专题 4.2 图形的变换与坐标变化（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册 基础知识专项突破讲练

专题 4.2 图形的变换与坐标变化 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、学前回顾：图形的变换 1 【题型1】图形的变换 2 二、基础知识梳理： 2 【知识点一】点到坐标轴的距离 3 【题型2】利用点到坐标轴的距离求坐标 3 【题型3】利用点的坐标求点到坐标轴的距离 3 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 4 【题型4】由平移方式确定点的坐标 4 【题型5】已知平移前后点的坐标确定平移方式 5 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 5 【题型6】由图形平移方式确定平移后点的坐标 5 【题型7】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 6 【知识点四】轴对称坐标变化 6 【题型8】利用轴对称求点的坐标 7 【题型9】利用轴对称方式求坐标中的参数 7 三、 知识与题型延伸探究： 8 【题型10】点到坐标轴距离与几何综合 8 【题型11】坐标变化与规律 9 【题型12】坐标变化与旋转 9 【题型13】坐标变化与几何最值问题 10 二．同步练习​ 11 【基础巩固（18题）】 11 【能力提升（18题）】 15 【中考真题8题】 19 一.知识梳理与题型分类精析 一、学前回顾：图形的变换 1、平移：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到的另一个图形的平面变换叫做平移； 平移的性质：一般地，图形的平移具有如下性质：平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等； 2、 轴对称：一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图表的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称。 轴对称的性质：一般地，轴对称具有如下性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 3、 旋转：一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。 旋转角的性质：一般地，图形的旋转具有如下性质：旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 【题型1】图形的变换 【例题1】（2025·四川成都·三模）如图，将三角形沿水平方向向左平移到三角形的位置．已知，，则的长是 ． 【例题2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，将的沿折叠，使点和点重合，连接，已知的周长为，则的周长是 ． 【例题3】（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图所示的三个圆是同心圆，且，那么图中阴影部分的面积是 ． 二、基础知识梳理： 【知识点一】点到坐标轴的距离 平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 【题型2】利用点到坐标轴的距离求坐标 【例题2】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点 （1）若m的值为2时，求点M的坐标； （2）若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4．则点的坐标是 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型3】利用点的坐标求点到坐标轴的距离 【例题3】（25-26八年级上·甘肃·阶段练习）已知点，则点到轴和轴的距离分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． （1）直接写出下列坐标：_______，_______，________； （2）第2025次运动后，的坐标为_______； （3）点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 　归纳小结：若点则：点到轴距离为的绝对值，点到轴距离为的绝对值． 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）． 【题型4】由平移方式确定点的坐标 【例题4】．（2024·云南·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期末）若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【题型5】已知平移前后点的坐标确定平移方式 【例题5】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知点A的坐标为，点B的坐标为．将线段沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为．则点B的对应点的坐标为 ． 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 【题型6】由图形平移方式确定平移后点的坐标 【例题6】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·贵州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【题型7】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 【例题7】（24-25七年级下·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 归纳小结： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【知识点四】轴对称坐标变化 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为． 【题型8】利用轴对称求点的坐标 【例题8】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）点关于轴的对称点坐标是 ；关于轴的对称点是 ；关于原点的对称点是 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【题型9】利用轴对称方式求坐标中的参数 【例题9】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知点，． （1）、为何值时，点、关于轴对称？ （2）、为何值时，点、关于轴对称？ （3）、为何值时，点、关于原点对称？ 【变式1】（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）由字母的取值判断对称点的象限由对称点所在的象限判断字母的取值范围已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法归纳：关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于原点对称的两个点的坐标横纵坐标互为相反数；反过来，横纵坐标互为相反数两个点关于原点对称。 3、 知识与题型延伸探究： 【题型10】点到坐标轴距离与几何综合 【例题10】（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中，，，，点P是x轴上一动点，若，则P点的坐标为 ．    【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）当时，_____．（用含的代数式表示）； （2）连接，设的面积为，当时，求值； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【题型11】坐标变化与规律 【例题11】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，对作变换得到，例如：作上述变换得到，再将作上述变换得到，这样依次得到，，，…，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 【题型12】坐标变化与旋转 【例题12】（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【题型13】坐标变化与几何最值问题 【例题13】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，点坐标为，N点为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如果点在第一象限，且该点到轴和轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．或1 2．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段练习）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 6．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 8．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）将点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ． 9．（25-26八年级上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，且到轴的距离为5，到轴距离为4，则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为 ． 11．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，将线段平移至，则的值为 ．    12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 13．（2024·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 14．（24-25七年级下·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点 （1）若m的值为2时，求点M的坐标； （2）若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知点关于轴的对称点，求、的值； （2）已知点与点关于轴对称，求的值． 17．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． （1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． （2）若内有一个点经过变换后，在内的坐标为，求关于x的方程的解． 【能力提升（18题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点Q在x轴下方，轴．若，则点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，等边的顶点，规定把等边“先沿轴翻折，再沿轴翻折”为一次变换，连续经过2025次这样的变换后，的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，位于处的光源A发出一束光，经过x轴的平面镜P点反射．恰好经过，求的值（　　） A． B． C．5 D． 7．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）若点关于原点的对称点Q在第二象限，则符合条件的整数m有 个． 10．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知点，将点P先向右平移5个单位，再向上平移6个单位得到点，若在第二象限，则m的取值范围为 ． 11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，已知，点为的中点，过点作轴，垂足为将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点的坐标为 ． 12．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ． 13．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙由同时出发，沿长方形的边作环绕运动，甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2024次相遇地点的坐标是 ． 14．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为_____； （2）若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； （3）若点是“完美点”，求的值． 16．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到三角形． （1）画出三角形，并写出，，的坐标； （2）已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_________； （3）求三角形的面积． 17．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）当时，请直接写出点坐标与； （2）连接，当时，求点坐标； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知，则线段的中点的坐标是______； （2）若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 二、填空题 5．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ． 6．（2025·江苏·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 7．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 8．（2025·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 图形的变换与坐标变化 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、学前回顾：图形的变换 1 【题型1】图形的变换 2 二、基础知识梳理： 3 【知识点一】点到坐标轴的距离 3 【题型2】利用点到坐标轴的距离求坐标 4 【题型3】利用点的坐标求点到坐标轴的距离 5 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 7 【题型4】由平移方式确定点的坐标 8 【题型5】已知平移前后点的坐标确定平移方式 9 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 10 【题型6】由图形平移方式确定平移后点的坐标 10 【题型7】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 12 【知识点四】轴对称坐标变化 13 【题型8】利用轴对称求点的坐标 13 【题型9】利用轴对称方式求坐标中的参数 15 三、 知识与题型延伸探究： 17 【题型10】点到坐标轴距离与几何综合 17 【题型11】坐标变化与规律 21 【题型12】坐标变化与旋转 23 【题型13】坐标变化与几何最值问题 27 二．同步练习​ 31 【基础巩固（18题）】 31 【能力提升（18题）】 41 【中考真题8题】 59 一.知识梳理与题型分类精析 一、学前回顾：图形的变换 1、平移：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到的另一个图形的平面变换叫做平移； 平移的性质：一般地，图形的平移具有如下性质：平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等； 2、 轴对称：一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图表的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称。 轴对称的性质：一般地，轴对称具有如下性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 3、 旋转：一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。 旋转角的性质：一般地，图形的旋转具有如下性质：旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 【题型1】图形的变换 【例题1】（2025·四川成都·三模）如图，将三角形沿水平方向向左平移到三角形的位置．已知，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质求出，即可求得答案． 解：由平移的性质可知：， ． 故答案为：6． 【例题2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，将的沿折叠，使点和点重合，连接，已知的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据折叠性质得出，，再结合的周长，推导出的周长．本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键． 解：∵ 将的沿折叠，使点和点重合， ∴ ，． ∵ 的周长为，即，， ∴ ． ∵ 的周长为，且， ∴ ． 故答案为：． 【例题3】（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图所示的三个圆是同心圆，且，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是能够理解阴影部分的面积是圆面积的． 由图可知，三个阴影部分通过移动可充满大圆的，即可求出阴影部分面积． 解：把最小圆的阴影部分以圆心为定点顺时针旋转，然后把最外边的阴影部分逆时针旋转， 即可填充满最大圆的， 而最大圆的面积为， 图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 二、基础知识梳理： 【知识点一】点到坐标轴的距离 平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 【题型2】利用点到坐标轴的距离求坐标 【例题2】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点 （1）若m的值为2时，求点M的坐标； （2）若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查点坐标的特点，掌握其特点是解题的关键． （1）直接代入求点坐标即可； （2）根据题意，再求解即可． 解：（1）解：将代入点，求得点； （2）到轴的距离为2， 即， ， 或， 点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4．则点的坐标是 【答案】或 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键． 根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为，再根据点N到y轴的距离求出点N的横坐标即可． 解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴点N的纵坐标为，即， ∵点N到y轴的距离为4， ∴点N的横坐标为4或，即， ∴点N的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，再根据到坐标轴的距离求坐标即可． 解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为． 故选：． 【题型3】利用点的坐标求点到坐标轴的距离 【例题3】（25-26八年级上·甘肃·阶段练习）已知点，则点到轴和轴的距离分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到轴的距离是点的横坐标的绝对值解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵点， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，由题意得，即可求解； 解：由题意得， ∴， ∴； 故点到x轴的距离是，到y轴的距离是； 故答案为：①② 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． （1）直接写出下列坐标：_______，_______，________； （2）第2025次运动后，的坐标为_______； （3）点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 【答案】（1）；；　（2）　（3）5；299 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点P的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点P的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 解：（1）解：∵，，，，…， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 令， 解得， ∴． 即点的坐标为． 同理可得，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：； （2）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：； （3）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 则点到轴的距离是5，到轴的距离是299． 故答案为：5，299． 　归纳小结：若点则：点到轴距离为的绝对值，点到轴距离为的绝对值． 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点 （x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）． 【题型4】由平移方式确定点的坐标 【例题4】．（2024·云南·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系下点的平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 利用点平移的坐标规律求解即可． 解：∵点A的坐标为， ∴将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是，即． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期末）若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标． 解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可． 解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 【题型5】已知平移前后点的坐标确定平移方式 【例题5】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 解：∵点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 解：点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知点A的坐标为，点B的坐标为．将线段沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为．则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，先根据点A平移前后的坐标判断出线段的平移方式，再求点B的对应点的坐标即可． 解：∵点A的坐标为，平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段先向左移动3个单位，再向下移动2个单位， ∵点B的坐标为， ∴， 即点B的对应点的坐标为， 故答案为： 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 【题型6】由图形平移方式确定平移后点的坐标 【例题6】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·贵州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【题型7】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 【例题7】（24-25七年级下·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 归纳小结： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【知识点四】轴对称坐标变化 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为. 【题型8】利用轴对称求点的坐标 【例题8】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）点关于轴的对称点坐标是 ；关于轴的对称点是 ；关于原点的对称点是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和关于原点对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 解：点关于轴的对称点坐标是；关于轴的对称点是；关于原点的对称点是； 故答案为：；；． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴、原点对称点的坐标特点，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案． 解：∵点A的坐标为，， ∴点关于轴的对称点， ∴点关于原点的对称点， 故选：B． 【变式2】（2024·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键．过点B作于点C，根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即求得答案． 解：如图，过点B作于点C， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴点B关于原点的对称点的坐标是． 故答案是：． 【题型9】利用轴对称方式求坐标中的参数 【例题9】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知点，． （1）、为何值时，点、关于轴对称？ （2）、为何值时，点、关于轴对称？ （3）、为何值时，点、关于原点对称？ 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称和关于原点对称的点的特征，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案； （2）直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案； （3）直接利用关于原点对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案． 解：（1）解：∵点、关于轴对称， ∴，且， ∴，； （2）解：∵点、关于轴对称， ∴，且， ∴，； （3）解：∵点、关于原点对称， ∴，且， ∴，． 【变式1】（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）由字母的取值判断对称点的象限由对称点所在的象限判断字母的取值范围已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，以及各象限内点的坐标的特点，先判断出点在第四象限是解题的关键． 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先判断出点在第四象限即可． 解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第四象限， 由题意得： 解得：， 故选：B． 方法归纳：关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于原点对称的两个点的坐标横纵坐标互为相反数；反过来，横纵坐标互为相反数两个点关于原点对称。 3、 知识与题型延伸探究： 【题型10】点到坐标轴距离与几何综合 【例题10】（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中，，，，点P是x轴上一动点，若，则P点的坐标为 ．    【答案】或/或 【分析】过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，则进而可得，设P点的坐标为，根据三角形面积公式即可求解． 解：如图，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，    ，，， ，，，，， ， ， 设P点的坐标为， ， ， ， 解得，或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，利用割补法求出． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）当时，_____．（用含的代数式表示）； （2）连接，设的面积为，当时，求值； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）1或4；（3）存在，或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想．解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论． （1）由题意得时，，再由，可得结论； （2）分点在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解； （3）分三种情况，分别求得的长以及的长，即可得出所有点的坐标和的值． 解：（1）解：由题意，，， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，， 当点P在原点左侧时，，， ∴的面积， 由得， 当点P在原点右侧时，，， ∴的面积， 由得， 综上，t的值为1或4； （3）解：存在，题意，分三种情况： ①当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，； ②当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，； ③当时，是等腰三角形， 设，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上，或或． 【题型11】坐标变化与规律 【例题11】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 首先根据是边长为2的等边三角形，求出和的坐标．然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，对作变换得到，例如：作上述变换得到，再将作上述变换得到，这样依次得到，，，…，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标的变换．按照变换规则可以推出各点坐标每4次一个循环，据此求解即可． 解：作上述变换得到， 再将作上述变换得到， 将作上述变换得到， 将作上述变换得到， 可知，每4次一个循环， ∵， ∴的坐标为， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可。 解： ∵，，，…， ∴的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点钟相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 【题型12】坐标变化与旋转 【例题12】（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见分析；；（2）图见分析；，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 解：（1）解：如图，线段即为所求； 由图可得，点Q的坐标为； （2）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 【题型13】坐标变化与几何最值问题 【例题13】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，证明，可得，在直线上运动，作关于直线的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，如图，过作轴于，再进一步求解即可． 解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴在直线上运动， 作关于直线的对称点，连接， ∴，， ∴当三点共线时，取最小值， 如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，点坐标为，N点为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解． 根据N点为线段上一动点，为线段上的一动点，过点作于点，交于点，此时最小为，连接，根据求解，即可解题． 解：点坐标为，N点为线段上一动点，为线段上的一动点， 过点作于点，交于点，此时最小为， 连接， ，点，点，点坐标为，且， ， 解得， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如果点在第一象限，且该点到轴和轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．或1 【答案】B 【分析】本题平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征以及点到坐标轴距离的概念，解题关键是明确第一象限点横、纵坐标均为正，且点到轴、轴距离相等时横、纵坐标的绝对值相等，进而结合条件列方程求解． 解：由题意得： 解得：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段练习）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，点的坐标平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点的坐标平移规律求解即可． 解：的对应点， 向左平移个单位，向上平移个单位得到， 点的对应点点的坐标为，即． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质，关于直线对称，即到直线的距离相等，在同一高度即纵坐标相等． 解：过点,且垂直于轴的直线． 直线为直线 设点关于直线的对称点坐标为 故选：D． 【点拨】本题考查了坐标与图形的变化−对称的知识；解决本题的关键是应认真观察，注意技巧，充分利用对称的特点． 5．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征，分别求出和的值，再计算． 解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点与关于原点对称，所以，． 则． 故选：C． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键．根据题意画出“马”从点出发到点的路线，进而求解即可得到答案． 解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9， 故选：D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）将点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟知点的坐标平移规律和坐标轴上点坐标特征是解答的关键．根据点的坐标平移规律“左减右加”和y轴上的点的横坐标为0求解即可． 解：∵点向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，且到轴的距离为5，到轴距离为4，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标的几何意义是解题的关键；因此此题可根据“点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4”，进行求解即可． 解：由题意得：点M的横坐标为，纵坐标为， ∵点M在第三象限， ∴点M的坐标为； 故答案为：． 10．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移与轴对称．先根据向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变得到点B的坐标，再根据关于轴对称纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解． 解：将点向右平移4个单位长度得到点， 则点， 则点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为： ． 11．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，将线段平移至，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，得出A，C两点纵坐标差等于B，D两点的纵坐标差，据此可解决问题． 解：因为将线段平移至， 所以，， 所以． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 13．（2024·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键．过点B作于点C，根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即求得答案． 解：如图，过点B作于点C， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴点B关于原点的对称点的坐标是． 故答案是：． 14．（24-25七年级下·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的运动规律，点的坐标等知识点，解题的关键是找出点的运动规律． 确定点的运动规律，然后进行求解即可． 解：根据题意可得，点是周期运动规律，运动周期为8秒， ∴， ∴此时，点P的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点 （1）若m的值为2时，求点M的坐标； （2）若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查点坐标的特点，掌握其特点是解题的关键． （1）直接代入求点坐标即可； （2）根据题意，再求解即可． 解：（1）解：将代入点，求得点； （2）到轴的距离为2， 即， ， 或， 点的坐标为或． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知点关于轴的对称点，求、的值； （2）已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；和y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）纵坐标不变，横坐标互为相反数； （2）横坐标不变，纵坐标互为相反数，求得的值，再相加即可． 解：（1）关于轴的对称点 （2）与点关于轴对称， 解得： 17．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 【答案】向右平移4个单位， 【分析】本题主要考查坐标的平移变换，熟练掌握平移的变换，“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点O平移后坐标，可知三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形，再根据平移得到即可． 解：∵点O的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形， ∵点， ∴点， 即点． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． （1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标． （2）若内有一个点经过变换后，在内的坐标为，求关于x的方程的解． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为；（2） 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征． （1）结合平面直角坐标系直接可得出各点的坐标； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标互为相反数，可得出的值，代入解方程即可得出答案． 解：（1）由平面直角坐标系可知：点的坐标为，点的坐标为； 点的坐标为，点的坐标为； 点的坐标为，点的坐标为． （2）由题意可知，与关于原点对称， 解得 则原方程可化为，解得． 【能力提升（18题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点Q在x轴下方，轴．若，则点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及两点间的距离计算． 先根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，确定点的横坐标，再根据求出点的纵坐标，进而可得点的坐标． 解：点的坐标为，轴， 点的横坐标为． 点在轴下方，，点的纵坐标为， 点的纵坐标为, 点的坐标为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，若点和关于原点对称，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关系是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出m和n的值，再相加即可． 解：∵点和关于原点O对称， ∴点B的坐标为点A坐标的相反数，即， ∴，且， 解得：，， ∴． 故选：A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，等边的顶点，规定把等边“先沿轴翻折，再沿轴翻折”为一次变换，连续经过2025次这样的变换后，的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，涉及等边三角形的性质、勾股定理等知识，根据题意找准点的坐标变换规律是解决问题的关键．过点作于，如图所示，由等边三角形性质及勾股定理求出，再由题意得到规律：奇数次变换后三角形在第三象限，偶数次变换后三角形在第一象限，数形结合即可得到答案． 解：过点作于，如图所示： 等边的顶点， ，由勾股定理可得， 则点到轴的距离为， ， 根据题意得，奇数次变换后三角形在第三象限，偶数次变换后三角形在第一象限， 第2025次变换后的三角形在第三象限， 则此时点的纵坐标为，横坐标为， 即第2025次变换后点的坐标是， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 6．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，位于处的光源A发出一束光，经过x轴的平面镜P点反射．恰好经过，求的值（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，勾股定理，作点A关于x轴的对称点，过点B作平行于y轴，过点作于点C，根据勾股定理求出，连接，证明点B，P，在一条直线上，进而可以解决问题． 解：如图，作点A关于x轴的对称点，过点B作平行y轴，过点作于点C， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 如图，连接，交x轴于点Q， 由轴对称的性质可知：， ∴，， ∵， ∴， ∵光源A发出一束光，经过x轴的平面镜P点反射， ∴， ∴点P，Q重合为一点，即点B，P，在一条直线上， ∴， 故选：A． 7．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，关键是根据全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等解答． 作轴于N，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 解：作轴于N，如图所示： 由等腰三角形的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 8．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）若点关于原点的对称点Q在第二象限，则符合条件的整数m有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是是解题的关键. 根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式即可. 解：关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数， ∴点Q的坐标为． 点Q在第二象限， ， ， 整数m为1或2，有2个． 故答案为：2. 10．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知点，将点P先向右平移5个单位，再向上平移6个单位得到点，若在第二象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面内点的坐标，能够根据平面内点的坐标特点得到不等关系，并正确求解不等式是解题的关键． 求出平移后点的坐标为，根据第二象限内点的坐标特点列出，即可求解． 解：∵将点P先向右平移5个单位，再向上平移6个单位得到点，且点为， ∴点为， ∴点为， ∵点在第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，已知，点为的中点，过点作轴，垂足为将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查坐标与图形变化—平移，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据等腰三角形和含的直角三角形的性质得点的坐标为，作轴于点，则，所以，所以，可知将是向右平移了2个单位长度，根据平移法则即可求出答案． 解：，，点为的中点， ，， ， ， ∵轴， ， ∴， 点的坐标为， 如图，作轴于点，则， ∴， ， ， 将是向右平移了2个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形与坐标，掌握等腰直角三角形的三边之比以及线段中点坐标公式，是解题的关键． 过点A作于D，然后求出的长，从而得到点A的坐标，再根据中点坐标公式，求出点C的坐标，然后利用中点坐标公式求出点O关于点C的对称点坐标，即可． 解：如图，过点A作于D， ∵， ∴， ∴点， ∵C是中点， ∴点C的坐标为， ∴点O关于点C的对称点的坐标是： 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙由同时出发，沿长方形的边作环绕运动，甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2024次相遇地点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，找出规律每相遇三次，甲乙回到出发点是解本题的关键，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，乙是甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 解：由题可知，，矩形周长为12， ∵乙是甲的速度的2倍，甲乙同时出发， ∴甲与乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇时，甲与乙运动的路程之和为，甲运动的路程为，乙运动的路程为，在边相遇，相遇点为； ②第二次相遇时，甲与乙运动的路程之和为，甲运动的路程为，乙运动的路程为，在边相遇，相遇点为； ③第三次相遇时，甲与乙运动的路程和为，甲运动的路程为，乙运动的路程为，在A点相遇，此时甲乙回到原出发点． 由此可知，甲乙每相遇三次，甲乙回到出发点， ∵， 故第2024次相遇地点的是， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、等边三角形的判定和性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点P的运动路程是a，则，然后分两种情况：当时，即点P在线段上时，当时，即点P在线段的延长线上时，即可求解． 解：∵、， ∴，， 设点P的运动路程是a， ∵点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ∴， 当时，即点P在线段上时，此时， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 当时，即点P在线段的延长线上时，此时， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为_____； （2）若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”； （3）若点是“完美点”，求的值． 【答案】（1）5；（2）见分析；（3）或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，理解“长距”和“完美点”的定义是解题的关键． （1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此求出点A到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求解即可； （2）求出点C到x轴和到y轴的距离，再根据“长距”的定义求出b的值，进而得到点D的坐标，再求出点D到x轴和到y轴的距离，最后根据“完美点”的证明即可； （3）求出点B到x轴和到y轴的距离，再根据根据“完美点”的定义建立方程求解即可． 解：（1）解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）证明：∵， ∴点C到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点的长距为4， ∴， ∵点在第二象限内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点D到轴、轴的距离相等 ∴点是“完美点”； （3）解：∵， ∴点B到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点是“完美点”， ∴， ∴或， ∴或． 16．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到三角形． （1）画出三角形，并写出，，的坐标； （2）已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_________； （3）求三角形的面积． 【答案】（1），，，图见分析；（2），0；（3） 【分析】本题考查作图一平移变换，熟练堂握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）由平移的性质可得，，进而可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 解：（1）解：如图，三角形即为所求， 由图可得：，，； （2）∵点的对应点的坐标为， ∴，， ∴，， 故答案为：，0； （3）三角形的面积为 ． 17．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）当时，请直接写出点坐标与； （2）连接，当时，求点坐标； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或；（3），或, 或, ． 【分析】此题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，分类讨论，解题的关键是根据点P的不同位置进行分类讨论． （1）根据点P运动的时间和速度相乘得到，求出，由此得到点P的坐标及的面积； （2）分两种情况讨论|：当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据面积分别求出点P的坐标； （3）分三种情况，分别求出的长以及的长，即可得出所有点P的坐标和t的值． 解：（1）解：∵， ∴， ∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动5秒， ∴， ∴，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 当点P在点C左侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 当点P在点C右侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图， 当时，     ∵，   ∴，， ∴，；   当时，   ∵ ,,，   ∴，   ∴，， ∴,；   当时，设，则，   ∴，解得，   ∴，   ∴ , ． 综上，，或, 或, ． 18．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知，则线段的中点的坐标是______； （2）若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标中点公式，二元一次方程组的应用，掌握坐标中点公式是解题关键． （1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）先根据中点坐标公式得出线段和的中点坐标，再根据中点中和列方程组求解即可． 解：（1）解：， 线段的中点的坐标是，即, 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ，解得：， 即点的坐标为； （3）解：点， 线段的中点坐标为，线段的中点坐标为， 线段的中点与线段的中点重合， ，解得： 点的坐标为． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 2．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 4．（2025·山东·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可. 解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 二、填空题 5．（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 直接运用平移规律“上加下减”即可解答． 解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 6．（2025·江苏·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可． 解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 7．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 根据点的平移规律即可求解． 解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即， 故答案为：． 8．（2025·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 解：根据题意可知，，，，，，，，，……，每4个点一循环， ∵， 点与，，等点的纵坐标相等且为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $