12.11勾股定理（教学课件）数学新教材北京版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过复习三角形分类及三边关系，衔接无理数学习中等腰直角三角形的特殊三边关系，引导学生探究任意直角三角形的三边数量关系，搭建起新旧知识的学习支架。 其亮点在于以“猜想—验证—证明”为主线，结合《周髀算经》记载及赵爽弦图，渗透数学文化，发展学生推理意识与抽象能力。通过典例解析与分层练习，强化勾股定理应用，助力学生掌握数学语言表达，教师可借此提升教学效率。

北京版2024·八年级上册 勾股定理 12.11勾股定理 第十二章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解勾股定理的内容，掌握 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方” 这一核心结论，明晰定理中各边的对应关系 经历勾股定理的探索过程，掌握 “猜想 — 验证 — 证明” 的数学探究方法，理解勾股定理的推导逻辑 。 能够熟练运用勾股定理解决两类基本问题：一是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长度；二是解决与直角三角形相关的拓展问题 复习回顾 知识回顾 1.三角形按角分类有哪些类型？直角三角形有什么特点？ 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 有一个角是直角 两锐角互余 复习回顾 知识回顾 2.我们之前学过哪些与三角形边长相关的知识？比如三角形三边关系 。 a b c 三角形任意两边之和大于第三边 a+b＞c 三角形任意两边之差小于第三边 a-b＜c 情景导入 还记得吗?我们在认识无理数的时候，曾经用边长为2的正方形纸片折出了边长为的正方形，发现等腰直角三角形的三边有特殊的数量关系.那么,对于任意一个直角三角形的三边，是否也有这种关系呢? 新知探究 实践与探究 用直尺和圆规作以下三个直角三角形，使它们的两条直角边分别为3cm,4cm;6cm,8cm;5cm,12cm.然后度量出它们斜边的长. 3cm 4cm 6cm 8cm 5cm 12cm ？ ？ ？ 新知探究 勾股定理 3cm 4cm 6cm 8cm 5cm 12cm 10cm 13cm 5cm 用刻度尺测斜边，用平方运算对比 “两直角边平方和” 与 “斜边平方” 大家计算后，看看两直角边平方和与斜边平方有什么联系？ 32+42=52 82+62=102 52+122=132 新知探究 勾股定理 归纳与猜想 32+42=52 82+62=102 52+122=132 猜想： 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即若直角三角形两直角边为a,b，斜边为c，则a2+b2=c2。 新知探究 勾股定理 勾 股 弦 以上规律很早就被我国古代劳动人民发现了，他们把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦。 我国古代的《周髀算经》①便记载有周公与商高(殷末周初)的一段对话.商高说：“……勾广三，股修四，径隅五.”其中“勾广”就是勾长，“股修”就是股长，“径隅”就是弦长. ①《周髀算经》成书于西汉或更早时期，是长期积累编纂而成的数理天文学著作.原名《周髀),唐代李淳风(602—670)等加“算经”两字. 新知探究 勾股定理推理证明 用四个全等的直角三角形（两直角边a,b，斜边c ），按课本图12 - 86(2)拼成大正方形 。 新知探究 勾股定理推理证明 a a a a b b b b c c c c 面积推导： 大正方形面积有两种表示： 方法一： 边长为(a + b)，面积=(a + b)2 。 方法二： 由四个直角三角形和中间小正方形组成，面积=4×ab + c2 。 等式推导： (a + b)2=4×ab + c2 新知探究 勾股定理推理证明 展开等式推导： (a + b)2=4×ab + c2 展开得：a2+2ab + b2=2ab + c2， 化简后：a2+b2=c2 由此得到： 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. a b c 新知探究 勾股定理推理证明 归纳与小结 勾股定理： 在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方. 对应名称：直角三角形中，较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦。 勾 股 弦 注意事项： 前提：必须是直角三角形，非直角三角形不适用 。 对应关系： a,b是直角边，c是斜边，要 “对号入座”，不能混淆边的位置 。 新知探究 勾股定理推理证明 思考与交流 从古至今，勾股定理的证明一直吸引着人们去研究和探索，证明方法也层出不穷. 你想到用什么方法证明勾股定理了吗？ 新知探究 勾股定理推理证明 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 新知探究 a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.（提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积） 典例解析 例1 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=8,BC=3.求AC. 分析： 1.识别直角三角形及边的角色：∠ C = 90°，所以AB是斜边c = 8，BC是直角边a = 3，AC是另一直角边b  。 C A B c=8 a = 3 b 2.应用勾股定理：BC2+AC2=AB2（直角边平方和 = 斜边平方 ）。 典例解析 例1 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=8,BC=3.求AC. 解答： ∵ ∠C=90°, ∴BC²+AC²=AB²(勾股定理). ∴AC²=8²-(3)²=46. :AC= 2.题目中求△ABC的面积，由面积公式得三角形的面积=底×高，所以需作出一边的底 典例解析 例2 已知：在等边三角形ABC中，AB=4.求△ABC的面积. A B C 分析： 1.由等边三角形得出三角形的三边都为4,则AB=BC=AC=4,三边都可以为三角形的底 3.如作出BC边上的底AD，则可构造出直角三角形ABD，根据勾股定理即可求出AD的长 D 典例解析 例2 已知：在等边三角形ABC中，AB=4.求△ABC的面积. A B C D 解：过点A作AD⊥BC于D点 构造出直角三角形 ∵△ABC为等边三角形 ∴AB=AC=BC=4 等边三角形的性质 ∵AD⊥BC ∴BD=BC=×4=2 三线合一 在Rt△ABD中，根据勾股定理得 AD===2 S△ABC=×4×2=4 课后实践 实践与探究 欲作长度分别是， ，的线段，仔细观察图12-88,找出表示，，，的线段. 你还能继续作出表示长度分别为，的线段吗? 课堂练习 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　) A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2 C 课堂练习 3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，则b= . (2)已知a=5，b=12，则c= . (3)已知c=17，b=15，则a= . 8 13 8 4.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 课堂练习 5.求下列图中未知数x、y的值： 解：由勾股定理，得 81+ 144=x2， 解得x=15. 解：由勾股定理，得 y2+ 144=169， 解得 y=5 课堂练习 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= ， ∴BC=BD+CD=1+ ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ． 课堂总结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 感谢聆听! $