3.3勾股定理的简单应用(2) 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.3 勾股定理的简单应用（2） 如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗? 试写出a99的值 . a99==10 an= 你能利用勾股定理说明“垂线段最短”吗? 解：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q 为直线l上不同于点A的任意一点 . ∵PA⊥l， ∴△APQ 为直角三角形，∠PAQ= 90°， 由勾股定理得， PQ2 =PA2+AQ2 ∵AQ>0， ∴PQ2=PA2+AQ2>PA2 ∴PA<PQ 例1. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD=h， AD=m，DB=n.求证：h2=mn. 证明：在Rt△ADC中，∠ADC=90°， ∴AC2 =h2+m2 在Rt△DBC中，∠BDC=90°， ∴BC2 =h2+n2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2 =AB2 ∵AB=m+n， ∴h2+m2+h2+n2 = (m+n)2 ∴h2=mn 也可以写成比的形式， h也是m，n的比例中项. 变式1. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，CD2＝AD·DB. 求证：（1） AC2＝AD·AB； 证明：∵ CD是AB边上的高， ∴ ∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2 ∵ CD2＝AD·DB， ∴ AC2＝AD·DB ＋AD2＝AD·（DB＋AD） ∵ AB＝DB＋AD， ∴ AC2＝AD·AB 证明：∵ CD是AB边上的高， ∴ ∠BDC=90°， ∴ 在Rt△BDC中，BC2＝CD2＋DB2 ∵ CD2＝AD·DB， ∴ BC2＝AD·DB ＋DB2＝DB·（AD＋DB） ∵ AB＝AD＋DB， ∴ BC2＝DB·AB 变式1. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，CD2＝AD·DB. 求证：（2） BC2＝DB·AB. 证明：作AH⊥BC于H， ∵BC=a，AC=b，AB=c， ∴BC²=a²，AC²=b²，AB²=c²， 在Rt△AHC中，∠AHC=90°， ∴b²=AC²=AH²+HC²， 在Rt△AHB中，∠AHB=90°， ∴c²=AB²=AH²+HB² =AH²+(BC-HC)² =AH²+HC²-2HC×BC+BC² =b²-2HC×BC+a²<a²+b² ∴ c²<a²+b² 变式2. 在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，求证：c²<a²+b². B A C H b c a 证明：作AH⊥BC于H， ∵BC=a，AC=b，AB=c， ∴BC²=a²，AC²=b²，AB²=c²， 在Rt△AHC中，∠AHC=90°， ∴b²=AC²=AH²+HC²， 在Rt△AHB中，∠AHB=90°， ∴c²=AB²=AH²+HB² =AH²+(HC+BC)² =AH²+HC²+2HC×BC+BC² =b²＋2HC×BC+a²＞a²+b² ∴ c²＞a²+b² 变式3. 在钝角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，求证：c²＞a²+b². B A C H b c a 例2、△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高线AD=8，求BC的长. 解：(1) 在Rt△ABD中，∠D=90°， AB=10，AD=8， ∴BD=6 在Rt△ACD中，∠D=90°，AC=17，AD=8， ∴CD=15 ∴BC=CD-BD=15-6=9 (2) 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，AD=8， ∴BD=6 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=17，AD=8， ∴CD=15 ∴BC=CD+BD=15+6=21 A B C D A B C D 变式、已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2-EA2=AC2.求证：∠A=90°. 证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴ED垂直平分BC， ∴EB=EC ∵BE2-EA2=AC2 ∴EC2-EA2=AC2 即CE2=EA2+AC2 ∴∠A=90° A B C D E 例3.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为边AB上一点.求证：（1） △ACE≌△BCD； 证明：∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴ AC＝BC，CD＝CE ∵ ∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴ ∠BCD＋∠ACD＝∠ACE＋∠ACD， ∴ ∠BCD＝∠ACE 在△ACE和△BCD中， ∴ △ACE≌△BCD 例3.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°， D为边AB上一点.求证：（2） AD2＋DB2＝2CD2. 证明： ∵ △ACB是等腰直角三角形， ∴ ∠B＝∠BAC＝45° ∵ △ACE≌△BCD， ∴ EA＝DB，∠CAE＝∠B＝45°， ∴ ∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°， ∴ AD2＋EA2＝DE2， ∴ AD2＋DB2＝DE2 又∵ △ECD是等腰直角三角形， ∴ CD2＋CE2＝2CD2＝DE2， ∴ AD2＋DB2＝2CD2 例3、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90º，点D是AB的中点，一直角顶点与点D重合，并绕点D旋转交AC于点E，交BC于点F，连结EF，猜想：线段EF、AE、BF之间有何关系？并证明你的结论. E D C B A F △AED≌△BCD EF2=AE2+BF2 E D C B A 变式、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90º，∠DCE=45º并绕点C旋转交AB于点D、点E，猜想：线段ED、AD、BE之间有何关系？并证明你的结论. E’ 拓展. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF. 若AC＝13，BC＝10，求四边形EBFC的面积. 解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H， 过点C分别作CM⊥AB，CN⊥BF，垂足分别为M，N ∵ AB＝AC，AH⊥BC， ∴ CH＝ BC＝5. ∴ 在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2， ∴ AH＝12 ∴ S△ABC＝ BC·AH＝ ×10×12＝60 ∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC＝∠ACB ∵ BF∥AC， ∴ ∠ACB＝∠CBF， ∴ ∠ABC＝∠CBF ∵ CM⊥AB，CN⊥BF， ∴ CM＝CN ∵ S△ACE＝ AE·CM，S△CBF＝ BF·CN， AE＝BF， ∴ S△ACE＝S△CBF， ∴ S四边形EBFC＝S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△ABC＝60 拓展. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF. 若AC＝13，BC＝10，求四边形EBFC的面积. 课堂小结： 1.知识点： （1）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+ b2=c2 . （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b， c，满足a2+ b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. （3）勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 例如：（3、4、5）;（6、8、10）;（5、12、13） 注意：解题时往往需要先找出或者构造直角三角形. 2.思想方法：分类思想、方程思想、数形结合思想 3.核心素养：逻辑推理 数学抽象 直观想象 $