第二章 第五节 指数与指数函数-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦指数与指数函数核心考点，按“根式-分数指数幂-指数函数性质-复合函数应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、辨析判断、例题精讲、真题演练环节，帮助学生突破指数运算、单调性分析等难点，构建系统知识网络。 教案突出数学思维培养，如通过复合函数单调性分析（例2结合二次函数与指数函数性质）发展推理能力，设置分层练习（基础题到综合题）和即时反馈（易错点解析）。融入真题情境提升实战能力，助力教师把控复习节奏，有效提升学生用数学语言表达和解决问题的应考能力。

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节 指数与指数函数 教材梳理 >>>>> ④ 知识点1指数与指数运算 1.根式的性质 (1)0=a(a使有意义). (2)当n是奇数时，=a:当n是偶数时，=@_= 2.分数指数幂的意义 (1)a=(a>0,m,n∈N,且n>1). (2)a==(a>0,m,n∈N,且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aa=d+(a>0,r,s∈Q) (2)(a)'=^(a>0,r,s∈Q). (3)(aby"-a'b(a>0,b>0,rEQ). 知识点2指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 yF↑y ↑y y=a (0,1) 图象 0,1》.y=1 -.…y=1 0 →x x 定义域：R 值域：0，土∞) 当x=0时，y=1,即过定点(0，) 性质 ①当>0时， 0≤y≤1： ②当心0时，>1： 当x<0时，>1 当x<0时， 0≤y1 在R上是诚函数 在R上是增函数 [常用结论] 1.指数函数的图象与底数大小的比较 (2) (3) (1 (4) 在第一象限内，指数函数y=π(a>0,a≠1)的图象越高，底数越大. 2.指数函数y=a(a>0,a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1与 0<a<1来研究. 独家授权侵权必究 亨学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)=-4.() (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.() (3)函数y=2是指数函数.() 4函数y=a1(a>1)的值域是0，+∞() [解析](1)由于==4，故(1)错误 (2)当<1时，不可以，故(2)错误. (3)由于指数函数解析式为y=d(a>0,且a≠1)， 故y=2不是指数函数，故(3)错误 (4)由于x2+1≥1，又a>1,∴.ax2+1≥a. 故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞)，(4)错误. [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 教材衍化 2.(24一25高一上·全国课前预习)下列各函数中，是指数函数的是() A.y=x3 B.y=(-4) C.y=5 D.y=524 [解析]根据指数函数的定义形如y=r'(a>0且a≠1)为指数函数判断：y=x为幂函数， 故A错误；y=(-4)中-4不能作为底数，故B错误；y=51=5×5中系数不为1，故C错 误；y=52=25是指数函数，故D正确；故选D. [答案]D 3.(2024浙江丽水·高二统考期末)已知a,b∈R,则“2>2是“<”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [解析]取a=2,b=-1,可知2>2，但是>0>，所以，由2>2推不出<；取a=- 1,b=1,可知<0<，但是2<2，所以，由<推不出2>2所以，“2>2是“<”的既不充分 也不必要条件.故选C 独家授权侵权必究 亨学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]C 考题体验 4.(24一25高一上·天津期中)函数x)=-b的图象如图所示，其中a,b为常数，则下 列结论正确的是() A.a>1,b<0 B.>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 [解析]由于fx)=ab的图象单调递减，所以0<a<1,又因为0<f0)<1,所以0<ab<1 =a°，即-b>0,b<0故选D. [答案]D 5.(2024合肥·冲刺)若0<b<a<1,则，b,a,b中最大的是() A.ab B.ba C.a D.b [解析].0<b<a<1,∵指数函数y=m和y=b均为减函数，∴.a,b<b,.幂函数y =x在(0，+oo)上为增函数，∴.a>b,即a,b,,b中最大的是a. [答案]A 典例精讲 [例1]化简下列各式（其中各字母均为正数）. 9a1·6.a克.b位 (1) a·b (2)+22×-(0.01)5 [思路点拨](1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用 法测计算： (2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行 下去，如不符合应再假设条件去求， [自主解答] a3·bg·a2·b2 (1)原式= a·b号 =a3--.b位+号-音=1 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)原式=1+×-=1+×-=1+-=. [解题心得](1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法 则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定序号，再把底数化为正数， (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 [例2](24一25高-下河北保定·期中)函数f(x)=3“5的单调递减区间是 [思路点拨]利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区间， [自主解答1函数f()=3的定义域为R,令u=X-4r-5,函数u=r-4r-5 对称轴为x=2,所以在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，函数y=3“在R上单 调递增，因此函数fx)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以函数 f(x)=3:-5的单调递减区间是(-∞，2). [答案](-∞，2) [解题心得](1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过 这些点，若不满足则排除。 (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平 移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数α与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求 解 [例3】(24-25高-下安徽开学考试)已知函数f(x)=3+ar-4(a∈R) (I)当a=一1时，求函数fx)的单调区间： (2)若Vx∈R,x)≤恒成立，求a的取值范围 [思路点拨](1)根据复合函数的单调性，即可求解； (2)根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解： [自主解答】(1)当a=-1时，f(x)=3-x-4 令t=-x2-2x-4,易知其单调递增区间为(-∞，-1)，单调递减区间为(-1，+∞) 又y=3为增函数，所以f()=3-x4 的单调递增区间为(-∞，·1)，单调递减区 间为(-1，+∞). (2)Nx∈R,≤恒成立，即=3+-4≤=3恒成立，所以-2+2ar-4≤-2， 即x2-2ax+2≥0恒成立，所以4=4a2-8≤0，解得-≤a≤，所以a的取值范围为-，]. 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]1.函数y=a的定义域与y=fx)的定义域相同， 2.(1)函数y=a的值域的求解，先确定fx)的值域，再根据指数函数的单调性，确定y =a的值域， (2)通过换元能转化为一元二次函数的，可利用一元二次函数求值域或最值. 3.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域： (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的： (3)分层逐一求解函数的单调性： (4)求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）， 4.利用指数函数的单调性可以比较或应用同底数幂值的大小， 高考再现 >>>>>> 1.(全国乙卷（文）)已知x)=是偶函数，则a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 [解析]x)的定义域为{xk≠0}且a≠0，因为x)是偶函数，所以fx)=f-x),即= 即el-ar-e=-ea-r+et,即elar+ea-lr=e+ex,所以a-1=士l,解得a=0(舍去)或a= 2,故选D [答案]D 2.(2024天津卷)若a=4.203,b=4.23，c=log420.2,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b-a-c C.c>a>b D.b>c>a [分析]利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. [解析]因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.203<4.2<4.23，所以0<4.2 3<1<4.23,即0<a<1<b,因为y=log42x在(0，+∞)上递增，且0<0.2<1，所以 l0g420.2<log42l=0,即c<0,所以b>a>C,故选B. [答案]B 3.(2025·上海卷)设a>0,s∈R.下列各项中，能推出>a的一项是( A.>1,且s>0 B.>1,且s<0 C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s>0 [解析].a>0,a>a,'.a>l=a°，当a∈(0,1)时，y=a定义域上严格单调递减，此 时若s-1<0,则一定有m>1=成立，故D正确，C错误；当a∈(1，+o)时，y=定义 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 域上严格单调递增，要满足>1=a°，需s>l,即A、B错误.故选D [答案]D 4.(山东卷)已知函数y=fx)是偶函数，当x∈(0，十∞)时，y=(0<a<1),则该函数 在（一∞，0）上的图象大致是( ) [解析]当x∈(0，+∞)时，y='(0<a<1),所以x)在(0，+o∞)上递减，fx)是偶函数， 所以fx)在(-oo,0)上递增.注意到a°=1，所以B选项符合.故选B. [答案]B 5.(江西卷)已知函数x)=(a∈R),若一1)=1，则a=() A. B. C.1 D.2 [解析]由题意得-1)=2w=2,所以-1)=2)=a2=4a=1,解得a=.故选 A. [答案]A 6.(2024北京卷)已知(1，y),(x2,2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则( A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1十x2 [分析]根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可 [解析]由题意不妨设<2，因为函数y=2是增函数，所以0<2'<2，即 25+2212=2 x1十x2 0yy2,可得2 ，即>2>0，根据函数y=log2x是增函数，所以 1og2>log2=,故B正确，A错误；例如=0,2=1，则yM=1,2=2,可得1og2= log2∈(0,1)，即1og2<1=x+,故D错误；例如x=-1,3=-2,则y1=,2=,可得 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 log2=log2=log23-3∈(-2，-1)，即1og2>-3=x1+x2,故C错误.故选B. [答案]B 课时作业（十） 1.(2024湖南长沙·阶段练习)计算（一64）+[(-3)]-(-1)°+=() A. B.- C. D. [解析(-64)+[(-3)门-(-1)°+=(-4)+(3)-1+=-4+3-1+=-故选C. [答案]C 2.(2025高一上·全国专题练习)函数y=3一1的定义域为[-1,2]，则函数的值域为( A.[2,8] B.[0,8] C.[1,8] D.(-1,8] [解析]因为x∈[-1,2]，所以0≤x≤2即1≤3≤9，则0≤3州-1≤8，所以函数y= 3-1的值域为[0,8]故选B. [答案]B 3.设函数y=x)的图象向左、向下分别平移2个单位，得到函数y=2的图象，则( A.fx)=22+2 B.fx)=22-2 C.x)=22+2 D.fx)=22-2 [解析]y=2向上平移得到y=2+2再向右平移2个单位fx)=22+2, [答案]A 4.(24-25高二下.福建福州期末)已知a=1.5.6,b=1.5.7,c=0.7.6,则a,b,c的大 小关系是() A.a>b-c B.c>a>b C.b-a>c D.b>c>a [解析]因为y=1.5是增函数，又0<0.6<0.7，所以b>a>1,又因为y=0.7严是减函数， 所以c=0.76<0.7°=1，则b>a>c,故选C. [答案]C 5.(24-25高二下·河北石家庄·期末)若函数y=m+b-1(a>0,a≠1)的图象经过第二、 三、四象限，则一定有( A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0 C.0<a<1,且b<0 D.a<1,且b>0 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]已知函数y=㎡+b-1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所 以可得0<a<1 指数函数y=过定点(0,1)，则函数y=+b-1过定点(0，a°+b-1),即(0，b) 因为函数y=+b-1的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与y轴的 交点在y轴负半轴上，即a+b-1<0→b<0 综上分析，可得故选C. [答案]C 6.(2024河北邯郸·高二统考·期末)已知函数x)是定义在R上的奇函数，当>0时， fx)=e2+2x-5,则不等式xfx)>0的解集是() A.(-2,0)U(2,+∞) B.(-∞，-2)U(0,2) C.(-2,0)U(0,2) D.(-∞，-2)U(2,+∞) [解析]如图，当x>0时，x)=e2+2x-5,因为函数y=e2,y=2x-5在(0，+∞)上 分别单调递增，可得fx)在0，+∞)上单调递增，且2)=0.因为f孔x)是定义在R上的奇函数， 所以x)在(-∞，0)上单调递增，且-2)=0.由xx)>0,得或解得x<-2或x>2.则不等式 x)>0的解集是(-∞，-2)U(2,+o∞)故选D y 2 2-9123 -4 -59 [答案]D 7.(2024山东潍坊·三模)已知函数y=(a>0且a≠1)的图象如右图所示，则下列四个 函数图象与函数解析式对应正确的是() 独家授权侵权必究 亨学科网书城 第方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y=llog xl 012x [解析]由图可得a=2,即a=2,y=ax=单调递减过点(-1,2)，故A正确；y=xa =x2为偶函数，在(0，+o∞)上单调递减，在(-o∞，0)上单调递增，故B正确；y=a=2= 为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y=log。x=log2x,根据“上不动、下翻上”可 知D正确.故选ABD, [答案]ABD 8.(24一25高二下·北京朝阳期末)已知a,b为非零实数且a<b,则() A.> B.> C.ab D.3>3-b [解析]取a=-1,b=1,满足a<b,而=-1<1=，=-1=，a=-1<1= b,A、B、C错误；由a<b,得-a>-b,因此3>3b,D正确.故选D. [答案]D 9.(2024重庆·期末)已知函数x)的定义域为[1，+∞)，则函数gx)=的定义域为( A.(1,十∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) [解析]g(x)=的定义域满足解得x>0,故选C. [答案]C 10.(24一25高二下·江西上饶期末)已知a,b是实数，则“a<b<0”是“2026<2026， 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]当a<b<0时，函数y=2026在(-∞，0)单调递增，∴2026“<2026，故充分性 成立.当2026<2026时，函数y=2026在R单调递增，∴.a<b,但不能推出a<b<0,故必 要性不成立. .a<b<0是2026<2026的充分不必要条件.故选A. [答案]A 11.(24一25高一下·云南昭通期末)已知函数x)=为奇函数，则a= [解析]由题设，函数定义域为R,则O)==0,可得a=-1,所以fx)=,则-x) ==-=-x),满足题设 [答案]-1 12.(2024天津河北·高二统考期末)已知a>0,b>0,且2.4=(2)，则a+b的最小值为 [解析]因为24=(2a,所以222b=2b,即2a*2b=2b,则a+2b=ab,所以+=1， 又a>0,b>0,所以a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2，当且仅当=，即a=b=2+时，等 号成立.则a+b的最小值为3+2. [答案]3+2 13.(2024北京延庆·期末)函数y=的值域为 [解析]若-1≤x≤0，则y=x=,可知y=x在[-1，O]内单调递减，当x=-1时，y= 1;当x=0时，y=0;所以0≤y≤1；若0<x≤2，则y=,对于y=,x∈R,可知y=在R内 单调递增，当x=0时，y=1；当x=2时，y=；所以当0<x≤2时，1y≤；综上所述，函数 y=的值域为 [答案] 14.(24一25高一上·北京·期中)已知x)=2,gx)=x+1,则不等式x)>g(x)的解集为 [解析在同一坐标系内作出函数y=x),y=g(x)的图象，如图， y=f(x) y=g(x)o 观察图象知，当x<0或x>1时，x)>g(x), 所以不等式fx)>g(x)的解集为 独家授权侵权必究