第三章 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学教案围绕同角三角函数基本关系与诱导公式两大高考核心考点，按“公式梳理-结论拓展-易错辨析”逻辑架构知识点，通过考点精讲、方法归纳、真题演练等环节，帮助学生构建知识网络，突破符号判断、切弦互化等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料以“数学思维”与“运算能力”培养为特色，创新采用口诀记忆法（如诱导公式符号判断口诀）和转化策略，例如在已知sinα+cosα求tanα时，通过平方关系构建方程求解，培养学生逻辑推理能力。设置分层练习（基础巩固、真题体验、综合提升），配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供实用指导。

草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 教材梳理 >>>>>> 知识点1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1; (2)商数关系：tana=sin acosa. 知识点2三角函数的诱导公式 公式 三 四 五 六 2kπ+a(k∈ 角 π+a -a 元-u π2-a π2+a D 正弦 sin a -sin a -sin a sin a cos a cos a 余弦 cos a cos a cos a -cos a sin a sin a 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 [常用结论] 1.若a∈laws4 allcol(0,fz2,则tan aa sin a. 2.同角三角函数的基本关系的几种变形 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cosa)(1-cos a);(sin atcos a)2=1+2sin acos a. (2)sin a=tan acos alaws4lallcol(at(2)+kn,kEZ) (3)sin2a=sin2asin2a+cos2a=tan2atan2a+1. cos'a=cos2asin2a+cos2a-Itan2a+1. 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)若a,B为锐角，则sin2a+cos2B=1.() (2)sin(π+a)=-sina,成立的条件是a为锐角.() (3)若a∈R,则tana=sin acos af恒成立.() (4)若sin(km-a)=13k∈Z,则sina=13.( [解析](1)对任意的角a,sin2a+cos2a=1. (2)中对于任意a∈R,恒有sin(元十a)=-sina (3)中当a的终边落在y轴上时，商数关系不成立. (4)当k为奇数时，sina=13, 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当k为偶数时，sina=一l3 [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 教材衍化 2.(24-25高一下·贵州遵义期末)已知tana=3,0<a<π2，则sina=() A.10)10 B.10)10 C.-10)10 D.-10)10 [解析]因为0<a<π2，故a是第一象限角，因此sina>0且tana=3,故sin acos a=3, 又sin2a+cos2a=1,sin2a+lavs4 alcol0 f(sina.3)2=1,解得：sina=10)10,sina=-10) 10(舍去)，故选A [答案]A 3.(24一25高一下贵州黔西期末)已知sina=13,且a是第一象限角，则() A.sin(2元+a)=-13 B.sin(π-a)=-13 C.cos(-a)=-23 D.tan(元+a)=2)4 [分析]由题意得cosa=19)=23,ana=122)=2)4,结合诱导公式逐一验算各个选 项即可求解， [解析]已知sina=13,且a是第一象限角，因此cosa>0,则cosa=19)=23,ana =l2r(2)=2)4,sin(2π+a=sina=13,故A错误；sin(π-a)=sina=13,故B错误；cos (一a=cosa=2)3,故C错误；tan(π十a)=tana=2)4,故D正确.故选D [答案]D 考题体验 4.(24-25高一下·云南曲靖期末)已知5tan1avs4alco1f2025π2)-0)-1=0，则sn 0cos8=() A.110 B.15 C.5 D.10 [解析]由题意得tan lalvsa4 allcollf2025π2)-0)=15，即tan lalvs4 allcol(1O12π+ fa2)-)=15,由正切函数诱导公式可得tan lals-4 al\col(fπ2)-)=15，由tan avs4 alcol(fπ2)-0)=1tan0=15,解得tan0=5,故sin0cos0=tan0=5.故选C. [答案]C 5.(2024盐城模拟)已知角的终边经过点(-4,3)，则cos(2a十)=() A.725 B.-725 C.-35 D.45 [解析]由题意得cosa=-4r(-4)2+32)=-45,所以cos(2a+)=-cos2a=1 2cos2u=一725.故选B 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]B 典例精讲 [例1](24-25高一下·陕西汉中·阶段练习)化简求值： (1sin(1800+a)-cos (-a)-sin (-a)-2cos (180-a)-cos (-a); (2)sin (a-2)-2cos lalvs4lallcol(a-2))-cos2lalvs4lallcol(f(a2)+a)++\rc\2)n+a:sin (-a): (3)若sin(3m-a)=-3cos(a-6m),求π十a)十3sin(2元-crcl2)-)的值， [思路点拨](1)根据诱导公式化简即可； (2)根据诱导公式化简即可； (3)先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解. [自主解答剖 (1)sin (180+a)-cos (-a)-sin (-a)-2cos (180-a)-cos (-a) =-sin a-cos asin a+2cos a-cos a =-(sin a+cos a)sin a+cos a=-1. (2)sin (a-2n)-2cos lalvs4lalcol(a-2))-cos2lalvs4lallcol(f(a2)+a)+\rc\2))n+a.sin (-a) =sin a-2sin a-sin2a+sin2a-sina(-sin a) =-sin a (3)由sin(3元-a)=-3cos(a-6m), 得sina=-3cosa,所以 元+)+3sin(2π-arcl2)-a)=-cosa-3sina-4cosa一sima, 又因为sina=-3cosa, 所以元+)+3sin(2m-crcl2)-a) =-cosa十9cosa-4cosa十3cosa=-1+9-4十3=-8. [解题心得]用诱导公式化简三角表达式一般多从正面直接应用公式进行化简，在此种 情况下最容易出错的地方是三角函数的符号，为此需要牢记诱导公式，可通过“函数名不变， 符号看象限”这一简便记法理解记忆 [例2]已知sin(0+km)=-2cos(0+km),k∈Z.求： (1)4sin 0-2cos 05cos 0+3sin 0: (2)14sin20+25cos28. [思路点拨]此类题目的一般做法是：化简已知条件，把化简得到的三角函数式用已知 表示，然后代入已知求解. 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答]由已知得cos(0+m)≠0 ∴.tan(0+k)=-2,k∈Z, 即tan0=-2. (1)4sin 0-2cos 05cos 0+3sin 0=4tan 0-25+3tan 0=10. (2)14sin20+25cos20=125sin20+cos20=125tan20+1=725 [解题心得]已知tana的值，求形如asin2a十b sinacos a-十ccos2a的值，可将1=sin2a+ cos2a代入，转化为关于tana的函数后再求值. [例3](24-25高-下·北京朝阳·期中)已知sina+cosa=15,0<a<π.求： (1)sin acos a值； (2)tana的值. [思路点拨](1)利用平方关系(sina十cosa)2=125,再结合同角三角函数关系式，即可求 解； (2)根据(I)的结果求：sina一cosa的值，再结合条件，即可求解. [自主解答】](1)sina+cosa)2=1+2 sin acos a=125,得sin acos a-=-1225. (2)sin acos a=-1225<0,且0<a<π， 得π2<a<元，sina0,cosa<0, 所以(sina-cosa)2=1-2 sin acos a=4925, sin a-cos a=75, 联立sin+cos=f1575), 得sina=45,cosa=-35, 则tana=sin acos a=-43. [解题心得]对于这类利用已知a的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α 所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解.其关键在 于运用方程的思想及(sina±cosa)2=l±2 sin acos al的等价转化，分析出解决问题的突破口. [友情提示]在△ABC中常用的变形结论有： ,A+B+C=元，2A+2B+2C=2元， A2十B2十C2=π2， .'.sin(+B)=sin (-C)=sin C, cos(4+B)=cos(-C)=-cos C, tan (A+B)=tan (-C)=-tan C, sin (24+2B)=sin(2-2C)=-sin 2C, cos (24+2B)=cos(2n-2C)=cos 2C, tan (24+2B)=tan (2-2C)=-tan 2C, 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 sin \als4\alcol(f(AB2)=sin \alvs4\alcol(f(C2)=cos C2, cos \alvs4\allcol(f(AB2)=cos \alvs4\al\col(f(C2)=sin C2, 以上结论在熟练应用的基础上加强记忆 高考再现 >>>>>> 1.(全国卷)若a∈laws4 alcol(0,fz2),tan2a=cosa2-sna,则tana=() A.15)15 B.5)5 C.5)3 D.15)3 [解析]，'tan2a=cosa2-sima .'.tan 2a=sin 2acos 2a=2sin acos al-2sin2a=cosa2-sin a. .a∈laws4 alcol(0,fπ2》，∴.cosa≠0，∴.2 sin al-2si2a=12-sima,解得sina=14 .∴cosa=1-sn2a=15)4,∴.tana=sin acos a=15)15.故选A [答案]A 2.(全国卷)若tan0=-2,则sin0(1+sn20)sim0+cos0=() A.-65 B.-25 C.25 D.65 [解析]将式子进行齐次化处理得 sin 0(1 +sin 20)sin 0+cos 0=sin 0(sin20+cos20++2sinecos 0)sin 0++cos 0 =sin 0(sin 0+cos 0)=sin 0(sin 0+cos 0)sin20+cos20 =tan20+tam01十tam20=4-21+4=25.故选C. [答案]C 3.(2024全国甲卷（文）)已知cosacos a-sna=3,则tan lalvs4 alcol(a+fπ4》=() A.23+1 B.23-1 C.3)2 D.1-3 [分析]先将cos acos a一sina弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解. [解析]因为cos acos a-sina=3,所以11-tana=3→tana=1-3)3,所以tan avs4 alcol(a+/π4)=tama+11-tana=23-1,故选B. [答案]B 4.(2024天津卷)已知函数x)=sin31avs4 alcol(aox+fπ3)(o>0)的最小正周期为元，则 fx)在一f(π6的最小值是() A.-3)2 B.-32 C.0 D.32 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 [分析]先由诱导公式化简，结合周期公式求出o,得fx)=一sin2x,再整体求出x∈ 一f(ππ6)时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解， [解析]fx)=sin3laws4 alcol(ox十fz3)=sin(3ox+π)=-sin3ox,由T=2π3o=π得 o=23,即x=一sin2x,当x∈-fππ6)时，2x∈-f(ππ3)，画出fx)=一sin2x图象，由图 可知，术x)=一sin2x在一f(ππ6上递减，所以，当x=π6时，术x)mim=一sinπ3=一3)2.故选 A [答案]A 5.(全国乙卷（文）)若0∈aws4 alcol(0,fπ2)，tan0=12,则sin0-cos0= [解析]因为0∈avs4 al col(0,fz2),则sin0>0,cos0>0,又因为tan0=sim0cos0 =12,则cos0=2sin0,且cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin20=1,解得sin0=5)5或sin0 =-5)5(舍去)，所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin0=-5)5 [答案]-5)5 6.已知cos lalvs4 allco10+fπ2》=513，且0∈avs4al小col(-fππ2)，则tan(0-9元)的 值是 [解析]cos lalvs4 al\col(0+fπ2)=513→sin9=-513, 因为0∈avs4 alcol(-fπr2),所以0∈avs4alco1(-fπ2)，0)， 所以cos0=1-sm20=1213, 所以tan0=sim0cos0=-512, 所以tan(0一9π)=tan0=-5l2, [答案]-512 课时作业（十七） 1.(24-25高一下·四川眉山期末)已知sinB=-5)5,-π2<B<0,则cosB=() A.5)5 B.-5)5 C.-5)5 D.5)5 [解析]因为sinB=-5)5,-π2<f<0,所以cosB>0,又因为sinp+cos2B=1,所以cos3 =1-sn2p=5)slup122)=55.故选D [答案]D 2.(24-25高一下·陕西渭南期末)已知tan0=2,则cos0-3sin0sin0+5cos0=() ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.-111 B.111 C.-57 D.57 [解析]由cos0-3sin0sin0+5cos0=1-3tan0tan0+5=1-3×22+5=-57.故选C. [答案]C 3.设fx)=asin(+a)+bcos(+)+4(a、b、a、B是常数)且f2010)=5,则f2011) 等于() A.1 B.3 C.5 D.7 [解析]f2010)=asin(2010元+a)+bcos(2010m+)+4=5,故asin(2010π+a)+b cos(2010元+=1：2011)=-asin(2010m+a)-bcos(2010元++4=3. [答案]B 4.(2024·上海静安·期末)已知tana>0,sina<0,则角a的终边所在的象限为第 象限.() A.一 B.二 C.三 D.四 [解析]由tana0,sina<O,则角a的终边所在的象限为第三象限.故选C, [答案]C 5.(24-25高-下·安徽期中)若sinx-cosx=3)2,则sin4x+cos4x=() A.2532 B.3132 C.3332 D.4132 [解析]由sinr-cosx=3)2两边取平方，可得(sinx-cosx)2=1-2 sinx cosx=34,解得 sin x cos x=18,sindx+cosx=(sin2x+cos2x)2-2sin2x cos?x=1-2X lalvs4lallcol(f(18))2= 3132.故选B [答案]B 6.在平面直角坐标系中，若角a的终边经过点Pavs4 alcol(sinf5π5π3)，则sin(π+a =() A.-3)2 B.-12 C.12 D.3)2 [解析]由诱导公式可得：sin53π=sin lalvs-4 allcol(2π-fπ3)=-sinπ3=-3)2，cos53元 =cos lalvs4 alcol(2m-f3)=cosπ3=12，即P\alvs4 alcol(-f0r(312),由三角函数的定义 可得sina=12blc\Crc)0alvs4 alcol(-f0r(32)+bIc(rc2=12,则sin(π+a)=-sina=-12.故 选B. [答案]B 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.(2024广东湛江·阶段练习)若sin laws.4 allcol(fπ6)-a=13,则cos1 avs4 alcol0fπ3)+a等于(） A.-2)3 B.2)3 C.-13 D.13 [解析]因为sin lalvs4 lallcol(fπ6)-a=13,所以cos lalvs4 alcol(f(a3)+ad=sin\ frrc3)+o)=sin lalvs-4 alcol(fπ6)-a=13.故选D [答案]D 8.(2024北京·人大附中高一期中)已知a+)十cos(π一alrcl22m-u=5,则ana=() A.34 B.43 C.-32 D.32 [解析]由a十π)+cos(亿-arc2元-a=-sina-cos acos a-sina=5,可得-sina-cosa =5(cosa-sina),即4sina=6cosa,故tana=32.故选D. [答案]D 9.(24一25高一下.陕西商洛·期末)已知函数sin lalvs4 alcol(a十π6)=13，则cos1 alvs4lalcol(a+(273))=( A.13 B.-13 C.23 D.-2)3 [解析]由题意可得cos lalvs44 allcol(a+f2π3)=cos lalvs4 alcol(fππ6=-sin avs4 alcol(a+fr6)=-13.故选B. [答案]B 10.(2025·云南昭通·模拟预测)“sin2a十cos2f=1”是“a±=0”的() A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]若sin2a十cos2p=l,则sin2a=sinB,即sina=sinB,得不出ap=0,如a=± B,所以“sin2a十cos2p=1”不是“ap=0”的充分条件：若a±B=0,则B=士a,可得cos2p =cos2a,即sin2a+cos2p=sin2a十cos2a=1,所以“sin2十cos2B=1”是“a+B=0”的必要条 件；所以“sina十cos2B=1”是“aB=0”的必要而不充分条件，故选A [答案]A 1l.(24-25高一下·北京期末)使等式sina=cos lals-4 allcol(a+fπ3)成立的一个a的值 为 [解析]因为cos lalvs4 al\col(π2)-a=sina=cos lalvs-4 allcol(a+ffπ3)， 所以π2-a=a+π3+2kr,k∈Z或--lalvs44 al\col(fπ2)-a)=a+π3+2kmr,k∈Z,所以a =πl2-m,k∈Z 独家授权侵权必究。 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]π12（答案不唯一）》 12.(2024上海期中)已知tan(π+a)=2,则sin acos a的值为 [解析]tan(元十a)=tana=2,则sin acos a=sin acos asin2a十cos2a=tanatan.2a十1=222 +1=25 [答案]25/0.4 13.(2024浙江·东阳市横店高级中学高二阶段练习)已知sin(a一3)=2sin1 alws4 alcol(-a+f3π2，则元-am)-5 sin \b\lc\0rc2)-o)2π-o-sin(-a= [解析因为sin(a-3m)=2 sin lalvs.4 alcol(-a+f3π2， 所以-sin(3π-a)=-2cosa,得sina=2cosa, 所以π-)-5 sin \bilc\(0rcl2)-)2π-a)-sin(-=sna十5cosa2cosa十sina =2cos a+5cos a2cos a+2cos a=74. [答案]74 14.(24-25高一下·河南驻马店·阶段练习)化简：sin(a-2m)-2 cos lalvs-4alco1(a- fa2))-cos2laws4lallcol(f(2)+a)+rc\2))n+asin (-a)= [解析]原式=sina-2sina-sin2a十sin2a一sina(-sina=-sina. [答案] -sin a ·独家授权侵权必究