精品解析：广东省 清远市清城区平安学校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题

数学九年级上学期12月练习题 （满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（） A. 8cm B. 16cm C. 32cm D. cm 3. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 4. 如图，已知，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( ) A. 72(1－x)2＝96 B. 72(1＋x)2＝96 C. 96(1－x)2＝72 D. 96(1＋x)2＝72 7. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数为（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 6个 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 方程的解为______． 12. 矩形中，对角线相交于点，，则 ________． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则______． 14. 如图，是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是_______cm3. 15. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____． 三、解答题（一）（每题7分，共28分） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若是原方程的一个根，求此时它的另一个根． 17. 如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC． 18. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． （1）求证：≌； （2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 19. 为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： （1）这次参与调查的村民人数为 人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率． 四、解答题（二）（每题9分，共18分） 20. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则售价应定为多少？这时应进货多少个？ 21. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 五、解答题（三）（第22小题12分，第23小题12分，共24分） 22. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学九年级上学期12月练习题 （满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个正六边形，中间有一个圆且无圆心， 故选：B． 2. 已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（） A. 8cm B. 16cm C. 32cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可． 【详解】解：如图所示： 四边形ABCD是边长为4cm的正方形， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC==4cm． 所以对角线的长：AC=4cm． 故选D． 3. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 这个函数的图象位于第一、第三象限 B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】∵在函数中，k=4＞0， ∴其图象在一、三象限，且在每个象限y随x增大而减小，它的图象即是轴对称图形又是中心对称图形． ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质：当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大．反比例函数的图象即是轴对称图形又是中心对称图形． 4. 如图，已知，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用该定理列出比例式． 利用平行线分线段成比例定理，结合已知线段长度列出比例式，求出，再通过线段之和求出的长． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：D． 5. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 【详解】解：∵OB=3OB′， ∴， ∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴， ∴， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 6. 某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( ) A. 72(1－x)2＝96 B. 72(1＋x)2＝96 C. 96(1－x)2＝72 D. 96(1＋x)2＝72 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：依题意得三月份的营业额为72（1+x）2， ∴72（1+x）2=96． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解题关键． 7. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数为（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设盒子中有红球个， 由题意可得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，根据红球的频率得到相应的等量关系． 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算各点的值并比较大小． 【详解】解：将点代入函数中，得； 点代入函数中，得； 点代入函数中，得， ∵， ∴， 故选：D 9. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 10. 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题. 【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， ∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化为（为常数）的形式后，利用平方根的定义求解． 通过移项将方程化为，再根据平方根的定义求出的值． 【详解】解：对于方程， 移项可得：， 解得：． 故答案为：． 12. 矩形中，对角线相交于点，，则 ________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质：对角线相等且平分，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∴， 故答案为：4 ． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握点的坐标满足反比例函数解析式． 将点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出纵坐标的值． 【详解】解：根据题意：把代入， 得：． 故答案为：6． 14. 如图，是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是_______cm3. 【答案】24 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图及左视图都是相同的矩形，俯视图是一个正方形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为3×2×4=24cm3． 答：这个长方体的体积是24cm3． 故答案为24． 15. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____． 【答案】1． 【解析】 【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1， ∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1． 三、解答题（一）（每题7分，共28分） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若是原方程的一个根，求此时它的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用判别式判断根的情况，利用根与系数的关系求方程的根． （1）利用一元二次方程根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根，据此列不等式求解的取值范围； （2）可将已知根代入方程求后解方程． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 解得： 所以当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：因为是原方程的根，将代入，得： ，即，解得． 此时原方程为，因式分解为，解得， 故另一个根为． 17. 如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC． 【答案】 证明：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴AB2=AD•AC．. 【解析】 【分析】利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出，整理得出答案即可． 【详解】略 18. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． （1）求证：≌； （2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠ADB=∠CBD， 又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°， ∴∠ADE=∠CBF 在△ADE和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF； （2）四边形是菱形 理由如下： 如图，连接，， 由（1）得△ADE≌△CBF ∴CF=AE, ∠E=∠F ∴AE∥CF ∴四边形AFCE是平行四边形 当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD 又∵AD∥CB， ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ABD ∴AD=AB=BC ∴△ABC为等腰三角形 由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF ∴平行四边形AFCE是菱形 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明≌即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理． 19. 为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： （1）这次参与调查的村民人数为 人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率． 【答案】（1）120 （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的应用和树状图法求概率． （1）直接利用腰鼓所占比例以及条形图中人数即可得出这次参与调查的村民人数； （2）利用条形统计图以及样本数量得出喜欢广场舞的人数； （3）利用树状图法列举出所有的可能进而得出概率． 仔细识图，正确列举出所有可能是解题关键． 【小问1详解】 解：这次参与调查的村民人数为：（人）； 故答案为：120； 【小问2详解】 喜欢广场舞的人数为：（人） 【小问3详解】 画树状图如下： 一共有12种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种可能， 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：． 四、解答题（二）（每题9分，共18分） 20. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则售价应定为多少？这时应进货多少个？ 【答案】当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个 【解析】 【分析】利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与的关系式，求出即可． 【详解】解：设每个商品的定价是元. 由题意，得 整理，得 解得 都符合题意. 答：当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个. 21. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， ； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，勾股定理： （1）先根据矩形的性质得，，然后利用得到，最后结合，即可证明； （2）先利用矩形的性质得到，再利用勾股定理得出，由得，可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ，即， 解得， 五、解答题（三）（第22小题12分，第23小题12分，共24分） 22. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及函数表达式求解、函数值大小比较以及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用函数性质、联立方程求交点，以及分类讨论等腰三角形的情况． （1）先由一次函数与轴交点求，得一次函数表达式，再代入点纵坐标求其坐标，进而求反比例函数值． （2）联立一次函数与反比例函数方程求交点，结合图象确定时的取值范围． （3）设点坐标，求长度，分三种情况，用距离公式求解点坐标． 【小问1详解】 解：求反比例函数的表达式： 因为一次函数与轴正半轴交于，且， 所以， 将代入，得，故一次函数表达式为， 点在上，且纵坐标为3，代入得，解得， 所以． 将代入反比例函数，得， 所以反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，的取值范围： 联立 ，代入得，整理为，因式分解得，解得，即交点． 结合图象可知，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设，由， ， 分三种情况讨论： （1）当时： ，解得或，此时或； （2）当时： ， 解得舍去，因与原点重合无法构成三角形）， 此时． （3）当时： ，解得， 此时． 综上，点的坐标为或． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $