12.11勾股定理 学习任务单 2025-2026学年北京版数学八年级上册

该初中数学学习任务单聚焦勾股定理的计算与应用，从直角三角形边长基础计算（已知两边或一边及关系）入手，逐步延伸到三角形重要线段求解、《九章算术》实际问题及数轴表示无理数，构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料突出方程思想与建模思想渗透，通过“已知一边及两边关系列方程”“竹折问题抽象模型”等任务培养推理能力与运算能力，体现数学思维。结合传统文化情境与错题辨析（如例3数据问题），强化严谨性，习题覆盖多样情境，助力发展模型意识与应用意识，提升学习效果。

课题 勾股定理 学习目标 1．熟练运用勾股定理进行计算． 2．体会勾股定理在几何问题和代数问题中的应用，经历从实际问题抽象出数学模型的过程，进一步感受建模思想． 3．能够用方程思想来解决几何问题. 课上学习任务 【学习任务一】 1、 求直角三角形的边： 1． 知道两条边求第三条边 例1.直角三角形中两条边分别是3,4 ，第三条边是多长？ 练.算一算 a b c 1 2 1 2 2 3 2 3 …… 2．将勾股定理当做建立方程的模型 已知直角三角形的一条直角边为5，请你补充一个条件，求剩余两条边． 条件一：另一条直角边是12； 条件二：有一条边是12； 条件三：有一锐角是30°； 条件四：另外两条边之差为1； 条件五：周长为30． 条件六：去掉条件“一条直角边为5”，补充条件三条边长恰好为三个连续整数． 【归纳】直角三角形中边的计算 情况一：已知两边； 情况二：已知一边，以及剩余两边的关系． 情况三：已知三边之间的关系． 【学习任务二】 二、求三角形中的重要线段 例2.已知等腰三角形的一条腰为10，底为12 （1） 求这个等腰三角形的面积．（2）求腰上的高. 例3.已知△ABC中，AB=，AC=，BC=12，AD是△ABC的中线，求AD． 例4.已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4 ，AD是△ABC的角平分线，求AD． 练：1.已知等腰Rt△ABC中AC=12cm，Rt△ABD中BD=cm，求CD的长． 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=22.5°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，CD=，求AB的长. 【学习任务三】 例 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”《九章算术》 译文：一根竹子，原高一丈（10尺），竹子折断，竹子顶端着地，着地处离竹子根部有3尺.问：折断处离地面有多高？ 【学习任务四】 你能在数轴上画出表示的点吗？ 找出长度表示，，，的线段. 作出长度表示，的线段. 答案 【学习任务一】 1. 求直角三角形的边 例1. 直角三角形中两条边分别是3,4，第三条边是多长？ 解：有两种情况： (1) 若3和4都是直角边，则斜边c = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5 (2) 若4是斜边，3是直角边，则另一条直角边b = √(4²-3²) = √(16-9) = √7 练一算： 表格答案（按顺序）： 第一行：已知a=1, c=2，则b=√(c²-a²)=√(4-1)=√3 第二行：已知a=1, b=2，则c=√(a²+b²)=√(1+4)=√5 第三行：已知a=2, b=3，则c=√(4+9)=√13 第四行：已知b=2, c=3，则a=√(c²-b²)=√(9-4)=√5 2. 将勾股定理当做建立方程的模型 已知一条直角边为5： 条件一：另一条直角边是12 解：斜边c=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13 条件二：有一条边是12 解：有两种情况： (1) 若12是另一条直角边，则斜边c=√(5²+12²)=13 (2) 若12是斜边，则另一条直角边b=√(12²-5²)=√(144-25)=√119 条件三：有一锐角是30° 解：设30°角所对的直角边为5，则斜边c=10，另一条直角边b=5√3 若30°角的邻直角边为5，则斜边c=10/√3，另一条直角边b=5/√3 条件四：另外两条边之差为1 解：设另一条直角边为x，则斜边为x+1 由勾股定理：5²+x²=(x+1)² 25+x²=x²+2x+1 2x=24 x=12 斜边=13 条件五：周长为30 解：设另一条直角边为x，则斜边为30-5-x=25-x 由勾股定理：5²+x²=(25-x)² 25+x²=625-50x+x² 50x=600 x=12 斜边=25-12=13 条件六：三条边长恰好为三个连续整数 解：设三边为n-1, n, n+1（n+1为斜边） (n-1)²+n²=(n+1)² n²-2n+1+n²=n²+2n+1 2n²-2n+1=n²+2n+1 n²-4n=0 n(n-4)=0 n=4（n=0舍去） 三边为3,4,5 【归纳】直角三角形中边的计算 情况一：已知两边 → 直接代入勾股定理计算 情况二：已知一边，以及剩余两边的关系 → 设未知数列方程 情况三：已知三边之间的关系 → 设未知数列方程 【学习任务二】求三角形中的重要线段 例2. 已知等腰三角形的一条腰为10，底为12 解： (1) 求面积：底边上的高h=√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8 面积S=(1/2)×12×8=48 (2) 求腰上的高：设腰上的高为h₁ 面积S=(1/2)×腰×h₁=(1/2)×10×h₁=48 h₁=48×2÷10=9.6 例3. 已知△ABC中，AB=√13，AC=√37，BC=12，AD是△ABC的中线，求AD 解：使用中线长公式： AD=√[(2AB²+2AC²-BC²)/4] =√[(2×13+2×37-144)/4] =√[(26+74-144)/4] =√[(-44)/4] =√(-11) 结果为虚数，说明题目数据可能有问题（三边不构成三角形） 例4. 已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分线，求AD 解：AB=√(3²+4²)=5 设BD=x，则CD=4-x 由角平分线性质：AB/AC=BD/CD 5/3=x/(4-x) 5(4-x)=3x 20-5x=3x 8x=20 x=2.5 在△ABD中，AD²=AB²+BD²-2×AB×BD×cosB cosB=BC/AB=4/5=0.8 AD²=5²+2.5²-2×5×2.5×0.8 =25+6.25-20 =11.25 AD=√11.25=1.5√5≈3.354 练： 1. 已知等腰Rt△ABC中AC=12cm，Rt△ABD中BD=√6cm，求CD的长 解：等腰Rt△ABC，AC=12，则AB=BC=12/√2=6√2 在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√[(6√2)²-(√6)²]=√(72-6)=√66 具体CD长度需要根据图形位置确定 2. 如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=22.5°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，CD=√2，求AB的长 解：连接AD ∠C=22.5°，DE垂直平分AC，则AD=CD=√2 ∠ADC=180°-2×22.5°=135° ∠ADB=180°-135°=45° 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，所以AB=BD 设AB=BD=x 在Rt△ABC中，AB=x，BC=x+√2，∠C=22.5° tan22.5°=AB/BC=x/(x+√2) 解得x=1 所以AB=1 【学习任务三】 例：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 解：设折断处离地面高x尺，则 斜边（折下的部分）=10-x 由勾股定理：x²+3²=(10-x)² x²+9=100-20x+x² 20x=91 x=4.55 答：折断处离地面4.55尺 【学习任务四】 在数轴上画出表示√n的点的方法： 1. 作直角三角形，使两条直角边分别为适当长度，使斜边长度为√n 2. 用圆规将斜边长度转移到数轴上 例如： - √2：作直角边长为1的等腰直角三角形，斜边即为√2 - √3：以√2和1为直角边作直角三角形，斜边即为√3 - √5：以2和1为直角边作直角三角形，斜边即为√5 - √7：以√6和1为直角边作直角三角形（√6需先作出） 学科网（北京）股份有限公司 $