1．（多选）已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，所以，故A正确； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，故C正确； 对于D：对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，所以，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）已知随机变量，若，，则（ ） A． B． C．若，则 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】利用正态分布的对称性可判断A；利用公式，可判断BC；根据正态曲线可判断D. 【详解】由随机变量，知，. 选项A：，得，所以A正确. 选项B：，所以B错误. 选项C：由，得， 所以，所以C正确. 选项D：因为随机变量，结合正态曲线， 易得函数在上单调递增，所以D错误. 故选：AC 3．（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B,当时，，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC 4．（多选）若随机变量，则（ ） A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称 C． D．若，则， 【答案】ACD 【分析】根据密度函数的解析式可判断A；根据密度函数的性质可判断BCD. 【详解】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确； 的密度曲线关于直线对称，故B错误； ，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD. 5．泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为． (1)当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则， (2)若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：） ②求使得最大时的值． (3)若Poisson（），求证：当时，． 【答案】(1)0.8186； (2)①0.225；②，或 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，结合正态分布原则即可求解； （2）①由泊松分布概率公式求解即可；②由题意，故只需讨论与1的大小关系即可求解； （3）分析知，只要证当时，，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）因为Poisson（），且，可近似地认为，即， 所以 ； （2）①由题知Poisson（），其中， ． ②， 所以， 当时，，当时，，当时，， 所以 所以当，或时，最大． （3）因为Poisson（），所以， 由泊松分布的概率公式，得， 所以， 要证当时，，只要证当时，． 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以只要证， 因为，所以只需证， 令，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以，所以， 所以当时，. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $