专题 人教版“基本不等式”与沪教版“平均值不等式”的比较与题型 讲义-2026届高三数学一轮复习

【原卷版】 人教版“基本不等式”与沪教版“平均值不等式”的比较与题型 人教版“基本不等式”及其相关 在（人教版2019）普通高中教科书《数学》必修第一册中；“第二章 一元二次函数、 方程和不等式”的2.2节是：“2.2 基本不等式”；导引中提到：我们知道，乘法公式在代数式的运算中 有重要作用． 那么，是否也有一些不等式 ，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题； 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有；当且仅当a＝b时，等号成立； 特别地，如果，我们用如果分别代替上式，，可得 （1） 当且仅当a＝b时，等号成立； 通常称不等式（1）为“基本不等式”，其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数； 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数； 从中可以看到，（人教版2019）普通高中教科书《数学》必修第一册中的“基本不等式”，与传统的基本不等式的概念完全相同； 一、基本不等式及其相关概念与定理 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、基本不等式 基本不等式：如果，则（1）当且仅当a＝b时，等号成立； 二、基本不等式的证明方法种种 基本不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 证法1（比较法） 证法2（分析法） 证法3（综合法） 证法4（几何法1） 三、人教版教材通过习题与复习题对平均值不等式的及时巩固与拓展 1、（人教版教材P45 探究）在图2. 2-1中，是圆的直径，点是上一点， ，过点作垂直于的弦，连接，； 你能利用这个图形；得出基本不等式的几何解释吗？ 2、（人教版教材P45 练习1）已知，求证：； 3、（人教版教材P45 练习2）已知x，y都是正数，且，求证 （1）；（2）； 4、（人教版教材P48 推广探索）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ 沪教版“基本不等式”及其相关 在（沪教版2020）普通高中教科书《数学》必修第一册中；“第2章 等式与不等式”的2.3节是：“2.3 基本不等式及其应用”；导引中提到：在本章前两节中，我们学习了一些不等式的性质、求解和证明；在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式； 从中可以看到，（沪教版2020）普通高中教科书《数学》必修第一册中的“基本不等式”，与传统的基本不等式的概念略有不同；其中，“平均值不等式”是沪教版2020教材“基本不等式”中的一种； 一、平均值不等式及其相关概念与定理 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是正实数，而后者对于任意的实数a、b，即可； （2）两个不等式与都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 二、平均值不等式的证明方法种种 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 证法1（比较法） 证法2（分析法） 证法3（综合法） 证法4（几何法1） 三、沪教版教材通过习题与复习题对平均值不等式的及时巩固与拓展 1、（沪教版教材P57 第12题）如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b． （1）求斜边上的高AD与中线AE的长； （2）用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系； 2、（沪教版教材P57 第13题）如图，已知直角梯形ABCD的顶点、位于x轴上，顶点落在函数的图象上，分别为线段的中点，O为坐标原点，Q为线段与线段的交点； （1）求中点的坐标，以及线段的长度； （2）用不等式表示长度的大小关系. 3、（沪教版教材P58 拓展与思考 第3题）已知实数，求证：； 基本（平均值）不等式的种种变式 ①对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； ②对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； ③对于任意的实数，有（，当且仅当时取等号）； 有（，当且仅当时取等号）； ④对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通了两数和与两数平方和的不等关系式； ⑤对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通两数积与两数和的不等关系式 ⑥对于任意的实数、，，且等号当且仅当时成立； 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数； 基本（平均值）不等式的应用 题型1 对利用平均值不等式的理解与变式 例1、（1）若，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． （2）已知命题，命题，则是成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 利用平均值不等式求积的最大值 例2、（1）若，则的最大值为 ． （2）已知，且，求：的最大值； 题型3利用平均值不等式求和的最小值 例3、（1）函数的最小值为 （2）已知，的最小值为 题型4 利用平均值不等式与配凑法求最值 例4、（1）已知，则的最小值为 （2）已知（），则的最大值为________ 题型5 利用平均值不等式乘1代换法求最值 例5、（1）已知正数满足，则的最小值为________，此时________ （2）若正数满足，则的最小值是 题型6 利用平均值不等式与消元法求最值 例6、（1）若，，且，则的最小值为 （2）已知，则的最小值为 题型7 利用平均值不等式与换元法求最值 例7、（1）已知，，且，则的最小值为 A．4 B．8 C．16 D．32 （2）已知实数满足，则的取值范围是 题型8 两次（多次）利用平均值不等式求最值 例8、（1）已知，，则的最小值是 （2）若，，，则的最小值为 . 题型9 利用平均值不等式解答恒成立问题 例9、（1）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． （2）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 题型10 利用平均值不等式求参数的范围 例10、（1）已知，，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围； （2）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型11 利用平均值不等式证明 例11、（1）已知都是正数，求证： （2）已知均为正实数，求证：； 题型12 利用平均值不等式解决实际应用问题 例12、（1）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是　　 A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 （2）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是　　． A．289 B．104 C．162 D．138 题型13 平均值不等式与三角不等式的交汇 例13、已知，且，则的最小值是________ 题型14 平均值不等式与复数的交汇 例14、已知复数，，且，若是纯虚数，则的最小值是（ ） A．9 B．4 C．1 D． 题型15 平均值不等式与向量的交汇 例15、已知△中，过中点的直线分别与直线，交于点，，且， ，则的最小值为　　 A．9 B． C．7 D． 题型16 平均值不等式与向量的交汇 例16、已知函数，正实数，满足，则的最小值 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 及时巩固练一练 1、已知，则的最小值为 . 2、若，则函数的最大值是 . 3、若，且，则的最小值为 ． 4、设，： （1），则xy的最大值为 ． （2），则的最小值为 ． 5、下列说法中： ①若，满足，则的最大值为； ②若，则函数的最小值为 ③若，满足，则的最小值为 ④函数的最小值为 正确的有 ．（把你认为正确的序号全部写上） 6、下列结论中，正确的结论有 （填序号）. ①若，则的最大值为 ②当时，函数的最大值为1 ③若正数满足，则的最小值为 ④若为不相等的正实数，满足，则 7、若，，把，，中最大与最小者分别记为和，则（     ） A．， B．， C．， D．， 8、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（     ） A．16 B．25 C．36 D．49 9、已知，，且； （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 10、利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 【解析版】 人教版“基本不等式”与沪教版“平均值不等式”的比较与题型 人教版“基本不等式”及其相关 在（人教版2019）普通高中教科书《数学》必修第一册中；“第二章 一元二次函数、 方程和不等式”的2.2节是：“2.2 基本不等式”；导引中提到：我们知道，乘法公式在代数式的运算中 有重要作用． 那么，是否也有一些不等式 ，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题； 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有；当且仅当a＝b时，等号成立； 特别地，如果，我们用如果分别代替上式，，可得 （1） 当且仅当a＝b时，等号成立； 通常称不等式（1）为“基本不等式”，其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数； 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数； 从中可以看到，（人教版2019）普通高中教科书《数学》必修第一册中的“基本不等式”，与传统的基本不等式的概念完全相同； 一、基本不等式及其相关概念与定理 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、基本不等式 基本不等式：如果，则（1）当且仅当a＝b时，等号成立； 二、基本不等式的证明方法种种 基本不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 证法1（比较法） 由， （当且仅当，即时，取“”）； 证法2（分析法） 要证，只要证，只要证，只要证； 因为最后一个不等式成立，所以成立，（当且仅当，即时，取“”）； 证法3（综合法） 对于正数、，由； （当且仅当，即时，取“”）； 证法4（几何法1） 如图，以为直径作圆，在直径上取一点，使，，过作弦， 则，从而，而半径，当且仅当时，取“”）； 时，取“”． 取“”的含义： 一方面是当时取等号，即； 另一方面是仅当时取等号，即． 几何法直观利用了“圆的半径不小于半弦”； 三、人教版教材通过习题与复习题对平均值不等式的及时巩固与拓展 1、（人教版教材P45 探究）在图2. 2-1中，是圆的直径，点是上一点， ，过点作垂直于的弦，连接，； 你能利用这个图形；得出基本不等式的几何解释吗？ 【解析】由图可知，，因而， 由小于或等于圆的半径，用不等式表示位， 当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式等号成立， 基本不等式的几何解释：圆的半径不小于圆的半弦； 2、（人教版教材P45 练习1）已知，求证：； 【证明】由，得，即，则； 当且仅当a＝b时，等号成立； （沟通两积与两平方和的不等关系式） 3、（人教版教材P45 练习2）已知x，y都是正数，且，求证 （1）；（2）； 【提示】（1）由基本不等式证明即可；（2）利用基本不等式结合不等式的性质证明即可； 【证明】（1）证明：因为x，y都是正数，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 由于，所以 （2）因为x，y都是正数，且，所以， 又，所以， 即； 【说明】本题是由基本不等式证明不等关系； 4、（人教版教材P48 推广探索）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ 【提示】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【答案】大于，理由见解析 【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于； 【说明】基本（均值）不等式的应用；本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题； 沪教版“基本不等式”及其相关 在（沪教版2020）普通高中教科书《数学》必修第一册中；“第2章 等式与不等式”的2.3节是：“2.3 基本不等式及其应用”；导引中提到：在本章前两节中，我们学习了一些不等式的性质、求解和证明；在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式； 从中可以看到，（沪教版2020）普通高中教科书《数学》必修第一册中的“基本不等式”，与传统的基本不等式的概念略有不同；其中，“平均值不等式”是沪教版2020教材“基本不等式”中的一种； 一、平均值不等式及其相关概念与定理 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是正实数，而后者对于任意的实数a、b，即可； （2）两个不等式与都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 二、平均值不等式的证明方法种种 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 证法1（比较法） 由， （当且仅当，即时，取“”）； 证法2（分析法） 要证，只要证，只要证，只要证； 因为最后一个不等式成立，所以成立，（当且仅当，即时，取“”）； 证法3（综合法） 对于正数、，由； （当且仅当，即时，取“”）； 证法4（几何法1） 如图，以为直径作圆，在直径上取一点，使，，过作弦， 则，从而，而半径，当且仅当时，取“”）； 时，取“”． 取“”的含义： 一方面是当时取等号，即； 另一方面是仅当时取等号，即． 几何法直观利用了“圆的半径不小于半弦”； 三、沪教版教材通过习题与复习题对平均值不等式的及时巩固与拓展 1、（沪教版教材P57 第12题）如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b． （1）求斜边上的高AD与中线AE的长； （2）用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系； 【提示】（1）根据可得答案；（2）理由基本不等式可得答案； 【答案】（1）；；（2）； 【解析】（1）因为，， 所以，，， 可得，， 所以，； ； （2）因为，所以， 当且仅当时等号成立， 即， 【说明】本题用几何图形中的计算方法，证明了平均值不等式；并用证明了平均值“比较线段的大小”；完美地诠释了“数形结合思想”； 2、（沪教版教材P57 第13题）如图，已知直角梯形ABCD的顶点、位于x轴上，顶点落在函数的图象上，分别为线段的中点，O为坐标原点，Q为线段与线段的交点； （1）求中点的坐标，以及线段的长度； （2）用不等式表示长度的大小关系. 【提示】（1）根据题意依次得到的坐标，进而得到，再利用平行线分线段成比例求得，从而得解；（2）结合图形得到，从而得解； 【答案】（1），；（2）； 【解析】（1）因为、，是的中点，则， 又轴，轴，顶点落在函数的图象上，所以， 又是的中点，则，， 因为，所以，又，， 故， 所以，； （2）结合图象可知，可得； 3、（沪教版教材P58 拓展与思考 第3题）已知实数，求证：； 【提示】根据已知条件及不等式的性质证明即可； 【解析】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 综上，； 【说明】本题通过由不等式的性质证明不等式，以此拓展平均值不等式及其给出变式； 基本（平均值）不等式的种种变式 ①对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； ②对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； 对于任意的实数，有，且等号当且仅当时成立； ③对于任意的实数，有（，当且仅当时取等号）； 有（，当且仅当时取等号）； ④对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通了两数和与两数平方和的不等关系式； ⑤对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【说明】沟通两数积与两数和的不等关系式 ⑥对于任意的实数、，，且等号当且仅当时成立； 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数； 基本（平均值）不等式的应用 题型1 对利用平均值不等式的理解与变式 例1、（1）若，且，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【提示】举反例，可判断错误，利用基本不等式可判断正确． 【答案】； 【解析】解：对于，若，，则，故错误， 对于，若，，则，故错误， 对于，因为，，所以， ，，又， 所以，，故正确， 对于，若，，则，故错误， 故选：． （2）已知命题，命题，则是成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】命题，可解决此题； 【答案】； 【解答】命题，对任意、都成立， 所以，是成立的充分不必要条件； 故选：； 【说明】本题组主要考查对平均值不等式特征的理解与变式过程、形式；对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式成立的前提条件为正数、；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． 题型2 利用平均值不等式求积的最大值 例2、（1）若，则的最大值为 ． 【提示】直接由条件结合基本不等式求的最大值即可； 【答案】； 【解析】因为，所以，， 当且仅当且，即时，取等号，所以的最大值为，故答案为：； （2）已知，且，求：的最大值； 【提示】由条件结合基本不等式求的最大值即可； 【答案】； 【解析】因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以当时，取最大值，最大值为； 【说明】本题是直接利用基本不等式求最值：已知、，都是正数，如果和等于定值，那么当时，积有最大值； 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”； 题型3利用平均值不等式求和的最小值 例3、（1）函数的最小值为 【答案】6； 【解析】， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为6， 故答案为：6； （2）已知，的最小值为 【答案】12 【解析】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12； 【说明】本题是直接利用基本不等式求最值：已知、，都是正数，如果积等于定值，那么当时，和有最小值； 注意：（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积为常数的形式，然后再利用基本不等式； 题型4 利用平均值不等式与配凑法求最值 例4、（1）已知，则的最小值为 【提示】根据给定条件，“配凑”出“积”为常数，再利用基本不等式求出最小值； 【答案】3； 【解答】因为， ， 当且仅当，即时取等号； （2）已知（），则的最大值为________ 【提示】注意已知和为常数，并根据指数运算，创设出； 【答案】0； 【解析】由题意可知，所以，，即， 等号当且仅，即时可以取到，所以最大值为0； 【说明】配凑法的实质是代数式的灵活变形，即：将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，然后利用平均值不等式求解最值的方法。注意验证取得“=”成立条件； 题型5 利用平均值不等式乘1代换法求最值 例5、（1）已知正数满足，则的最小值为________，此时________ 【答案】3；； 【解析】方法1：因为，， 所以，，当且仅当时取最小值，此时； 方法2：因为，，则， 所以，，当且仅当，即时等号成立； （2）若正数满足，则的最小值是 【答案】5 【解析】由，，则，当且仅当，即时，等号成立。 【说明】“1” 的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件， 即和或积为定值的形式，凑的过程中要特别注意等价变换；对于形如“已知x＋y＝t（t为常数），求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值； 题型6 利用平均值不等式与消元法求最值 例6、（1）若，，且，则的最小值为 【提示】由题意可得关于的表达式，由基本不等式可得的最小值； 【答案】； 【解析】因为，，且，可得，可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）已知，则的最小值为 【提示】利用消元的思想，将待求表达式化成关于的式子后求解； 【答案】； 【解析】由可得，，即， 于是， 当，即时取得等号， 即，时，的最小值为； 【说明】消元法就是对不等式中的两元问题，用一个变量表示另一个变量，再利用平均值不等式进行求解。解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可； 题型7 利用平均值不等式与换元法求最值 例7、（1）已知，，且，则的最小值为 A．4 B．8 C．16 D．32 【提示】根据平均值不等式，减少变量，然后通过解不等式求解即可； 【答案】16； 【解析】由题意可知，即． 令，则，解得或（舍； 即，，当且仅当时，等号成立； （2）已知实数满足，则的取值范围是 【答案】； 【解析】令，其中 则原式化为：已知，求的取值范围。 再设，其中， 则，其中， 所以，即， 所以，的取值范围是； 【说明】利用平均值不等式与换元法求最值，关键是借助平均值不等式减少变量与注意等价变换，然后，等价通过解不等式或求值域、范围解之； 题型8 两次（多次）利用平均值不等式求最值 例8、（1）已知，，则的最小值是 【答案】； 【解析】由，，则，当且仅当，即时等号成立， 又，当且仅当，即，则时等号成立， 所以，时等号成立； （2）若，，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由 ， 前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是， 两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号； 【说明】依据平均值不等式求最值，当且仅当注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可；多次运用平均值不等式求最值，更要保证“=”成立同时成立； 题型9 利用平均值不等式解答恒成立问题 例9、（1）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【提示】由已知结合平均值不等式可求的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化及二次函数性质即可求解； 【答案】； 【解析】因为正数，满足， 所以，当且仅当时取等号， 若不等式对任意实数恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值4，故； 故选：； （2）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 【提示】利用乘“1”法及平均值不等式求出的最小值，即可得解； 【答案】； 【解析】因为，，且，所以， 所以， 当且仅当且，即，时取等号，又恒成立，所以． 故答案为：； 【说明】利用平均值不等式解答恒成立问题，关键是平均值不等与恒成立问题的交汇； 存在x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；存在x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a； 题型10 利用平均值不等式求参数的范围 例10、（1）已知，，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围； 【答案】 【解析】根据题意，令，再由，，且， 所以，，整理得， 所以，，解得； 等号当且仅当，即，结合，解得，即，； （2）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】根据   ，当且仅当时，取等号，化简可得， 因为，所以，，所以运用， 可得，当且仅当，即时，取等号， 又因为恒成立，所以，即k的最大值是4； 【说明】利用平均值不等式求参数的值或取值范围的方法：（1）根据平均值不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围；（2）转化为求最值问题，利用平均值不等式求解； 题型11 利用平均值不等式证明 例11、（1）已知都是正数，求证： 【解析】因为，都是正数， 所以，（当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号）； 所以，（当且仅当时取等号）， 即； （2）已知均为正实数，求证：； 【证明】因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）； 题型12 利用平均值不等式解决实际应用问题 例12、（1）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是　　 A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【提示】设池底的长为，宽为，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值； 【答案】； 【解析】设池底的长为，宽为， 则，即， 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是， 当且仅当，即时，等号成立， 所以贮水池的最低总造价是198400元． 故选：． （2）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是　　． A．289 B．104 C．162 D．138 【提示】设出矩形菜园的靠墙的一边长为，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表达式，法利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法由二次函数的性质可得函数的最大值； 【答案】； 【解析】设矩形菜园的靠墙的一边长为，， 因为篱笆的长为，则宽为， 法所以矩形菜园的面积为：， 当且仅当，即时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是． 法，， 开口向下，对称轴，而， 所以时，则， 即矩形的面积的最大值为， 故选：； 【说明】利用平均值不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用平均值不等式求得函数的最值，在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解； 题型13 平均值不等式与三角不等式的交汇 例13、已知，且，则的最小值是________ 【答案】1 【解析】因为，，。 则， 当且仅当与同号且，即，时等号成立； 【说明】本题是先借助三角不等式创设平均值不等式的结构，然后利用平均值不等式求得最值； 题型14 平均值不等式与复数的交汇 例14、已知复数，，且，若是纯虚数，则的最小值是（ ） A．9 B．4 C．1 D． 【提示】结合复数的基本运算及概念先求出，的关系，然后结合基本不等式即可求解； 【答案】； 【解析】解：因为复数，，且， 若是纯虚数， 则， ， 当且仅当，即，时取等号． 故选：； 【说明】本题是先借助复数指数创设平均值不等式的结构，然后利用平均值不等式求得最值； 题型15 平均值不等式与向量的交汇 例15、已知△中，过中点的直线分别与直线，交于点，，且， ，则的最小值为　　 A．9 B． C．7 D． 【提示】结合向量的线性运算求出，然后结合基本不等式即可求解； 【答案】； 【解析】解：因为为的中点，且，， 则， 所以，即， 则， 当且仅当，即，时取等号； 故选：； 题型16 平均值不等式与向量的交汇 例16、已知函数，正实数，满足，则的最小值 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【提示】结合函数的对称性可得，然后结合基本不等式即可求解； 【答案】； 【解析】因为数， 所以 ， 所以关于对称， 正实数，满足， 则，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：； 及时巩固练一练 1、已知，则的最小值为 . 【提示】由可得，将变形成，利用基本不等式即可求出其最小值为； 【答案】6； 【解析】因为，所以， 所以； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. 2、若，则函数的最大值是 . 【提示】因为，所以，由基本不等式可知，即可求得结果； 【答案】； 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即当时，的最大值为； 3、若，且，则的最小值为 ． 【提示】利用基本不等式中“1”的妙用，可得，即可得的最小值为9； 【答案】9 【解析】（1）因为，所以， 所以； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即当时，的最大值为； （3）因为，且, 所以， 当且仅当，即时取等号；所以的最小值为. 故答案为：①6；②；③9. 4、设，： （1），则xy的最大值为 ． （2），则的最小值为 ． 【提示】（1）即得解； （2）化简，再利用基本不等式求解. 【答案】81； 9. 【解析】（1）， 当且仅当时等号成立. 所以xy的最大值为81. （2）. 当且仅当时等号成立. 所以函数的最小值为9. 故答案为：81；9. 5、下列说法中： ①若，满足，则的最大值为； ②若，则函数的最小值为 ③若，满足，则的最小值为 ④函数的最小值为 正确的有 ．（把你认为正确的序号全部写上） 【提示】①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误； ②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误； ③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误； ④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值，进而判断出该命题的正误． 【答案】③④ 【解析】①由得，则，则， 设，则，则，则上减函数，则上为增函数， 则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误； ②若，则函数， 则， 即函数的最大值为，无最小值，故错误； ③若，满足，则，则， 由，得， 则 ， 当且仅当，即得，即时取等号， 即的最小值为，故③正确； ④ ， 当且仅当，即，即时，取等号， 即函数的最小值为，故④正确，故答案为③④． 6、下列结论中，正确的结论有 （填序号）. ①若，则的最大值为 ②当时，函数的最大值为1 ③若正数满足，则的最小值为 ④若为不相等的正实数，满足，则 【提示】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得，再利用基本不等式计算即可得；对③：由可得，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由可得，再通分后借助基本不等式计算即可得. 【答案】③④ 【解析】对①：由，则， 故 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为，故①错误； 对②：， 当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为，故②错误； 对③：由，故，又为正数， 故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故③正确； 对④：若为不相等的正实数，满足，则 由，则，又为不相等的正实数，故， 则， 当且仅当，或，时，等号成立，故④正确. 故答案为：③④. 7、若，，把，，中最大与最小者分别记为和，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【提示】取特殊值，，代入验证即可得出结果. 【答案】A 【解析】因为，，所以取，， 可以验证最大者为，其次为，最小者为. 故选：A 8、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（     ） A．16 B．25 C．36 D．49 【提示】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答； 【答案】B； 【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 9、已知，，且； （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 【提示】（1）由条件利用基本不等式即可求得，可得答案； （2）将变形为,利用基本不等式即可求得答案； 【答案】（1）1；（2）； 【解析】（1）因为，，所以， 当且仅当x=4y且即x=2，时取等号， 解得， 故xy的最大值为1． （2）因为，．且, 所以， 当且仅当且, 即，时取等号． 所以的最小值为． 10、利用基本不等式求下列式子的最值： （1）若，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值； （3）若，求的最大值. 【提示】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【答案】（1）4；（2）；（3）； 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 1 谢立竿；中学高级教师；电话：13801742225；微信号：sh_xlg 第15页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $