第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦函数的奇偶性与周期性核心考点，按定义、图象特点、常用结论分层梳理知识，构建“定义理解-图象特征-结论应用”的逻辑体系。通过考点梳理（表格归纳奇偶性定义与图象对称关系）、方法指导（例题讲解判断奇偶性的定义法和图象法）、真题训练（新高考Ⅰ卷及教材衍化题）等环节，帮助学生突破抽象函数性质应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 教案突出数学思维与应用意识的培养，如推导周期性结论时引导学生从f(x+a)=-f(x)出发，通过逻辑推理得出T=2a（数学思维），再结合2025年新高考Ⅰ卷真题验证应用。设计“结论推导-真题验证-分层练习”三步策略，配合课时作业的基础巩固与能力提升题，保障复习效果。助力学生快速构建知识网络，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第三节 函数的奇偶性与周期性 教材梳理 >>>>>> 知识点1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数x)的定义域内任意一个x,都有一x) 偶函数 关于y轴对称 =，那么函数x)就叫做偶函数 如果对于函数x)的定义域内任意一个x,都有一x) 奇函数 关于原点对称 二x，那么函数x)就叫做奇函数 口诀 奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称。 记忆 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？ 提示：一定是.反之，也成立。 知识点2函数的周期性 (1)周期函数 对于函数x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有赵 十)=，那么就称函数x)为周期函数，称T为这个函数的周期， (2)最小正周期 如果在周期函数x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做x)的 最小正周期 思考：函数y=fx)x∈R)是周期函数，则其周期唯一吗？是否有最小正周期？ 提示：不唯一，若T是y=x)x∈R)的一个周期，则nTn∈Z,n≠0)也是函数的周期.若 函数y=fx)是常数函数，则y=x)是周期函数，且无最小正周期. [常用结论] 1.函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数x)在x=0处有定义，则0)=0. (2)如果函数x)是偶函数，那么x)=x) (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反 的单调性， 2.函数周期性常用结论 对fx)定义域内任一自变量的值x: (1)若fx+a)=-fx),则T=2a(a>0). 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)若fx+a)=1f),则T=2a(a>0) (3)若fx+a)=-1f),则T=2a(a>0) 3.函数对称性常用结论 (1)函数y=x)满足x)=2b一2a一x)台y=x)的图象关于点(a,b)成中心对称. (2)函数y=fx)满足x)=2a一x)台y=x)的图象关于直线x=a成轴对称. 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (I)函数y=x2在x∈(0，+∞)上是偶函数.() (2)若函数x)为奇函数，则一定有f0)=0.() (3)若T是函数的一个周期，则nTn∈Z,n≠0)也是函数的周期.() (4)若函数x)满足关系a十x)=-b-x),则函数x)的图象关于点aws4 alcol(ffa+b2), 0)对称.( ) [解析](I)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=x2在(0，十∞)上不具有奇偶性， (1)错误。 (2)由奇函数定义可知，若x)为奇函数，且在x=0处有意义时才满足0)=0，（②）错误. [答案](1)×(2)×(3)√(4)√ 教材衍化 2.(2025·天津河北模拟预测)己知函数y=x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为 奇函数的是() A.y=f(xD) B.y=f(x2) C.y=xfx) D.y=fx)+x [解析]因为x)的定义域为R,又因为一x)=fxD,所以y=D是偶函数，不符合 题意：令Fx)=f2),则F(一x)=f2)=Fx),所以Fx)是偶函数，不符合题意；令Mx)=x x),则M(一x)=一x一x)=xx)=Mx),所以Mx)是偶函数，不符合题意；令Nx)=) 十x,则W(一x)=一x)一x=一fx)一x=一[优x)十x=一N(),所以N()是奇函数，符合题意.故 选D, [答案]D 3.设x)是定义在R上的奇函数，x)满足x+3)=),且当x∈0，f32》时，x)=一 x3,fals4\alcol(f(112))= [解析]由十3)=x)知函数x)的周期为3，又函数x)为奇函数，所以f alvs4allcol((112))=flalvs4 alcol(-(12))=-fawvs4 allcol0f(12))=lalvs4allcol(f(12))3= 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 18 [答案]18 考题体验 4.(24一25高二下山东德州期末)设fx)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1 时，fe=x2-x,则favs4 alcol(-f52》= [解析]设x)是定义在R上周期为2的奇函数， 则fx+2)=x),-x)=一) 由题意，favs4 allcol(-f52)=-favs4 allcol(f52》=-faws4 alcol(2+f12》 =-flalvs4lallcol0f(12))=-\b\lc\(rc22)=14. [答案]14/0.25 5.(多选题)函数fx)的定义域为R,且x+1)与fx+2)都为奇函数，则() A.x)为奇函数 B.x)为周期函数 C.x+3)为奇函数 D.x十4)为偶函数 [解析]由x十1)与x十2)都为奇函数知函数x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，所 以fx)十2-x)=0,fx)十4-x)=0,所以2-x)=f4-x),即fx)=fx+2),所以x)是以 2为周期的函数，所以fx),x十3)，x十4)均为奇函数. [答案]ABC 典例精讲 >>>>>> [例1](24一25高一上内蒙古赤峰期末)判断下列函数的奇偶性： (1)x)=x3+1x: (2x)=1x2+: (3)x)=x-x. [思路点拨](1)2)3)利用函数奇偶性的定义可判断出函数x)的奇偶性， [自主解答](1)=x3+1x的定义域为(-∞，0)U(0,+∞) 因为-x)=(一x)3+1一x=-las4 alcol(3十f1x》=一x,所以fx)为奇函数， (2)x)=Ix2+x的定义域为(-，0)U(0,+∞)，因为术-)=1(-x2+|-x=1x2+ x=x),所以x)为偶函数 (3))=x一x的定义域为R,因为-x)=|一x一(-x)=x十x≠x),且-x)≠一x), 所以f)为非奇非偶函数 [解题心得]判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式， ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 可先对其进行化简，再利用定义进行判断 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 定义域 既不是奇函数 确定定义域 关于原点对称 也不是偶函数 浪 确定f)与f(-x)的关系 结论 (2)图象法 f 关于原点对称 f(x)为奇函数 图象 关于y轴对称 f(x)为偶函数 (3)性质法 设)，gx)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上，有下面结论： fx) g(x) Ax)+g(x) fx)-gx) fx)g(x) Ag()) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 「例21已知fx)是奇函数，且当x>0时，fx)=xx一2引，求x<0时，x)的表达式. [思路点拨]x<0一一x>0一求f一x)一由奇函数求f)的表达式 [自主解答]设x<0,则一>0， ∴-)=-x-x-2=-xk+2 又x)是奇函数，有一)=一9， ∴.-fx)=-x+2,∴.x)=xk+2到 故当x<0时，x)=xx十2， [解题心得](1)在哪个区间求解析式，x就设在那个区间里， (2)然后要利用己知区间的解析式进行代入. (3)利用x)的奇偶性把一x)写成一x)或x).从而解出x) (4)也可利用奇偶函数的对称性求解，本题中)为奇函数，其图象关于原点对称，把x >0时，x)的解析式：y=x一2中的x、y分别换为一x,一y即得所求 [例3)](24一25高一下·福建期未)己知函数x)是定义域为R上的奇函数，满足1十x) ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =1-x),若1)=2，则1)+2)+3)+…+f2024)= [思路点拨]利用函数的奇偶性和对称性可推出函数具有周期性，再利用恒等式进行赋 值，即可计算结果。 [自主解答]由函数)是定义域为R上的奇函数，可得一x)=一x),0)=0, 再由1+x)=1一x)可得2十x)=-x),赋值可得2)=(-0)=0， 由上两式可得十2)=一x), 赋值可得3)=一1)=-2， 再用+2代替x得x+4)=一x+2), 由上两式可得x+4)=-x+2)=), 即x)是一个周期为4的函数， 因为20244=506，所以1)+2)+f3)+…+f2024)=506×(1)+2)+3)+4)=506 ×(2+0-2+0)=0 [答案]0 [解题心得]判断函数的周期性只需证明x十=x),函数的周期性常与函数的其他性 质综合命题 高考再现 >>>>>> 1.(2025新高考1卷)设x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，x)=5一2x, falys4allcol(-Vf(34))=( A.-12 B.-14 C.14 D.12 [解析]由题知fx)=一x),x+2)=fx)对一切x∈R成立，于是fals4 alcol(-34》 =faws4 allcol0f34)=faws4 al col0f114)=5-2×114=-12.故选A [答案]A 2.(多选题)(2025新高考川卷)已知fx)是定义在R上的奇函数，且当>0时，fx)=(x2一3) e+2,则() A.0)=0 B.当x<0时，x)=-(x2-3)e-x-2 C.x)≥2当且仅当x≥3 D.x=一1是fx)的极大值点 [解析]因为fx)定义在R上奇函数，则O)=0,故A正确：当x<0时，一x>0,则fx) =--x)=-[(-x)2-3)e-x+2]=-x2-3)e-x-2,故B正确；(-1)=-(1-3)e-2=2 (e-1)>2,故C错误；当x<0时，fx)=(3-x2)e-x-2,则fx)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(c2-2x-3) ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ex,令fx)=0,解得x=一1或3（舍去），当x∈(-∞，一1)时，fx)>0,此时f)单调递增， 当x∈（一1，O)时，fx)<0,此时）单调递减，则x=一1是x)极大值，点，故D正确：故选 ABD [答案]ABD 3.(新课标全国l卷)若fx)=(十an2x一l2x十1为偶函数，则a=(） A.-1 B.0 C.12 D.1 [解析]设gx)=ln2x-12x+1,易知gx)的定义域为aws4 alcol(-o,-f12U alvs4lallcol0f(12),+0o),(-x)=In -2x-1-2x+1=In 2x+12x-1=-In 2x-12x+1 =一g(x),所以gx)为奇函数.若x)=(c十a)n2x一12x十1为偶函数，则y=x十a也应为奇 函数，所以a=0,故选B [答案]B 4.(天津卷)已知函数fx)图象的一条对称轴为直线x=2,x)的一个周期为4，则x)的 解析式可能为() A.fx)=sin lalvs4lallcol(f(2)x) B.fx)=cos laws4allcol((2)x) C.fx)=sin lalvs4\allcol(f4)x) D.fx)=cos lalvs4lallcol(f(4)x) [解析]fx)=sin lalvs-4 alcol(fπ2x,最小正周期为2ππ2=4，因为f2)=sin元=0，所 以函数fx)=sin lalvs-4 alcol(fπ2x)的图象不关于直线x=2对称，故排除A;fx)=cos avs4 alcol(fπ2x),最小正周期为2ππ2=4，因为术2)=cosπ=-1，所以函数x)=cos as4 alcollfπ2)x)的图象关于直线x=2对称，故选项B符合题意，函数y=sin avs4 alcol(fπ4x)和y=cos lalvs4 allcollfπ4x)的最小正周期均为2π4=8，均不符合题意， 故排除C,D.综上，选B [答案]B 5.(2024全国甲卷（文）)函数fx)=一x2+(e-e-*)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 () ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D [分析]利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=1,可得I)>0,可排除D [解析]函数定义域为[-2.8,2.8]，-x)=-x2+(e-x-e)sin(-x)=-x2+(ex-e-) sinx=fx),故该函数为偶函数，可排除A、C,又1)=-1+aws4 al\col(e-f1 ))sin 1 >-1+avs4 alcol(e-f1esinπ6=e2-1-12e>l4-12e>0,故可排除D.故选B. [答案]B 6.(2024天津卷)下列函数是偶函数的是() A.y=ex-x2x2+1 B.y=cosx十x2x2+1 C.y=ex-xx+1 D.y=sinx+4xelxl [分析]根据偶函数的判定方法一一判断即可. [解析]设x)=ex一x2x2十1，函数定义域为R,但-1)=e-1-12,1)=e-12,则f (-1)≠1)，故y=x-x2x2十1不是偶函数，故A错误：设gx)=cosx十x2x2十1，函数定义 域为R,且g(-x)=cos(-x)十（一x2(一x)2十1=cosx十x2x2十1=gx),则gx)为偶函数，故 B正确；设h(x)=ex一xx十l,函数定义域为{xx≠一l},不关于原点对称，则x)不是偶函数， 故C错误；设p(x)=sinx十4 xexl,函数定义域为R,因为o(1)=sin1十4e,o(-l)=一sim1一4e ,则(1)≠（一1），则p()不是偶函数，故D错误.故选B. [答案]B 课时作业（八） 1.(24-25高二下·广东深圳期末)设函数fx)=x+1x十1，则下列函数中为奇函数的是 () A.fx-1)+1 B.fx+1)+1 C.fx-1)-1 D.fx+1)-1 [解析]fx-1)+1=x-1+1x-1十1+1=x+1x,设gx)=x+1x,x∈(-∞，0)U(0, +∞)，g(-x)=一x-1x=-avs4 allcol(c十f1x)=一gx),所以ge)为奇函数，故A符合题 意：fx+1)+1=x+1+1x+1十1+1=x+2+1x十2，x∈(-∞，-2)U(-2,+∞)，定义域 关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意：x一1)一1=x一1十1x一1十1一1 x-2+1x,x≠0，设gx)=x-2+1x,x≠0，则g(-x)=-x-2-1x=-avs4 allcol(十2十l f1x)≠-gx,不为奇函数，故C不合题意；x+1)-1=x十1+1x十2-1=x+1x十2，x∈ (一∞，一2)U(一2，十∞)，定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意： ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 故选A [答案]A 2.(24一25高一下·云南曲靖期未)已知x)是定义在R上的奇函数，且尤-x)+x)+2a =1,则a=() A.-12 B.12 C.0 D.1 [分析]由奇函数的性质即可得解 [解析]因为-x)+x)+2a=1,所以-x)十x)=1-2a,因为x)是定义在R上的 奇函数，所以术-x)十x)=0,所以1一2a=0,解得a=12.故选B. [答案]B 3.己知函数y=x)是定义在R上的偶函数；且在（一∞，0]上单调递增，若对于任意的 x∈R,不等式)>f2+1)恒成立，则a的取值范围是( ) A.\alvs4lallcol(-\f(112) B.lalys4lallcol(-o, -f12U1 alvs4lalcol(f(12),+co) C.(-2,2) D.(-∞，-2)U(2,十∞) [解析]y=)是定义在R上的偶函数，且在（一∞，O]上单调递增，∴y=x)在(O, +oo)上单调递减，且fx)=fx,ax)>fx2+1)台fa>fx2+1)台ax2+1台lx2-lad+1 >0,对称轴x=al2≥0.∴.只需要4=a2-4<0即可，解得一2<a<2.故选C. [答案]C 4.(24-25高一下·福建福州期末)已知定义在R上的奇函数fx)周期为3，当x∈ avs4 alcol(3,f92)时，fx)=5-2x,则favs4 allcol(-f12)的值为() A.-4 B.2 C.-2 D.4 [解析]因为x)是定义在R上的奇函数，所以aws4aco1(-12)=-f aws4alco1f12),因为fx)的周期为3，所以favs4 allcol(12)=faws4 alcol(f72),而 当x∈laws4 al col(3,f92)时，fx)=5-2x,则favs4alco1f72》=5-2×72=-2,即f aws4alco1f12)=favs4 alcol(f72)=-2,可得favs4 alcol(-f12》=2,故B正确.故 选B, [答案]B 5.(2024广东茂名期末)已知函数x)=xx,则y=x)的大致图象为() ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为函数定义域为R,一x)=一x一x=一xx=一x),所以fx)为奇函数，则 其图象关于原点对称，所以排除A,当>0时，x)=x2>0,所以排除D,因为由幂函数的性 质可知当>0时，x)=x2在直线y=x的上方，所以排除B.故选C [答案]C 6.(2024湖北高二统考·期末)已知函数x)的定义域为R,且满足x+2)=f)+1fx一1 ,-1)=2,则2023)=() A.0 B.1 C.2 D.4 [解析]fx+2)=f)+1f)-1,x+4)=fe+2)+1fc十2-1=fx)-1fx)-1= 2fx-12x)一1=f),f)是以4为周期的周期函数，∴术2023)=f4×506-1)=-1)=2.故 选C [答案]C 7.(2024湖南长沙一中校考阶段练习)已知函数y=十1)为奇函数，则函数y=x)十1 的图象() A.关于点(1,1)对称 B.关于点(1，-1)对称 C.关于点(-1,1)对称 D.关于点（一1，一1）对称 [解析]函数y=x十1)为奇函数，图象关于(0,0)对称，则函数y=x)关于(1,0)对称， 所以函数y=fx)十1的图象关于(1,1)对称.故选A [答案]A 8.(2024云南曲靖期末)若定义在R上的偶函数x)在(-∞，0]上单调递减，且2)=0， 则满足(m一1)m一2)≤0的m的取值范围是() A.(-∞，4] B.(-∞，01U[1,4] C.[-1,0]U[2,5] D.[-1,5] [解析]因为定义域为R的偶函数x)在（一∞，0]内单调递减，且2）=0，所以)在(0， 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 十∞)上单调递增，且f-2)=0,所以当x∈(-∞，一2)U(2,+∞)时，fx)>0,当x∈(-2， 2)时，fx)<0,所以由(m-1/m-2)≤0可得m=1或m>1-2sm-2≤2)或m<1m-2≤-2)或m <1,m一2≥2，)所以得m=1或1<m≤4或m≤0，所以满足(m-1)m一2)≤0的m的取值范 围是(-∞，0]U[1,4].故选B [答案]B 9.已知x)=a3+bx-4,若2)=6，则-2)=() A.-14 B.14 C.-6 D.10 [解析]f2)+-2)=8a+2b-4-8a-2b-4=-8,又2)=6，所以-2)=-14.故选 A [答案]A 10.(24一25高二下·山东烟台·期末)若函数x)=x3+a2+b的图象关于点(2,0)对称， 则实数a的值为() A.-3 B.3 C.-6 D.6 [解析]依题意，函数x)=x3+2+b的图象关于点(2,0)对称，所以2一x)=一2+ x),即f2-x)+f2+x)=0,即(2-x)3+a(2-x)2+b+(2+x)3+a(2+x)2+b=0,即(6+a)x2+ 4a十b+8=0恒成立，所以6+a=04a+b十8=0)，解得a=-6,b=16.故选C [答案]C 11.(24-25高一下·上海宝山期末)已知x)=x2+ax+1.若y=w)为偶函数，则a= [解析]函数fx)=x2+x十1的定义域为R,由y=x)为偶函数，得x)一一x)=0,即 x2十m十1-(2-十1)=2am=0,而x不恒为0，所以a=0. [答案]0 12.设函数x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，)=x+1,则f als4\allco1(f(32))= [解析]依题意得，2+x)=x),-x)=fx),则faws4 alcol(f32》=f aws4 allcol(-(12))=faws4lallcol(f(12))=12+1=32. [答案]32 13.定义在R上的函数x)为奇函数，1)=1，又gx)=x+2)也是奇函数，则f2020) [解析]因为)是R上的奇函数，所以fx)的图象关于点O(0,O)对称，且0)=0，又 gx)=x十2)是奇函数，所以x)的图象关于点(2,0)对称，所以2×(2一0)=4是x)的一个 ·独家授权侵权必究·