第七讲 基本不等式知识总结与题型归纳讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第七讲 基本不等式知识总结与题型归纳 知识再现 1、基本不等式 若，则，当且仅当时取等号；为重要不等式， 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、和为定值积最大，积为定值和最小 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一：基本不等式及其应用 例1.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 解析：设，可得圆的半径为， 又由， 在直角中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D. 例2.下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 例3.（多选）给出下列命题中，其中为真命题的是（    ） A.已知，则成立； B.已知且，则成立； C.已知，则的最小值为2； D.已知，，则成立． 解析：当时，A中的不等式是错误的，A错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以B中的基本不等式计算是正确的，B对； （当时，无解，等号不成立），故C错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以D中的基本不等式运算是正确的，D对．故选: BD． 变式训练 1.（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ） A． B． C． D． 解析：对A：因为，，且，所以，A错误； 对B：因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对C：因为，当且仅当， 即时等号成立，但，所以，故选项C正确； 对D：因为，，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，故选项D错误.故选：BC. 2.（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 解析：对A，当时，，故A错误； 对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，由，故， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故D正确.故选：BD 3.（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解析：当时，，故A错误； 当时，，则，故B错误； 当，时，，， 相加可得，故C正确；当，时，，故D正确. 故选：CD. 题型二：直接法求最值 例4.已知，那么的最小值是( ) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：根据题意，，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4；故选：C. 例5.已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 解析：∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，化简可得 2， ∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最小值是8，故选：B． 例6.若实数a，b满足，则ab的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 解析：∵，，∴，即，当且仅当时等号成立， ∴．故选：D． 变式训练 1.若，，，则的取值范围是（ ） A．， B． C．， D． 解析：因为，所以， 即，当且仅当，即时取“”， 所以的取值范围是，.故选：A. 2.已知，且，则的最大值为（    ） A．2 B．5 C． D． 解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 3.已知，则的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 解析：因为，可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是.故选：B. 题型三：常规凑配法求最值 例7.函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D. 例8.设，为正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：由得， ， 当且仅当，即时取等号，故选：D. 例9.当时，则的最大值为( ) A． B． C． D． 解析：∵，，， 当，即时等号成立，∴，即最大值为，故选：D. 例10.若，则函数的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 变式训练 1．设，则函数的最大值为( ) A．2 B． C． D． 解析：，， ，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D 2．已知，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 解析：， 若，则，时等号成立； 若，则，时等号成立 ∴的取值范围为，故选：A. 3．若，都是正数，且，则的最大值为 。 解析：由题意，可知： ，当且仅当即时取等号； 题型四：消参法求最值 例11.若正实数，满足，则的最大值为______． 解析：因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+，当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 例12.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（       ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 解析：因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D. 例13.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 解析：因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为.故选：A. 变式训练 1.设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D. 2.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 解析：由，且，可得.所以. 又因为， 当且仅当，即时取等号，所以. 故选：B. 3.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（       ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 解析：因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D. 题型五：换元法求最值 例14.已知，，，则取到最小值为 ________． 解析：令，∴， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 即的最小值是． 例15.若，且，则的最小值为_________ 【答案】 解析：令，则， 则，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：. 变式训练 1.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解析：令，则， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故， 故选：B. 题型六：“1”的代换求最值 例16.若正数满足，则的最小值是（       ） A． B． C．5 D．6 解析：，当且仅当时等号成立，∴的最小值是5.故选：C 例17.若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 解析：因为，所以，∴ ，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D. 例18.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：因为不等式恒成立，则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故， 所以，即，解得，则实数的取值范围是． 故选：B． 变式训练 1.已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 解：由可知， ，当，即时，“”成立，故选：A. 2.已知正数x，y满足，则的最小值（    ） A． B． C． D． 解析:令，，则，即， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立，故选：A. 3.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为两个正实数满足，所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或，即实数的取值范围是，故选：C 题型七：利用基本不等式证明不等式 例19.已知a，b，c均为正实数. （1）求证：. （2）若，求证：. 解析：（1）∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 三式相加得， 当且仅当时，等号成立，∴. （2）. ∵，，，∴（当且仅当时，等号成立），即.所以，即证. 例20.设a，b，c均为正数，且，证明： （1）； （2）． 解析：（1）因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 即，当且仅当时，等号成立. （2）因为, 所以，当且仅当时，等号成立， 即，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 变式训练 1.设a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)． 解析：（1）因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 即，当且仅当时，等号成立. （2）因为, 所以，当且仅当时，等号成立， 即，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 题型八：基本不等式与其他知识综合 例21.已知点在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．4 解析：∵点在直线上，∴， 所以当且仅当时，等号成立故选：C. 例22.下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 例23.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 解析：由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 例24.记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 解析：∵， 又∵，∴，当且仅当时，取“=” ∴的最大值为25.故选：C 例25.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最大值为___________. 解：函数（且）的图象恒过定点A，， 点A在直线上，， 又，，， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为， 故答案为：. 例26.在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为 ；的最小值为 . 解析：如图所示， 由得，即， 又， 所以，又为上的一点，所以， 因为，，所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：；. 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第七讲基本不等式知识总结与题型归纳 知识再现 1、基本不等式 若a,b∈R,则a2+b2≥2ab，,当且仅当a=b时取等号；a2+b2≥2ab为重要不等式， 如果a>0,b>0,那么ab≤，当且仅当a=b时，等芳成立，其中，千O叫作Q,五 2 算术平均数，√ab叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平 均数. 几个重要的不等式 (1)a2≥0(aeR),va≥0(a≥0)，a≥0(a∈R (2)基本不等式：如果a,b∈R*,则a+≥Vab(当且仅当“a=b”时取“=). 2 特例：a>0,a+≥29+2≥2(ab同号). 1 b a (3)其他变形： ①a2+b≥a+b (沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式) ②ahsa2+b2 (沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式) 2 ③ab≤ a+b (沟通两积ab与两和a+b的不等关系式) 2 ④重要不等式串： 17≤Vab s a+-b 2 a2+b2 V 2 (a,b∈R*）即 21 ab 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）. 2、和为定值积最大，积为定值和最小 已知x,y∈R+. (1)如果x+y=S(定值)，则y≤ x+y)2 S2 2 4 (当且仅当“x=y”时取“=”).即“和 为定值，积有最大值” (2)如果y=P(定值)，则x+y≥2Vxy=2WP（当且仅当“x=y”时取“=”).即积为 定值，和有最小值” 3、常见求最值模型 第1页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 模型-：mx+”≥2Vmm(m>0,n>0),当且仅当x=、 卫时等号成立； a=m(x-a)+n n 模型二：mx+一 +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0),当且仅当x-a= 时 x-a x-a m 等号成立， 1 模型三： 5,1a>0,c>0),当且仅当x ax+bx+c ax+b+c 2vac+b Va 时等号成立； nx）=nxm-m0<.(T)2=m>0,n>0,0<x<), m 2 品时等号成立 题型一：基本不等式及其应用 例1.现有如图所示图形，，点F在半圆0上，点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC=a, BC=b,则该图形可以完成的无字证明为() 分 B A. a+b2√ab(a>0,b>0) B.a2+b222ab(ax0,b>0) C. 2ab≤√ab(a>0,b>0) D.a+b、a2+ 2≤2 -(a>0,b>0) a+b 例2.下列不等式恒成立的是() A.x+≥2 B.a+b≥2ab C a+b2、a2+b2 2 2 D.a2+b2≥2ab 例3.（多选)给出下列命题中，其中为真命题的是() 第2页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 、,b.0=2成立 A.已知a,beR,则2+9≥2，B. a b Va b B,已知reR且x0,则x+4Hx+42x1=4成立 4 C.已知xeR,则Vx2+2+ 1 的最小值为2； Vx2+2 D.已知abeR,ab<0,则2+-（+s-2(（学=-2成立 a b a b 变式训练 1.(多选)已知a>0,b>0,给出下列四个不等式，其中正确的不等式有() a+b A.a+bz 2 Ro+日4C1D.2路画 a+1 a+b 2.(多选)下列各不等式，其中正确的是(） A.a2+1>2aa∈R) R2e风40 c.治2o0 1 D.x2+ x2+1 ≥1x∈R) 3.(多选)下列结论中正确的是() A.若a,b∈R,则+≥2 a b B.若x<0,则x+4-244 C.若a>0,b>0,则 baza+b D.若a>0,b>0,则a+b≥2Vab a b 题型二：直接法求最值 4 例4.已知a>0,那么a+-的最小值是() a 第3页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 A.1 B.2 C.4 D.5 例5.已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则ab的最小值是（） A.4 B.8 C.16 D.32 例6.若实数a,b满足a+b=1,则ab的最大值为() c. 1 A.2 B.1 D.4 变式训练 1.若x,y∈R,2+2'=1,则x+y的取值范围是() A.(-0,-2] B.(0,1) C.(-0,0] D.(1,+0) 2.已知a>0,b>0且2a+5b=10,则ab的最大值为() A.2 B.5 C.2 3 D. 3.已知x>0,则y=x+二+1的最小值是() A.2 B.3 C.4 D.6 第4页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 题型三：常规凑配法求最值 例7函数y=3x+1 (x>)的最小值是() -1 A.4 B.2√3-3 C.25 D.2√5+3 例8设m，万为正数，且m+n=2,则】十 的最小值为() m+1n+2 A. C.4 7 D. 又 例9.当0<x<4时，则y=x(8-2x)的最大值为() A.2 B.4 c.E D.& 创10.若>1，则函数y=-+1的最小值为 x-1 第5页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 变式训练 1.设0<x<2,则函数y=√x(4-2x)的最大值为() A.2 B.② C.5 D.2 2 之已加y=+2则少的取位范网) A.(-00,-6]U[2,+00)B.(-0,-4]U[4,+0)C.(-00,-2]U[2,+0)D.[2,+0) 3.若a,b都是正数，且a+b=2,则a+1)b+1)的最大值为。 题型四：消参法求最值 例11若正实致Q,b清足+30=2ab,则的最大值为— 第6页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例12.已知a>0,且了-b+4=0,则20+36 () a+b A.有最大值6 B.有最大值4 C有莱小值名 D.有最小值 4 5 例13.已知实数x,y满足x>3,且y+2x-3y=12,则x+y的最小值为() A.1+2W6 B.8 C.62 D.1+25 变式训练 1,设正实数x、y、z满足r2-y+y2-2=0,则y的最大值为() A.4 B.2 C.3 D.1 第7页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 11 2.已知正实数x,y满足-+-=1，则4xy-3x的最小值为（） x y A.8 B.9 C.10 D.11 3已知a>0,且2-b+4=0,则20+36 () a+b A.有最大 7 6 B有充大值号 C.有最小值6 D.有最小值 5 题型五：换元法求最值 例14已知a>0,>0,a-20=1,则3加6g6取到装小值为 第8页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 倒15若xyeR,且x+2y=1,则+2y +1y*2的最小值为 变式训练 L时件意正我，不子式十包点金，园表致生的取位范阴是《 目[5cL.+w)n[6 题型六：“1”的代换求最值 31 例16.若正数xy满足二+二=5，则3x+4y的最小值是(） x y B.28 C.5 D.6 5 第9页共15页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例17.若1≤a≤3，则上+1的最小值为() 'a 4-a A.4 B.3 C.2 D.1 例18.已知x>0,y>0,且x+3y-y=0,若x+3y>m2+m恒成立，则实数m的取值范 围为（) A.-0,-3J[4,+0）B.(-4,3) C.（-3,4) D.(-0,-41U[3,+0） 变式训练 心加B,g为压安数里pg=,州2中2g的是小维为() 1 A. 7 C.4 D.9 第10页共15页