第二章 第十节 导数的应用-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第十节 导数的应用 教材梳理 >>>>>> 知识点1利用导数研究函数的单调性 在(a,b)内可导函数fx) f(x)>0→x)在(a,b)上为单调递增函数. f(x)<0→x)在(a,b)上为单调递减函数. fx)=0→fx)在(a,b)上为常函数 [注意](Ifx)>0(<O)是x)在区间(a,b)内单调递增（减）的充分不必要条件. (2)f(x)≥0（≤0）是fx)在区间(a,b)内单调递增（减）的必要不充分条件 (3)由)在区间(a,b)内单调递增（减）可得)≥0（≤0）在该区间内恒成立，而不是fx) >0(<0恒成立，“=”不能少，必要时还需对“=”进行检验， 思考1：若f(x)在(a,b)内的任意子区间都不恒等于零（允许个别点xo,使fxo)=0),则f '(x)≥0（≤0）是x)在(a,b)内递增（递减）的什么条件？ 提示充要条件。 思考2：在区间(a,b)内fx)的大小与在(a,b)内函数y=x)的图象的“陡峭”和“平缓 ”有什么关系？ 提示：函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数在这个范围内变化得快，其对应函数 的图象就比较“陡峭”（向上或向下）即导函数y=(x)在相应范围内是增函数，反之，函数的 图象就“平缓”一些 知识点2函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=x)在点x=a的函数值a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=O: 而且在点x=a附近的左侧fx)≤0，右侧f(x)≥0，则点a叫做函数y=x)的极小值点， a)叫做函数y=x)的极小值， (②)函数的极大值 函数y=x)在点x=b的函数值b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f(b)=O, 而且在点x=b附近的左侧f(x)≥0，右侧fx)≤0，则点五叫做函数y=x)的极大 值点，b)叫做函数y=x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 思考：导函数fx)的零点与可导函数x)的极值点有何关系？ 提示：可导函数x)的极值，点x一定是导函数f(x)的变号零点. 独家授权侵权必究 年 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 知识点3函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数x)在[a,b]上必有最大值与最小值 (2)若函数x)在[a,b]上单调递增，则a为函数的最小值，b为函数的最大值； 若函数x)在[a,b]上单调递减，则a为函数的最大值，b)为函数的最小值 (3)设函数fx)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求x)在[a,b]上的最大值和最小值的步 骤如下： ①求fx)在(a,b)内的极值； ②将fx)的各极值与，b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值， 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1,判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (I)若函数fx)在(a,b)内单调递增，那么一定有x>0.() (2)如果函数x)在某个区间内恒有fx)=0,则x)在此区间内没有单调性.() (3)函数的极大值一定大于其极小值.() (4)对可导函数fx),若6xo)=0,则xo为极值点.() (⑤)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.() [解析](1)x)在(a,b)内单调递增，则有fx)≥0 (3)函数的极大值也可能小于极小值 (4xo为)的极值，点的充要条件是f(co)=0,且xo两侧导函数异号. [答案](1)×(2)√(3)×(4)×（⑤）√ 教材衍化 2.函数fx)=x2-2nx的单调递减区间是( A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞，-1] D.[-1,0)U(0,1] [解析]由题意知fx)=2x-2x=2x2-2xc>0),由x)≤0，得0<x≤1.故单减区间为(0， 1]. [答案]A 3.(25一26高三上·湖南常德开学考试)函数y=x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则 () ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 y=f(x 73-2 -10 A.一3是函数y=x)的一个零点 B.一1是函数y=fx)的极小值点 C.一2是函数y=x)的极大值点 D.函数y=x)在区间(-3,1)上单调递增 [解析]根据导函数的图象可知，当x∈(-∞，一3)时，fx)0,当x∈(-3,1)时， ()≥0，所以函数y=)在（一∞，一3）上单调递减，在(-3,1)上单调递增，可知一3是函数 y=x)的极值点，不足以说明一3是函数y=fx)零点.因为函数y=x)在（一3，一1）上单调递 增，可知一1不是函数y=f)的极小值，点，一2也不是函数y=x)的极大值点，所以A、B、 C不正确，故D正确.故选D [答案]D 考题体验 4.(浙江卷)函数y=x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=x)的图象可能是 () A [解析]设导函数y=fx)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,2,x3,由导函数y f)的图象易得当x∈(-∞，)U心2，x3)时，f)0:当x∈(1,2)U(,+∞)时，fx)>0(其 中<0<23)，所以函数fx)在(-∞，x),(2,)上单调递减，在(1，)，(，十∞)上单 调递增，观察各选项，只有D选项符合 [答案]D 5.(多选题)(2024新高考8省联考)已知函数fx)=xn(1+x),则() A.x)在(0，+∞)上单调递增 B.x)有两个零点 C.曲线y=f)在点avs4 alcol(-f1rc2)处的切线的斜率为-1一ln2 D.fx)是偶函数 [解析]fx)=xlnc+1),所以当x>0时，f()=ln(c十1)+x+1>0,所以)在(0，+ ∞)上单调递增，所以A正确：令xn(x十1)=0，所以x=0或n(x十1)=0，所以x=0,故f ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (x)只有1个零点0，所以B不正确；fe)=n(x+1)+xx十1，所以f八aws4 allcol(-f12)=ln 12-1=一1一ln2,所以C正确：定义域不关于原点对称，所以x)不是偶函数，所以D不 正确.故选AC [答案]AC 6.(2024青岛检测)已知函数fx)=sin2x十4cosx一a在R上单调递减，则实数a的取值 范围是 [f(x)=2cos 2x-4sin x-a=2(1-2sin2x)-4sinx-a=-4sin2x-4sinx+2-a=- (2sinx+1)2+3-a.由题设，f(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3-(2sinx+1)2恒成立，则a ≥3 [答案][3，+∞) 7.(24-25高二下·湖北期末)若函数fx)=3+3x2-x+1恰好有三个单调区间，则实 数a的取值范围为 [解析]依题意知，当a=0时，x)=32-x十1，只有两个单调区间，不符合题意，则 当a≠0时，fx)=3x2+6x一1，因为函数x)恰有三个单调区间，即x)恰有两个极值点， 故f(x)必有两个不相等的零，点，则a≠0，=36十12a>0),解得a>一3且a≠0. [答案](-3,0)U(0,+∞) 8.己知x=le是函数x)=xnax十1)的极值点，则实数a的值为() A.le2 B.le C.1 D.e [解析]因为函数x)=x(nax+1)有极值，点，所以w)=(na+1)十1=2+lnax.因为x =le是函数fx)=x(na十1)的极值点，所以faws4alco1(f1e》=2+ln avs4 alcol(af1e)=0.所以In alvs4 al\col(af1e)=-2,解得a=le.经检验，a=le符合题 意 [答案] B 典例精讲 [例1](24-25高二下·贵州贵阳期末)已知函数fx)=ax2-2x-lnx. (1)若函数x)在点(1,1)》处的切线与x轴平行，求a: (2)若a>0,讨论x)的单调性， [思路点拨](1)利用导数的几何意义，在点(1,1)处的切线与x轴平行，即(1)=0代 入即可求解： (②)确定函数定义域，求导确定导函数的零点，根据导数确定函数单调性即可. [自主解答】(1)由题可知函数x)定义域为(0，+∞)，f(x)=2x-2-1x, ·独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由于函数x)=ax2-2x-lnx在点(1，f1)》处的切线与x轴平行， 所以f(1)=0,即2a-3=0,所以a=32 (2)由(1)可知函数x)定义域为(0，十∞)， fx)=2a-2-1x=2a2-2x-lx(a>0), 令gr)=2ax2-2x-1, ,4=4+8a>0恒成立， 令f(x)=0,解得x=1十2a2a<0(舍去)或x=1十2a2a>0, 若x∈lavs4 alcol(0,f1+r1+2a)2a),fx)0,fx)单调递减： 若x∈avs4 alcol(f1+r(I十2a)2a,十o,fx)>0,x)单调递增. [解题心得]解题“3步骤” (①)确定函数x)的定义域； (2)求导数f(x),并求方程f()=0的根： (3)利用x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论(x)的正 负，由f(x)的正负确定x)在相应子区间上的单调性 [例2]己知函数fx)=x-Ix一lnx (I)求x)在的单调区间； (2)求函数fx)在f1e,e)上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）. [思路点拨](1)可导函数的极值点0一定满足fxo)=0.(2)方程x)=k的根的个数可以 看成=x)与y=k两函数的交点个数. [自主解答](1/x)=x一lx一lnx=1-lx-lnx,x)的定义域为(0，+o) fx)=1x2-1x=1-x2, 由fx)>0,得0x<1,由f()<0,得x>1, x)=1-lx-nx在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减. (2)由(I)得fx)在f1e),1)上单调递增，在[1，e]上单调递减， .fx)在fIe),e)上的最大值为 f1)=1-1-n1=0. x falvs4allcol(yle))=1-e-In le=2-e,fe)=1-le-In e=-le,f als4allcol(le))fe). .fx)在fle),e)上的最小值为favs4 allcol(f(1e》=2-e ∴x)在上的最大值为0，最小值为2-e. [解题心得]掌握求函数fx)在区间[a,b]上的最值的方法 (I)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减，a)与b)一个为最大值，一个为最小值： (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值，要先求出[a,b]上的极值，与a),b)比较，最大 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 的是最大值，最小的是最小值，可列表完成： (3)函数x)在区间（α，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小值点，此结 论在导数的实际应用中经常用到 [例3](24-25高二下·北京丰台期末)已知函数x)=x3-3x (1)求曲线y=fx)在(0，fO)处的切线方程； (2)求x)在区间[-1,2]上的最小值和最大值： (3)写出不等式x)P2的解集.（不用说明理由） [思路点拨](1)计算fO),O),然后根据点斜式求出方程即可； (2)利用导数判断函数单调性，然后计算： (3)根据(2)的结果，判断函数的单调性，然后计算可得-1)=2,1)=一2，-2)=一2， 2)=2,判断即可. [自主解答](1/x)定义域为R,fx)=3x2-3,fO)=一3，又因为0)=0，所以曲线y =fx)在(0，O)处的切线方程为y=-3x (2)令x)=0得，x=±1， 当x变化时，fx),x)的变化情况如下表： x (-1,1) (1,2) fx) 0 + fx) -2 又因为-1)=2,2)=2， 所以)在区间[-1,2]上的最小值为一2，最大值为2 (3)由(2)可知，函数)在（一∞，一1），(1，+∞)单调递增，在(-1,1)单调递减，尤 1)=2,1)=一2，-2)=-2,2)=2，所以不等式x)P2的解集为{xx<-2或心2}. [解题心得]1.熟记运用导数解决函数极值问题的一般流程 求定义域 求导数f(x) 求极值 用极值 解方程∫(x)=0 知f'(x)=0根的情况 验根左右'(x)的符号 得关于参数的方程（不等式 ↓ 极值 参数值（范围） 2.掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 验证 验证根的合理性 高考再现 1.(多选题)（新课标全国l卷）若函数fx)=alnx十bx十cx2(a≠0)既有极大值也有极小值， 则() A.bc-0 B.ab-0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 [解析]因为函数x)=alnx十bx十cx2(a≠0)，所以函数x)的定义域为(0，十∞)，fx) =ax2一bx一2c3,因为函数fx)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程a2-bx一2c=0 有两个不等的正实根x1,,则4>0x1十x2>xlx2>0,即b2+8ac>0ba2ca)>0,所以b2+8ac >0ab>0ac<Obc<0.故选BCD [答案]BCD 2.(多选题)(2024新课标1卷)设函数x)=(c一1)2(x一4)，则() A.x=3是x)的极小值点 B.当0<1时，)x2) C.当1x<2时，-4<f2x-1)<0 D.当-1x<0时，2-x)Px) [分析求出函数x)的导数，得到极值点，即可判断A:利用函数的单调性可判断B: 根据函数x)在(1,3)上的值域即可判断C,直接作差可判断D [解析]因为函数x)的定义域为R,而f)=2(x-1)-4)+(c一1)2=3(x-1)x一3)， 易知当x∈(1,3)时，fx)<0,当x∈(-∞，1)或x∈(3，十∞)时，fx)>0,函数x)在(-∞， 1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，十∞)上单调递增，故x=3是函数fx)的极小值 点，A正确：当0<x<1时，x一x2=x(1一x)>0,所以1>xx20,而由上可知，函数fx)在(0， 1)上单调递增，所以fx)>x2),B错误：当1x2时，12x-1<3,而由上可知，函数x)在(1， 3)上单调递减，所以1)≥2x-1)>3),即-4<2x一1)<0，C正确：当-1x<0时，2-x) 一x)=(1一x)2(-2-x)-x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,所以2-x)>x),D正确：故选 ACD. [答案]ACD 3.(多选题)(2024新课标Ⅱ卷)设函数fx)=2x3一32+1，则() A.当>1时，fx)有三个零点 B.当a<0时，x=0是x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=fx)的对称轴 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D.存在a,使得点(1,1)为曲线y=fx)的对称中心 [分析]A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=α，根据零点存在定理和极值的符 号判断出x)在(-1,0)，(0，a),(a,2a上各有一个零点：B选项，根据极值和导函数符号 的关系进行分析：C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为x)的对称轴，则x)=f (2b一x)为恒等式，据此计算判断：D选项，若存在这样的a,使得(1,3-3a)为fx)的对称中 心，则x)+2一x)=6一6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. [解析]f()=6x2-6ax=6r(c-a),由于a>l,故x∈(-∞，0)U(a,+∞)时f(x)>0,故 x)在(-∞，0)，(a,+∞)上单调递增，x∈(0，a)时，fx)<0,fx)单调递减，则x)在x=0 处取到极大值，在x=a处取到极小值，由f0)=1>0,fa)=1一a3<0,则f0)a)0,根据零 点存在定理x)在(0，a)上有一个零点，又-1)=-1-3a<0,2a)=4a3+10,则-1) f0)0,a2a)<0,则x)在(-1,0)，(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，x)有三个零 点，A选项正确：f(x)=6x一a),a<0时，x∈(a,0),fx)0,x)单调递减，x∈(0，十∞) 时fx)>0,x)单调递增；此时fx)在x=0处取到极小值，B选项错误：假设存在这样的a, b,使得x=b为x)的对称轴，即存在这样的a,b使得fx)=2b-x),即2x3-32+1=2 (2b-x)3-3(2b一x)2+1,根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C33 (2b)(一x)3=一2x3,于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，所以不存 在这样的a,b,使得x=b为fx)的对称轴，C选项错误： 法一：利用对称中心的表达式化简1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为fx) 的对称中心，则fx)+2-x)=6-6a,事实上，fx)+f2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a (2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24x+18-12a,于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18 12a. 即12-6a=0,12a-24=0,18-12a=6-6a,解得a=2,即存在a=2使得(1,1)是 x)的对称中心，D选项正确. 法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，x)=2x3一3x2+1, fx)=6x2-6a,f"(x)=12x-6a,由'(x)=0台x=a2,于是该三次函数的对称中心为 avs4 alcol(f(a\rcV2)),由题意(1,1)也是对称中心，故a2=1台a=2,即存在a=2使得(1， 1)是x)的对称中心，D选项正确.故选AD [答案]AD 4.(2025·新高考川卷)若x=2是函数x)=(c-1)c一2)cx-a)的极值点，则f0)= [解析]由题意有fx)=(c-1)c-2)x-a), 所以f6x)=(c-ac-1)+(c-1)x-2)+(c-a)x-2), 因为2是函数fx)极值点，所以f(2)=2-a=0,得a=2, ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当a=2时，f(x)=2x-2)c-1)十(x-2)2=(c-2)3x-4), 当x∈lavs4 alcol(-oo,f43),f6x)>0,fx)单调递增， 当x∈laws4 alcol0f43),2),fx)0,fx)单调递减， 当x∈(2，+∞)，fx)>0,x)单调递增， 所以x=2是函数fx)=(c一1)x一2)x一a)的极小值，点，符合题意； 所以0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4 [答案]-4 5.(2024新课标Il卷)已知函数x)=e-ax-a3 (1)当a=1时，求曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程； (2)若x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. [分析](1)求导，结合导数的几何意义求切线方程： (2)法一：求导，分析α≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2 十lna-1>0,构建函数解不等式即可；法二：求导，可知fx)=e一a有零点，可得a>0,进 而利用导数求x)的单调性和极值，分析可得a2+na一1>0，构建函数解不等式即可. [解析](1)当a=1时，则fx)=ex一x一lx∈R),f)=ex-1, 可得1)=e-2,f1)=e-1, 即切点坐标为(1，e一2)，切线斜率k=e一1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)-1), 即(e-1)x-y-1=0 (2)法一：因为fx)的定义域为R,且f(x)=ex-a, 若a≤0，则fx)>0对任意x∈R恒成立， 可知x)在R上单调递增，无极值，不合题意： 若a>0,令f(x)>0,解得x>na: 令f(r)<O,解得x<na; 可知fx)在（一∞，na)内单调递减，在(na,+o)内单调递增，则x)有极小值flna) =a-alna-a3,无极大值， 由题意可得fna)=a-ana-a3<0, 即a2+lna-1>0, 构建g(a=a2+lna-1(a>0), 则g'(a)=2a+1a0, 可知g(a)在(0，十∞)内单调递增，且g(1)=0, 不等式a2+lna-l>0等价于于g(a)>g(1),解得a>l,所以a的取值范围为(1，+∞)： 法二：因为fx)的定义域为R,且fc)=e一a, ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 若fx)有极小值，则fx)=e一a有零，点， 令fx)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点，则a>0, 若a>0,令fx)>0,解得x>lna: 令fc)<O,解得x<lna: 可知x)在(-∞，lna)内单调递减，在(na,+∞)内单调递增， 则)有极小值lna)=a一alna一a3,无极大值，符合题意， 由题意可得fna)=a-alna-a<0, 即a2+na-1>0, 构建g(a=a2+lna-1,a>0, 因为则y=a2,y=lna-1在(0，十∞)内单调递增， 可知g(a)在(0，十∞)内单调递增，且g(1)=0, 不等式a2+na-1>0等价于g(a)>g1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1，十∞) [答案](1)e-1)x-y-1=0(2)1,+∞) 6.(2025北京卷T20节选)已知函数x)的定义域是（一1，+∞），0)=0，导函数fx) =ln(1+x)1十x,设☑1是曲线y=f)在点A(a,(a)(a≠0)处的切线. (1)求x)的最大值： (2)当-1<a<0时，证明：除切点A外，曲线y=x)在直线1的上方. [解](1)设gx)=fx)>-1), g'x)=11+x)-n(1+xl+x=1-ln(1+xJ1十x2, 由g'(x)=0可得x=e-1, 当x∈(-1，e一1)时，g'(x>0,gx)单调递增， 当x∈(e-1,+∞)时，g(x)<0,gx)单调递减， 所以fx)的最大值为f(e-l)=le. (2)因为f(a)=ln1+a)1+a, 所以直线1的方程为 y-fa)=in (1+a)1+a(x-a), 即y=in(1+al十ax-a)+a), 设hx)=x)-n(1+a1+ac-a十ffa), h'(x)=In (1+x)1+x-In (1+a)1+a =f(x)-f(a), 由(1)可知，fx)在x∈(-1，e-1)上单调递增，而-1<a<0, ·独家授权侵权必究