第二章 第七节 函数的图象-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第七节　函数的图象 知识点1　描点法作图步骤 (1)确定函数的__定义域__． (2)化简函数的__解析式__． (3)讨论函数的__性质__即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势). (4)描点连线，画出函数的图象． 思考：函数y＝lg x与y＝lg x2的图象相同吗？ 提示：不相同．函数y＝lg x2的定义域为{x|x≠0}，偶函数只有当x＞0时，y＝lg x2＝lg x，两者的图象才相同． 知识点2　函数图象间的变换 (1)平移变换 ①y＝f(x)y＝__f(x－a)__； ②y＝f(x)y＝__f(x)＋b__． (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝__－f(x)__； ②y＝f(x)y＝__f(－x)__； ③y＝f(x)y＝__－f(－x)__． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝__f(|x|)__； ②y＝f(x)y＝__|f(x)|__． (4)伸缩变换 思考：y＝f(x)到y＝Af(ωx＋φ)的变换与必须四中y＝sin x 到y＝A sin (ωx＋φ)的变换一样吗？ 提示：平移和伸缩的图象变换是一样的． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) [解析]　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误． (2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误． (3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．(2025·高三·全国·专题练习)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　) A．f(x)在区间上单调递减 B．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2＋bx＋a>0的解集为 [解析]　由图可知，二次函数f(x)图象的对称轴为x＝＝，又因为图象开口向上，所以f(x)在区间上单调递减，A对；由图知：不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B对；由图知：f(1)＝a＋b＋c<0，C错；根据二次函数与一元二次方程的关系，－1，2是ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－＝－1＋2＝1⇒b＝－a，＝－1×2＝－2⇒c＝－2a，且a>0，所以－2ax2－ax＋a>0⇒2x2＋x－1＝(2x－1)(x＋1)<0，解集为，D对．故选C. [答案]　C 3．(2025·高二下·湖南郴州·学业考试)函数f(x)＝log3x的图象大致是(　　) 　　 　　 [解析]　由题意可知：函数f(x)＝log3x在定义域(0，＋∞)内单调递增，结合选项可知A、B、C错误，D正确．故选D. [答案]　D 考题体验 4．(2024·长沙检测)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|) C．y＝|f(x)| D．y＝－|f(x)| [解析]　观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|). [答案]　B 5．(2024·南通联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________． [解析]　当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8]. [答案]　(2，8] [例1]　分别画出下列函数的图象． (1)y＝|lg x|；(2)y＝2x+2；(3)y＝x2－2|x|－1. [思路点拨]　无论描点法还是图象变换法，先对函数性质进行研究可简化作图过程． [自主解答]　(1)y＝，如图(1). (2)由y＝2x的图象向左平移2个单位，如图(2). (3)y＝如图(3). [解题心得]　此题使学生掌握作函数图象的步骤： (1)求定义域； (2)化简函数式； (3)讨论函数图象的性质(如截距、对称性、单调性、图象上特殊点的位置等)缩小描点范围； (4)采用描点或利用基本初等函数的图象作出所需的图象． [例2]　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) [思路点拨]　现将式子化简，然后数形结合． [自主解答]　因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1). [答案]　D [解题心得]　利用函数的图象研究不等式思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解． [例3]　(24－25高二下·安徽·期末)已知函数f(x)的部分图象如图，该函数的解析式可能为(　　) A．f(x)＝(ex＋e－x)cos x B．f(x)＝－(ex＋e－x)sin x C．f(x)＝(ex－e－x)cos x D．f(x)＝(e－x－ex)cos x [思路点拨]　根据图象有f(0)＝f＝0、x∈上f(x)<0，应用排除法确定答案． [自主解答]　由f(0)＝(e0＋e0)cos 0＝2≠0，A排除；由f＝－(e＋e)sin ≠0，B排除；当x∈时，ex－e－x>0，cos x>0，则f(x)>0，C排除；当x∈时，e－x－ex<0，cos x>0，当x∈时，e－x－ex>0，cos x>0，f(0)＝(e0－e0)cos 0＝0，f＝(e－e)cos ＝0，f＝(e－e)cos ＝0，D可能．故选D. [答案]　D [解题心得]　解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有： (1)定性分析法：也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题； (2)定量计算法：也就是通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 1．(北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) [解析]　因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)＞0等价于2x＞x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)不等式2x＞x＋1的解为x＜0或x＞1.所以不等式f(x)＞0的解集为：(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D. [答案]　D 2．(天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A． B． C． D． [解析]　由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0，由＝－且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除B；当x>0时>0、>0，即A、C中(0，＋∞)上函数值为正，排除A、C.故选D. [答案]　D 3．(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上所有点的(　　) A．横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C．纵坐标变为原来的倍(横坐标不变) D．纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) [解析]　因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象，故选A. [答案]　A 4．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ [解析]　由图可知函数为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除选项AB；又∵当x∈(0，1)时，1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．故选D. [答案]　D 5．(天津卷)函数y＝的图象大致为(　　) [解析]　设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除AC；当x∈(0，1)时，ln |x|<0，x2＋2>0，所以f(x)＜0，排除D.故选B. [答案]　B 6．函数y＝x cos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　) [解析]　本题考查函数图象的识别．设f(x)＝x cos x＋sin x，f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝－x cos (－x)＋sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项C，D.又f(π)＝πcos π＋sin π＝－π<0，排除选项B，故选A. [答案]　A 7．(湖南卷)已知函数f(x)＝ (1)画出函数f(x)的图象； (2)若f(m)≥2，求m的取值范围． [解]　(1)函数f(x)的图象如图所示： (2)f(m)＝， 当0≤m≤2时，f(x)＝2m≥2，可得：1≤m≤2， 当2＜m≤4，f(x)＝8－2x≥2，可得：2＜m≤3， 所以f(m)≥2的解集为：{m|1≤m≤3}， 所以m的取值范围为{m|1≤m≤3}． 课时作业(十二) 1．(24－25高一上·江苏南京·期中)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 　　 　　 [解析]　幂的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；幂的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；幂的指数a<0，则－>0，即直线y＝ax－与y轴交点在x轴上方，D错误；易知C正确．故选C. [答案]　C 2．(2024·江西南昌·开学考试)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) [解析]　根据一次函数y＝bx＋c与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a>0，b>0，c<0，则y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴为x＝－<0；D正确．故选D. [答案]　D 3．(24－25高一上·广东佛山·期中)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可以是(　　) 　　 　　 [解析]　由选项中指数函数图象可知：0<<1，令y＝ax2＋bx＝0，解得：x＝－或x＝0，∵0<<1，∴－1<－<0，可排除A、B、C.故选D. [答案]　D 4．已知某函数的大致图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是(　　) A.y＝ B．y＝2|x|－2 C．y＝e|x|－|x| D．y＝2|x|－x2 [解析]　y＝＝21-|x|＝，当x＜0时，y＝21+x单调递增，故排除A，当x＞0时，函数y＝2x－2为增函数，当x＜0时，函数y＝2－x－2为减函数，故排除B，由图象可得函数值有正有负，而y＝e|x|－|x|＞0恒成立，故排除C.故选D. [答案]　D 5．(2024·天津·期末)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ [解析]　由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝＝f(x)，函数关于y轴对称，故A错误；因为f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，故C错误；当0<x<1 时，f(x)<0，不符合图象，故D错误；f(－x)＝＝＝－f(x)，函数的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)>0，符合题意，所以B正确．故选B. [答案]　B 6．(24－25高一下·广西贵港·期末)已知函数f(x)＝x(2－2x)，当x＝m时，f(x)取得最大值n，则函数g(x)＝logm|x＋n|的大致图象为(　　) 　 　 [解析]　当x＝时，f(x)取得最大值f＝，则m＝n＝，所以g(x)＝log，由>0，得x≠－，C，D错误．当x>－时，g(x)＝log单调递减，B错误．故选A. [答案]　A 7．(2024·全国·高三对口高考)已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p与q互质)的图象如图所示，则(　　) A．p、q均为奇数且<0 B．p为奇数，q为偶数且<0 C．p为奇数，q为偶数且>0 D．p为偶数，q为奇数且<0 [解析]　由图象知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图象的形状判定<0，又因为p与q互质，所以q为奇数．故选D. [答案]　D 8．已知函数f(x)＝，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是(　　) [解析]　法一：由题设得函数g(x)＝－f(－x)＝据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象． 法二：先画出函数f(x)的图象，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)，即g(x)的图象，如图2所示． [答案]　D 9．(2025·河南·三模)函数f(x)＝(2－x－2x)·的大致图象是(　　) 　 　 [解析]　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除D；因为f(－x)＝(2x－2－x)＝(2－x－2x)·＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；当x>0时，f(x)＝(2－x－2x)＝2－x－2x<0，排除A.故选B. [答案]　B 10．(2024·浙江绍兴·模拟预测)在同一直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝(a＞0)，且a≠1的图象可能是(　　) [解析]　因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故选项A、B错误；当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，又y＝(a＞1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误，选项C正确．故选C. [答案]　C 11．(2025·上海宝山·二模)已知函数y＝ax+1－loga(x＋2)＋1(a＞0且a≠1)的图象经过定点A，则点A的坐标为________． [解析]　令x＝－1，可得y＝a-1+1－loga(－1＋2)＋1＝a0－loga1＋1＝2.所以定点A的坐标为(－1，2). [答案]　(－1，2) 12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________． [解析]　f(x)的图象如图所示，g(x)＝0即f(x)＝m，y＝m与y＝f(x)有四个交点，故m的取值范围为(－1，0). [答案]　(－1，0) 13．对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的序号是________． [解析]　作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确． [答案]　①② 14．(2025·江西·二模)已知函数f(x)＝－2x－x5，则不等式f(x－1)＋f(5－3x)<0的解集是________． [解析]　由y＝－2x，y＝－x5在R上都单调递减，且都是奇函数，所以f(x)＝－2x－x5是单调递减的奇函数，故f(x－1)<－f(5－3x)＝f(3x－5)，则x－1>3x－5，即x<2，所以不等式的解集为(－∞，2). [答案]　(－∞，2) 学科网（北京）股份有限公司 $