精品解析：四川省达州市第一中学校（初中）2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题

四川省达州市第一中学校（初中）2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 紫外线的波长通常在之间，波长的紫外线被称为短波杀菌紫外线．某款紫外灯发射的波长为，．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式乘单项式，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，选项是正确的，故不符合题意； B、，选项是正确的，故不符合题意； C、，选项是正确的，故不符合题意； D、，选项是不正确的，故符合题意； 故选：D 4. 从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵单词“happy”中有两个p， ∴抽中p的概率为： . 故选：C. 5. 用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（ ） A. ，消去 B. ，消去 C. ，消去 D. ，消去 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 【详解】解：A、，消去，正确，故本选项不符合题意； B、，消去，正确，故本选项不符合题意； C、，消去，正确，故本选项不符合题意； D、，能消去，而不能消去，所以原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D 6. 如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行列式即可． 【详解】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱， 即， 故选A． 8. 如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件解答即可． 本题考查了等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，点为的中点，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故③正确； ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵ ∴， 故④错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义分2种情况讨论即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的三边长为7，7，15，，故不符合题意； 若等腰三角形的三边长为7，15，15，，则周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为37． 故答案为：37． 10. 若 ，其中 m 不为0 ，且 a，b 均为正整数，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 13. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：如图，∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 14. 计算题： （1）计算： （2）化简： （3）简便计算： （4）解方程组： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则，消元法解二元一次方程组是解题的关键： （1）进行乘方，求绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）根据单项式乘单项式和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）利用乘法公式进行简算即可； （4）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原方程组可化为， ，得，解得； ，得，解得； ∴． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可；灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． （1）画出线段关于直线l的轴对称线段； （2）在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 【答案】（1） 如图所示，线段为所求： （2） 如图所示，点为所求： （3）5 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形、对称的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想，是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质得出的对应点，连接即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求作的点； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由对称的性质得， 则， 此时，最小； 【小问3详解】 解：如图所示， 点C共有5个． 故答案为：5． 17. 如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握相关定理内容即可求解． （1）根据，可证，得到，结合平分，平分即可得证； （2）根据可得，结合可得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴. 18. 在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ； （2）当点在线段的延长线上时， ①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论； ②连接，，若，，请求出的面积． 【答案】（1）；； （2） ①，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键． （1）由等腰直角三角形性质得，由旋转的性质得，，进而得，由此可依据判定和全等得，，进而得，，据此可得出答案； （2）①由得，进而可依据证明和全等得，继而可得出线段、、的数量关系； ②由，得，由和全等得，，进而得，再由三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 故答案为：；； 【小问2详解】 ①略 ②，， ， 由①可知：， ，， 在中，，， ， ， ， ， 即， 的面积是：． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若是完全平方式，则______． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得：或， 故答案为：8或． 20. 已知二元一次方程组 且，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，利用加减消元法可得，，则可得到，据此代入计算即可． 【详解】解： 得， ∴， 得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 如图， 已知线段， 射线于点A， 射线于点B， P点从B 点向A 运动，每秒走 ，Q点从B点向D运动，每秒走，P，Q同时从B出发，则出发__________秒后，在射线上有一点 C， 使与全等． 【答案】4或10 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，证明三角形全等和分类求解是解题的关键．由题意得：，，，分类讨论①，②两种情况，根据全等三角形对应边相等分别列方程，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t， 由题意得：，，， 分以下两种情况讨论： ①时： 则， ∴， 解得：； ②时： 则， ∴， 解得：； 综上所述：或时，可使与全等， 故答案为：4或10． 22. 七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定；正确地识别图形是解题的关键．根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又， ， 同理可得，， ， 射线为的平分线； ③：由作图痕迹可知，，， 可得， 又由图可知， ， ， 射线为的平分线； ④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形， 射线是的垂直平分线， 也是的平分线． 故答案为：①②③④． 23. 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 所谓完全平方式，就是对于一个整式 A ，如果存在另一个整式 B ，使 ，则称 A 是完全平方式，例如：，，所以就是完全平方式． 请解决下列问题： （1）已知  ，则________； （2）如图，在长方形中，，点 E，F 分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形  外侧作正方形和． ①________， ________；（用含 x 的式子表示） ②若长方形的面积为32 ，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）6 （2）①；；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，列代数式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据列式求解即可； （2）①根据题意结合图形即可得到答案；②设，则；再根据求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由题意得，； ②设， ∴； ∵长方形的面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴ 25. 通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示． （1）乙机器人分拣包裹的速度是______个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差______个． （2）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． （3）求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 【答案】（1）60；600 （2）42分钟 （3）分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）乙机器人50分钟分拣3000个包裹，据此可求出乙机器人的分拣速度，进而求出12分钟时乙机器人分拣的包裹数，据此可得答案； （2）先求出异常前甲的分拣速度，进而求出异常后甲的分拣速度，再根据甲和乙机器人分拣的包裹数量相同建立方程求解即可； （3）分，，， 和四种情况，分别求出两个机器人分拣的包裹数相差不超过200时x的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解；由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， ∴12分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个）， ∴12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； 【小问2详解】 解：（个/分）， ∴甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分， ∴甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分）， 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则， 解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． 【小问3详解】 解：当时，由题意得，，解得； 当时，由于甲的分拣速度大于乙，故此过程两机器人分拣数量差一定超过200； 当时，由题意得，， 解得； 当时，由题意得， ， 解得； 当时，由题意得，， ∴， ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为分钟． 26. 某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． （1）如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：； （2）如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； （3）如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， （2） ，理由如下， ∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是， ∴， ∴， （3） ， 理由：的最小值为，理由如下，如图，设交于点， 由（2）可得 当时，，此时取得最小值， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴ ∴ 又∵ 又∵ ∴ ∴，， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据折叠的性质得出，，进而根据即可证明； （2）根据折叠的性质可得，进而证明， （3）如图，设交于点，当时，，此时取得最小值，进而同（1）证明得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市第一中学校（初中）2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   2. 紫外线的波长通常在之间，波长的紫外线被称为短波杀菌紫外线．某款紫外灯发射的波长为，．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（ ） A. ，消去 B. ，消去 C. ，消去 D. ，消去 6. 如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为_______． 10. 若 ，其中 m 不为0 ，且 a，b 均为正整数，则的值为___________ 11. 如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 12. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 13. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 14. 计算题： （1）计算： （2）化简： （3）简便计算： （4）解方程组： 15. 先化简，再求值：，其中 16. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接． （1）画出线段关于直线l的轴对称线段； （2）在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个． 17. 如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ； （2）当点在线段的延长线上时， ①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论； ②连接，，若，，请求出的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若是完全平方式，则______． 20. 已知二元一次方程组 且，则 的值为__________． 21. 如图， 已知线段， 射线于点A， 射线于点B， P点从B 点向A 运动，每秒走 ，Q点从B点向D运动，每秒走，P，Q同时从B出发，则出发__________秒后，在射线上有一点 C， 使与全等． 22. 七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为_____． 23. 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 所谓完全平方式，就是对于一个整式 A ，如果存在另一个整式 B ，使 ，则称 A 是完全平方式，例如：，，所以就是完全平方式． 请解决下列问题： （1）已知  ，则________； （2）如图，在长方形中，，点 E，F 分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形  外侧作正方形和． ①________， ________；（用含 x 的式子表示） ②若长方形的面积为32 ，求图中阴影部分的面积和． 25. 通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示． （1）乙机器人分拣包裹的速度是______个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差______个． （2）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． （3）求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 26. 某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． （1）如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：； （2）如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； （3）如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $