精品解析：天津市西青区中北中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年天津市西青区中北中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义（形如，，a、b与c是常数）解决此题． 【详解】解：A.是正比例函数，不符合题意． B.是一次函数是反比例函数，不符合题意． C.是二次函数，故选项C正确，符合题意． D.是一次函数，故选项D错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直接根据一元二次方程的定义依次对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； C．此方程符合一元二次方程，符合题意； D．此方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 抛物线的对称轴是（    ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 4. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A． 考点：抛物线的平移规律． 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查求解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答此题的关键． 根据配方法：移项、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方等步骤进行即可求解． 【详解】将常数项移至右边，得， 方程左边配方需加上一次项系数一半的平方，即，两边同时加9，得， 即． 故选：D． 7. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）=28 B. x（x﹣1）=28 C. 2x（x﹣1）=28 D. x（x+1）=28 【答案】B 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解． 【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛， 故x（x-1）=28． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键． 8. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】∵a=1，b=－3，c=－1 ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键. 9. 如图，在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，结合矩形地面的宽为9m，长为16m，小路的宽为x m，得出种草的部分可合成宽为，长为的矩形，然后根据耕地面积为，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：∵矩形地面的宽为9m，长为16m，小路的宽为x m， ∴种草的部分可合成宽为，长为的矩形， 又∵耕地面积为， ∴根据题意，可得：． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． 10. 若二次函数的图象经过点P (-1，2)，则该图象必经过点( ) A. (1，2) B. (-1，-2) C. (-2，1) D. (2，-1) 【答案】A 【解析】 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴， ∴若图象经过点P（-1，2）， 则该图象必经过点（1，2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 11. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的坐标可分别代入抛物线解析式，可求得相应的函数值，可比较其大小． 【详解】∵点(−1,y1)，(2,y2)，(−3,y3)都在函数y=x2的图象上， ∴y1=(−1)2=1，y2=22=4，y3=(−3)2=9， ∴y1<y2<y3， 故答案选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的坐标特征. 12. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据函数的图象和函数的图象判断a的符号是否一致即可得解． 本题主要考查了二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； B、由函数的图象知，由函数的图象知，相符； C、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符； D、由函数的图象知，由函数的图象知，不相符． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标为_________． 【答案】（3，5）． 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：因为y＝2（x﹣3）2+5是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，5）； 故答案为：（3，5）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 14. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________． 【答案】m＞1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 15. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 【答案】168（1﹣x）2=128 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128； 考点：一元二次方程的应用 17. 二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④其中正确的结论是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 根据二次函数对称轴和开口方向可判断①；根据二次函数与x轴的交点可判断②；根据，可判断③；根据时，及可判断④． 【详解】解：①由图象得：，且， 去分母得：，即，本选项正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ，本选项正确； ③由图象得：时，， ，本选项错误； ④由图象得：时，， ， ， ， ，本选项正确； 则所有正确的序号为①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用直接开平方法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， 或， ． 19. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7人 （2）经过第三轮传染一共有512人感染 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； 【小问2详解】 根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 20. 已知抛物线经过点 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点是否在此抛物线上； （3）求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】（1）； （2）点B不在此抛物线中； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【小问1详解】 抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 点不在此抛物线上； 【小问3详解】 此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 21. 已知抛物线． （1）将上述抛物线化成的形式为______； （2）该抛物线的开口向______，对称轴是直线______，顶点坐标是______； （3）当______时，函数有最______填“大”或“小”值为______； （4）该抛物线可由抛物线先向左平移______个单位长度，再向______平移______单位长度得到． 【答案】（1）； （2）上，； （3），小，； （4）2，下，5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）进行配方即可求解； （2）由二次项系数的符号即可判断出图象的开口方向，再运用（1）中的顶点式即可求出对称轴与顶点坐标； （3）运用（1）中的结论即可求出y的最值； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为，横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 【小问1详解】 ； 故答案为：； 【小问2详解】 ， 图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 故答案为：上，； 【小问3详解】 ∵，顶点坐标， 当时，y取得最小值为； 故答案为：，小，； 【小问4详解】 抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为， 横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 故答案为：2，下， 22. 关于x的方程有两个实数根、 （1）求实数k的取值范围； （2）当时，用配方法解方程； （3）若、满足，求实数k的值． 【答案】（1） （2） （3）实数k的值为 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出（2）配方得到；（3）根据根与系数的关系结合，找出关于k的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出实数k的取值范围； （2）利用指定的方法解方程即可； （3）由根与系数的关系可得、，将其代入中，解之即可得出k的值． 【小问1详解】 解：关于x的方程有两个实数根， ， 解得：， 实数k的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，方程为， ，即， ， ； 【小问3详解】 解：关于x的方程有两个实数根， ， ，即， 解得：或不符合题意，舍去 实数k的值为 23. 如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）△BCM是直角三角形；（3）N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可； （3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与y轴相交于点C（0，﹣3）， ∴﹣3=a﹣4， ∴a=1， ∴抛物线解析式为，即； （2）△BCM是直角三角形． 理由： 由（1）有，抛物线解析式为， ∵顶点为M的抛物线， ∴M（﹣1，﹣4）， 由（1）抛物线解析式为， 令y=0，∴， ∴=﹣3，=1， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， ∴=9+9=18，=1+1=2，=4+16=20， ∴， ∴△BCM是直角三角形； （3）存在． ∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，分两种情况讨论： ①点N在x轴上方的抛物线上，如图，由（2）有△BCM是直角三角形，=18，=2， ∴BC=，CM=， ∴S△BCM=BC×CM==3， 设N（m，n）， ∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3， ∵A（1，0），B（﹣3，0）， ∴AB=4， ∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3， ∴n=， ∵N在抛物线解析式为的图象上， ∴， ∴m1=，m2=， ∴N（，）或N（，）； ②如图2，点N在x轴下方的抛物线上，∵点C在对称轴的右侧， ∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，过点M作MN∥BC，交抛物线于点N， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3， 设MN的解析式为y=﹣x+b， ∵抛物线解析式为①， ∴M（﹣1，﹣4）， ∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②， 联立①②得：， 解得：（舍），， ∴N（﹣2，﹣3）． 综上所述：N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年天津市西青区中北中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 3. 抛物线的对称轴是（    ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. x（x﹣1）=28 B. x（x﹣1）=28 C. 2x（x﹣1）=28 D. x（x+1）=28 8. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 如图，在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象经过点P (-1，2)，则该图象必经过点( ) A. (1，2) B. (-1，-2) C. (-2，1) D. (2，-1) 11. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 12. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标为_________． 14. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________． 15. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 16. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得_______________． 17. 二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④其中正确的结论是______． 三、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 19. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）经过第三轮传染一共有多少人感染？ 20. 已知抛物线经过点 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点是否在此抛物线上； （3）求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 21. 已知抛物线． （1）将上述抛物线化成的形式为______； （2）该抛物线的开口向______，对称轴是直线______，顶点坐标是______； （3）当______时，函数有最______填“大”或“小”值为______； （4）该抛物线可由抛物线先向左平移______个单位长度，再向______平移______单位长度得到． 22. 关于x的方程有两个实数根、 （1）求实数k的取值范围； （2）当时，用配方法解方程； （3）若、满足，求实数k的值． 23. 如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由． （3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $