精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

兵团二中2025-2026学年第一学期九年级阶段测试（一） 数学试卷（问卷） （时间∶120分钟，满分∶150分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A. B. C. 且 D. 且 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里／天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 11. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员______去参赛，更有把握赢得比赛． 12. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为_____． 13. 根据乘联会（简称）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．年月新能源汽车国内月销量达到万辆，年前三个月新能源汽车国内总销量达到万辆．若设年月至月新能源汽车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为_____． 14. 如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为_________． 15. 如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共84分；解应写出必要的文字说明、过程或演步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 19. 宿豫区教育局在动员教师学习“党十九大”精神活动中，组织全区教师参加了“党的十九大知识竞赛”，赛后随机抽取了某校部分教师的成绩，按从低分到高分将成绩分成A，B，C，D，E五组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100（满分100分）．绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供信息解答下列问题： （1）D类所对应的圆心角是　 度，样本中成绩的中位数落在　 类中； （2）补全条形统计图； （3）若将D、E两组成绩定为优秀，全区参加本次“党的十九大知识竞赛”共有2000名教师，估计全区参加竞赛达到优秀的教师共有多少人？ 20. 原地正面掷实心球是某些城市的中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练． （1）第一次训练时，智能实心球回传水平距离与竖直高度的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直高度 1.8 2.3 2.6 2.7 26 2.3 1.8 1.1 则： 抛物线的顶点坐标是 ，顶点坐标的实际意义是 ． ②求y与x近似满足的函数关系式，并求出本次训练的成绩． （2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？ 21. 甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． （1）乙步行的速度为___________之间的路程为___________； （2）当时，求关于的函数表达式； （3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 22. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 23. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兵团二中2025-2026学年第一学期九年级阶段测试（一） 数学试卷（问卷） （时间∶120分钟，满分∶150分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行判断． 【详解】解：A：和指数不同，无法合并，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：C ． 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 5. 如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，外角定理等．根据题意可得，再利用角度计算即可得到本题答案． 详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键． 由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】∵   关于的一元二次方程有实数根， ∴   且，即且， 解得且， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数经过的象限判断的符号，再根据二次函数的性质进行判断即可求解． 【详解】解：A.由得对称轴为直线，与图象不符，故不符合题意； B.由的图象得，，抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限，与图象相符合，故符合题意； C.由的图象得，，抛物线的开口应向下，与图象不符，故不符合题意； D.由得对称轴为直线，与图象不符，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，掌握二者的性质解题的关键． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里／天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意，得． 故选：D． 9. 对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键． 已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解： 整理得 解不等式组得， ∵原不等式组有且只有一个整数解， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 11. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员______去参赛，更有把握赢得比赛． 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，首先比较平均数，选平均数最大的并且方差较小运动员的参赛即可． 【详解】解：由表中数据可知：乙的平均数最高，成绩最好；虽然丙的方差最小，但其平均数过低，而乙的方差也较小，发挥稳定；综合考虑，应推荐运动员乙去参赛 故答案为：乙． 12. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角相等和四边形的内角和的知识点，解题的关键是通过已知条件找到各角之间的角度关系，利用四边形的内角和为即可求解． 先利用垂直的定义和对顶角相等结合已知条件得出、的度数，再利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：，， ， （对顶角相等）， 在四边形中， ，， ， ， ， 则的度数为． 故答案为：． 13. 根据乘联会（简称）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．年月新能源汽车国内月销量达到万辆，年前三个月新能源汽车国内总销量达到万辆．若设年月至月新能源汽车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用月的销量月的销量（平均增长率 ），月的销量月的销量（平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设年月至月新能源车销量的月平均增长率为， 年月新能源汽车国内月销量达到万辆， 年月新能源汽车国内月销量达到万辆， 年月新能源汽车国内月销量达到万辆， 可列方程为： 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】当点M在线段上时，过点B作于点H，连接，在平行四边形中，，得出，从而得，勾股定理求出，根据垂直平分，得出，即可求出；当点M在直线上时，过点B作于点H，连接， 此时点M与点H重合，根据垂直平分，得出，即可求出； 【详解】解：如图，当点M在线段上时，过点B作于点H，连接， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； 如图，当点M在直线上时，过点B作于点H，连接， 在平行四边形中，， ∴， ∴，即此时点M与点H重合， ∵垂直平分， ∴， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是分类讨论，掌握以上知识点． 15. 如图1，在正方形中，，分别为边，上的动点，且．设，两点之间的距离为，的面积为，与的函数关系图象如图所示．已知点的横坐标为，则点的纵坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、动点问题的函数图象等内容，数形结合是解题的关键．结合图可知正方形边长为，然后根据识别半角模型，利用旋转，构造全等证明，，可得，当时，则，设，在中，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】解：由图可知，当时，， 此时点与重合，点与重合， ， 解得：， 如下图所示，在延长线上取一点，使， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 当时，则， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ，即， 点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共84分；解应写出必要的文字说明、过程或演步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的乘法公式， （1）、根据，再计算； （2）、根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最后把代入进行计算即可，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18. 如图，，平分，交于点E． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）猜想：四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接与这点即为的平分线，即可得到本题答案； （2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下： 【小问2详解】 解：猜想：四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 19. 宿豫区教育局在动员教师学习“党的十九大”精神活动中，组织全区教师参加了“党的十九大知识竞赛”，赛后随机抽取了某校部分教师的成绩，按从低分到高分将成绩分成A，B，C，D，E五组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100（满分100分）．绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： （1）D类所对应的圆心角是　 度，样本中成绩的中位数落在　 类中； （2）补全条形统计图； （3）若将D、E两组成绩定为优秀，全区参加本次“党的十九大知识竞赛”共有2000名教师，估计全区参加竞赛达到优秀的教师共有多少人？ 【答案】（1）72，C；（2）如图所示见解析；（3）全区参加竞赛达到优秀的教师约有520人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数及占比求出调查的总人数，再依次求出B,D类教师的人数，故可求出D类所对应的圆心角，再根据中位数的定义求解. （2）根据（1）所求即可补全统计图； （3）用全市人数乘以调查中优秀的教师的占比即可. 【详解】（1）∵抽取的教师总人数：30÷30%＝100人 ∴B类教师人数：100×40%＝40人 ∴D类教师人数：100﹣4﹣40﹣30﹣6＝20人 ∴D类所对应的圆心角为：360°×＝72° 样本样本中成绩的中位数落在C类中 故答案为72，C （2）如图： （3）2000×＝520人 答：全区参加竞赛达到优秀的教师约有520人． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数. 20. 原地正面掷实心球是某些城市的中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练． （1）第一次训练时，智能实心球回传水平距离与竖直高度的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直高度 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 1.8 1.1 则： 抛物线的顶点坐标是 ，顶点坐标的实际意义是 ． ②求y与x近似满足的函数关系式，并求出本次训练的成绩． （2）第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？ 【答案】（1），实心球抛出后在距抛出点水平距离为3米时到达的最大垂直高度为2.7米；y与x近似满足的函数关系式为，本次训练的成绩为 （2）第二次训练成绩与第一次相比有提高，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据表格中数据找到顶点坐标，再根据实心球的轨迹写出顶点的实际意义； ②设出抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可；再令，求出x即可； （2）令中的y＝0，解方程求出x的值与②中的x比较即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据可知，当和时，y的值相同， ∴ 是抛物线对称轴， ∴顶点坐标为， ∵顶点是抛物线的最高点， ∴顶点的实际意义为：实心球抛出后在距抛出点水平距离为3米时，到达的最大垂直高度为2.7米； 故答案为：，实心球抛出后在距抛出点水平距离为3米时，到达的最大垂直高度为2.7米； ②设抛物线的解析式为， 把代入解析式中得， 解得， ∴y与x近似满足的函数关系式为， 令，则， 解得 ，， ∴， ∴本次训练的成绩为 ； 【小问2详解】 令，则， 解得 或（舍去）， ∵， ∴第二次训练成绩与第一次相比有提高． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 21. 甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． （1）乙步行的速度为___________之间的路程为___________； （2）当时，求关于的函数表达式； （3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】（1）90，3960 （2） （3）当甲出发或时，两人之间的路程为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； 【小问2详解】 由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问3详解】 当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 22. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 【答案】（1）B生产线至少加工7小时；（2）a的值为2 【解析】 【分析】（1）设B生产线加工生产x小时，则A生产线加工生产（12-x）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题； （2）利用A、B生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时． ， 解得． 答：B生产线至少加工7小时． （2） 整理得，， 解得（不符合题意，舍去） ∴a的值为2 【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键． 23. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．仿照第一问的解答求解即可； （3）利用（1）的结论，求得，设，则，利用勾股定理列式计算即可； （4）先算，后两次运用（1）的结论，依次计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线，且，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵中，，是的平分线，且交于D， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， ∴； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴，，，， ∴，由（1）可得， ∴，， ∴， 同理可求：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $