第二章 第四节 二次函数与幂函数-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案围绕二次函数与幂函数核心考点，按定义、图象、性质、应用逻辑层次展开，通过考点梳理明确幂函数五种形式及二次函数图象性质，方法指导提炼常用结论与解题策略，真题训练结合考题体验与真题演练，分层练习设置课时作业，帮助学生系统构建知识网络突破难点。 教案注重数学思维与数学眼光培养，如通过“幂函数是否过第四象限”思考辨析引导观察函数本质，例2作图解不等式培养直观想象与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节 二次函数与幂函数 教材梳理 ④ 知识点1幂函数 (I)幂函数的定义：形如y三x(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是 常数 (2)五种幂函数的图象 (3)五种幂函数的性质 函数式 定义域 值域 y=x R R y=x2 R [0,+∞) =x3 P R y=x [0,+∞) [0,+∞) y=x {xx∈R,且x≠0} yy∈R,且y≠0} 思考：幂函数的图象能经过第四象限吗？ 提示：不能.因为当心0时，y=>0. 知识点2二次函数的图象与性质 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减在x∈上单调递增，在x∈上单调递减 奇偶性 当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 坐标 对称性 图象关于直线x=一对称 思考：函数fx)=ax2+bx十c(a≠0)一定在顶点处取到最大（小）值吗？ 提示：不一定.因为最值的取得还与自变量的取值区间有关，当x=-不在自变量的取 值区间内时，则最值就不能在顶点处取到 [常用结论] 独家授权侵权必究 亨学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.幂函数的性质 (1)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (2)当>0时，y=x在[0，+∞)上为增函数； 当a<0时，y=x在(0，十∞)上为减函数， 2.关于二次函数的几个常用结论 (I)函数x)=a(x一h)+k(a>0),x∈p,g]的最值.若h∈p,g],则x=h时有最小值 k,最大值是p)与fg)中较大者：若hp,q小，则p),fg)中较小者为最小值，较大者为 最大值 (2)若x)=ax2+bx+c(a≠0)， ①当时，对x∈R恒有x)>0, ②当时，对x∈R恒有x)<0, 诊断自测 >>>>)3 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“X”) (1)函数y=2x是幂函数.() (2)当心0时，幂函数y=x在(0，十∞)上是增函数.() (3)二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.() (4)二次函数y=ax2+bx十c(x∈[a,b])的最值一定是.() [解析(1)由于幂函数的解析式为x)=x,故y=2x不是幂函数，(1)错误 (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x=-,当-不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误 [答案](1)×(2)V(3)×(4)× 教材衍化 2.(24一25高一下·河北保定·期末)若函数fx)=(m十2)x2m为幂函数，则函数fx)在定义 域内为() A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 [解析]因为函数x)=(m+2)x2m为幂函数，所以m+2=1,得m=-1,所以x)=x2 =，定义域为{xx≠0；，因为(-x)===x),所以fx)在定义域内为偶函数，故C错误，D 正确；根据幂函数的性质知x)=x2在(0，+∞)单调递减，又x)在定义域内为偶函数，所 以fx)=x2在(-o∞，0)单调递增，故A错误，B错误.故选D. 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]D 3.已知函数fx)=一2x2+mx+3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为 [解析]fx)=-2x2+x+3=-2++3,.0≤m≤4，∴.0≤≤1，.当x=时，fx)取得最 大值，.+3=4，解得m=2. [答案]2 考题体验 4.(2024青岛·联考)不等式(x2+1)>(3x十5)的解集为() A.U(4,+∞) B.(-1,4) C.(4,十∞) D.(-∞，-1)U(4,+∞) [解析]不等式(x2+1)>(3x+5)等价于x2+1>3x+5≥0，解得-≤x<-1或x>4.所以原不 等式的解集为U(4,+o∞). [答案]A 5.(2025高二上北京学业考试)已知a=,b=,c=23,则( A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a [解析]由幂函数y=x为R上的增函数，且<2，所以<2，即b<a<C,故选A. [答案]A 典例精讲 >>>>>> [例1]已知二次函数x)同时满足条件： ①1+x)=1-x): ②x)的最大值为15： ③x)=0的两根立方和等于17，求x)的解析式. [自主解答]由1+x)=1-x),知fx)图象关于x=1对称，又其最大值为15， .设fx)=a(x-1)2+15(a≠0) 即fx)=ax2-2ax+a+15 设x)=0的两根为，2， 则1+2=2，xx2=1+ 而x+x=(x1+2)3-3x2x1+x2)= 独家授权侵权必究 亨学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 23-32=2- .2-=17,即a=-6 .fx)=-6x2+12x+9. [解题心得]求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给 出的条件，根据二次函数的性质进行求解. [例2](24-25高一上·上海宝山·期中) (1)作出幂函数y=x的图象： (2)根据(1)的结论观察图象，解不等式：(x一1)≤(2x+1). [思路点拨](1)结合幂函数的性质作出函数图象， (2)利用幂函数的图象性质求解不等式. [自主解答](I)幂函数y=x的定义域是R,（-x)===x,函数y=x是偶函数， 其图象关于y轴对称，在[0，+o)上单调递增， 函数y=x的图象，如图： (2)由(1)知，不等式(x-1)≤(2x+1)台x-1川≤2x+1川台x-1川≤2x+1,因此(x-1)2≤(2x +1)2,整理得3x2+6x≥0，解得x≤-2或x≥0，所以原不等式的解集为(-∞，-2]U[0, +∞) [解题心得]二次函数fx)=ax2+bx十c(a>0)在区间[m,m上的最值： (1)当-<m时，函数在区间[m,n上单调递增，最小值为m),最大值为f): (2)当m≤-≤n时，最小值为f=,最大值为m)或fn: (3)当一>n时，函数在区间[m,m上单调递减，最小值为n),最大值为fm) [例3引已知幂函数f(x)=x--3(m∈N)的图象关于y轴对称，且在0，十o)上 是减函数，求满足(a+1)<(3-2a)的实数a的取值范围， 思路点拨1由f(x)=x-33(m∈N*)的图象关于y轴对称知㎡-2m-3为偶数， 又x)在(0，+∞)上是减函数，∴m2-2m-3<0,从而确定m的值，再由函数x)的单调性 求a的取值范围 [自主解答]函数fx)在0，+∞)上单调递减 .m2-2m-3<0,解得-1<m<3. m∈N,∴m=1或2 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又函数fx)的图象关于y轴对称， m2-2m-3是偶数 而22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数，∴m=1. 令gx)=x,gx)=x在(-∞，0)，(0，+∞)上均为减函数， .(a+1)<(3-2a)等价于a+1>3-2a>0,或0>a+1>3-2a,或a+1<0<3-2a.解 得a<-1或<a<. 故a的取值范围为 [解题心得](1)幂函数的形式是y=x(a∈R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件 即可确定其解析式。 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”）， 在区间(1，十∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴， [例4](24-25高一上·上海金山期中)已知幂函数y=x(m∈R)经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域： (2)已知点A(a十2，y),点B(3-2a,y2)(a∈R)在此幂函数的图象上，且满足ySy2,求 实数a的取值范围. [思路点拨](1)依题意可得4”=，求出m的值，即可求出函数解析式及定义域； (2)首先判断函数的单调性，即可得到a+2>3-2a>0,解得即可， [自主解答](1)，幂函数y=x(m∈R)经过点， .4"=,即22m=21,解得m=-, ..y=xi 因为y=x=, 所以y=x的定义域为(0，+∞). (2)由于函数y=x在其定义域(0，+o∞)上单调递减，又因为点A(a+2,y),点B(3- 2a,y)(a∈R)在此幂函数的图象上，且满足yy2,可得a+2>3-2a>0,解得<a<,所以 a∈ 高考再现 1.(上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是() A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x [解析]对选项A,则有x≠0，对选项B,则有x>0,对选项C,定义域为R,对选项 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D,则有x≥0，故选C. [答案]C 2.(天津卷)若a=1.015,b=1.01.6,c=0.65,则a,b,c的大小关系为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c [解析]因为函数x)=1.01'是增函数，且0.6>0.5，所以1.01.>1.015，即b>a;因为 函数h()=x5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.015>0.65，即a>c.综上， b>a心C.故选D. [答案]D 3.(全国甲卷（文）已知函数f(x)=e- ”.记a=大，b=fc=f则() A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b [解析]函数f)=e-(x-1)是由函数y=e“和u=-(x-1)2复合而成的复合函数，y= e“为R上的增函数，u=-(x-1)在(-o∞，1)上单调递增，在(1，+oo)上单调递减，所以由 复合函数的单调性可知，x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.易知fx)的 图象关于直线x=1对称，所以c=f=f,又<2-<1，所以ff,所以b>c>a,故选A. [答案]A 4.如图，正方形OABC的边长为a(a>1),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函数y=x 的图象交BC于点P,则当AQ+CP最小时，a的值为 。 [解析依题意得Q,P,则AQ+|CP列=+=+，记=t(>1),)=AQ+|CP,则f)= +，所以f0=+≥2，当且仅当=，即=时取等号，此时a= [答案] 5.已知y=fx)是奇函数，当x≥0时，x)=x,则一8)的值是 [解析8)=8=4，因为fx)为奇函数，所以-8)=-f8)=-4. [答案]-4 6.(山东卷)若函数fx)=a(a>0,a≠1)在[一1,2]上的最大值为4，最小值为m,且函 数g(x)=(1一4m)在[0，+∞)上是增函数，则a=· 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]当a>1时，有d2=4,al=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数，不合 题意.若0<a<1,则a=4,a=m,故a=,m=,检验知符合题意 [答案] 课时作业（九） 1.(24一25高二下广西南宁.期末)“m=-1”是“fx)=(m2-m一1)x2m3为幂函数”的 条件.() A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 [解析]当m=-1时，fx)=x5为幂函数，故充分性满足；当fx)=(m2-m-1)x2m3为幂 函数时，m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1,故必要性不满足，所以 “m=-1”是“fx)=(m2-m-1)x2m3为幂函数”的充分不必要条件.故选A. [答案]A 2.以下命题正确的是() ①幂函数的图象都经过(0,0) ②幂函数的图象不可能出现在第四象限 ③当n=0时，函数y=x的图象是两条射线（不含端点） ④x)=x3是奇函数，且x)=x3在定义域内为减函数 A.①② B.②④ C.②③ D.①③ [解析]幂函数y=x不经过原点，所以①不正确；形如y=,a∈R的函数是幂函数， 当x>0时，y>0,所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；y=x'的定义域是 {xx≠0；，y=1,所以n=0时，y=x的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；fx)=x 是奇函数，函数的定义域是(-∞，0)U(0,+∞)，函数在(-∞，0)是减函数，在(0，+∞) 也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选C [答案]C 3.(24一25高二下山东日照·期末)函数y=x的大致图象为() s up70 s up70 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 s\up70 s\up70 [解析]函数y=x是幂函数，定义域为R,是偶函数，图象关于y轴对称，排除D;由 0<<1,得函数y=x在(0，+∞)上单调递增，排除C;且当>1时，函数y=x的图象在y=x 下方，排除A,选项B符合要求.故选B. [答案]B 4.已知0<x<2,则函数y=x的最大值是( A. B.- C. D. [解析]因为y=x=~x2+x表示对称轴为x=1,开口向下的抛物线且x∈(0,2)，所以 当x=1时y取最大值1×=，故选C. [答案]C 5.(2025·河南驻马店·模拟预测)已知幂函数x)=(m2+m一1)x"的图象与坐标轴无公共 点，则m=() A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或2 [解析]因为fx)为幂函数，所以m2+m-1=1,即m2+m-2=0,解得m=-2或m= 1.当m=-2时，x)=x2=,其定义域为{x≠0；，图象与坐标轴无公共点，符合题意；当 m=1时，fx)=x,其图象与坐标轴有公共点，不合题意.综上，m=-2故选A. [答案]A 6.(2024北京大兴·期中)已知fx)=x2一2kx十32一3k+1(k∈R).给出下列四个命题： ①对任意实数x,存在k,使得fx)>0:②对任意k,存在实数x,使得fx)>0:③对任 意实数k,x,均有fx)>0成立；④对任意实数k,x,均有x)<0成立.其中所有正确命题的 序号是() A.①② B.②③ C.①③ D.②④ [解析]令fx)=x2-2x+3k2-3k+1=0,所以4=(2)2-4(3k2-3k+1)=-42k-1)k -1),因为二次函数x)图象为开口向上的抛物线，所以对任意k,总存在x使得x)>0,故 ②正确，④错误；因为当k∈U(1,+∞)时，4=-4(2k-1)k-1)<0,所以方程x2-2kx+ 32-3k+1=0,无解，所以x)=x2-2x+32-3k+1>0恒成立，故①正确；因为当k∈时， 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4=-4(2k-1)k-1)≥0，所以方程x2-2+32-3k+1=0,有一根或两根，所以对任意 x,x)>0不恒成立，故③错误.故选A. [答案]A 7.(24一25高一上·浙江杭州期末)如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为() 2 0 A.y= B.y- C.y- D.y=x [解析y=,定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，当x<0时，y=<0,不符合题意，排除 A;当x=0时，y==0,不符合题意，排除B;y=,定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，函数 为偶函数，且y=在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增，符合题意；y=x,当x =0时，y=0,不符合题意，排除D故选C. [答案]C 8.(2024安徽合肥·高一统考·期末)已知a=2,b=3,c=25,则() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b [解析由a=2=,b=3=,c=25=,所以b<a<c.故选A. [答案]A 9.己知二次函数x)满足2+x)=2一x),且fx)在[0,2]上是增函数，若f孔)≥f0), 则实数a的取值范围是() A.[0,+∞) B.(-∞，0] C.[0,4] D.(-∞，0]U[4,+∞) [解析]由f2+x)=f2-x)可知，函数fx)图象的对称轴为x==2,又函数x)在[0,2] 上单调递增，所以由a)≥0)可得0≤a≤4. [答案]C 10.抛物线y=ax2+bx十c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧， 则a,b,c的取值范围是() A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c<0 [解析]由题意，抛物线开口向下，故α<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 侧，得ac<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0，所以b>0. [答案]B 11.(24一25高一上·天津·期中)函数fx)=(m2-m-1)x2m为幂函数，若函数在R上单调 递增，则实数m= [解析]由题设m2-m-1=1→m2-m-2=(m+1)(m-2)=0,可得m=-1或m=2, 当m=-1,x)=x3显然在R上不是增函数，不满足； 当m=2,x)=X在R上单调递增，满足 所以m=2. [答案]2 12.(2024陕西咸阳·高一统考·期末)已知幂函数fx)=(m2-2m一2)x"满足2)3)，则 m= [解析]因为函数fx)=(m2-2m-2)xm为幂函数，则m2-2m-2=1,解得m=3或m= -1,又因为2)<3)，所以m=3. [答案]3 13.(2025·江苏常州·期末)若二次函数x)=mx2+x一m在区间（一∞，1）上是单调增函数， 则实数m的取值范围是 [解析]·函数fx)为二次函数，∴m≠0.，函数fx)=mx2+x-m在区间(-o∞，1)上是单 调增函数，∴解得-≤m<0,·实数m的取值范围是， [答案] 14.(24一25高二下·上海浦东新·期末)已知a∈，函数y=x在（一∞，0）上单调递增，其 图象不过坐标原点，则= [解析]因为幂函数图象不过坐标原点，则α<0， 当a=-,fx)=x°=的定义域为0，+o),不合题意； 当a=-,fx)=x=在区间(-o∞，0)上单调递减，不合题意； 当a=-2,x)=x2=,因为x2在区间(-∞，0)上单调递减，所以y=在区间(-∞，0) 上单调递增，符合题意； 综上所述，a=-2. [答案]-2 独家授权侵权必究