第三章 第三节 三角函数的图象和性质-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第三节 三角函数的图象和性质 教材梳理 >>>>>> 知识点三角函数的图象与性质 三角函数 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=anx 图象 3元 -2m 要2/ -3π 2r-/ T2m {xx∈R,x≠kπ十π2，k 定义域 R R ∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 在-fx2)+2m,⊥ 在[2km-元，2kk∈ 在lavs4 allcol- π2)+2m(k∈Z)上是递 公上是递增函数，在 π2)+k, 单调性 增函数，在f2)+2ka, [2km,2kr+元(k∈Z） fa2)+kmk∈Z上是 f3π2)+2Kmk∈Z上是 上是递减函数 递增函数 递减函数 周期是2r(k∈Z且k≠ 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)， 周期是π(k∈Z且k≠O), 周期性 0,最小正周期是 最小正周期是2远· 最小正周期是五· 2远· 对称轴方程是x=飞 对称轴方程是x=π2土 对称中心是 ∈Z)，对称中心是 对称性 k(k∈ZD,对称中心是 aws4\allcol(f(kn2), lavs4\alcolπ+ (km,Ok∈Z)· 0k∈Z· fπ2,0k∈Z· [常用结论] 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的 对称中心与对称轴之间的距离是14个周期。 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性 若fx)=Asin(ax十o)A≠0，o≠0)，则： (I)x)为偶函数的充要条件是0=π2十k(k∈Z (2)x)为奇函数的充要条件是p=π(k∈Z). ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (I)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.() (2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.() (3)已知y=ksinx+l,x∈R,则y的最大值为k+l.() (4)y=sinx是偶函数.() [解析](I)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条。 (2)正切函数y=anx在每一个区间alvs4al小col(k元-f(ππ2)k∈ZD上都是增函数，但在定 义域内不是单调函数，故不是增函数， (3)当k>0时，ymax=k+1;当k<0时，ymx=一k十1 [答案](1)×(2)×(3)×(4)√ 教材衍化 2.(2025陕西汉中·模拟预测)当x∈[-2元，时，曲线y=sinx与y=cosx的交点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]曲线y=sinx与y=cosx的图象如下，所以交点个数为3，故选B y=sIn x [答案]B 3.(2024重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期未)tan2023° tan53°.（用“>”、“<”或 “=”填空) [解析]因为tan2023°=tan(11×180°+43)=tan43°，当0°<a<90°时，tana随着a的增 大而增大，因为0°<43°<53°<90°，故tan2023°=tan43°<tan53 答案]< 考题体验 4.(全国川卷)若x1=π4,2=3π4是函数x)=sinx(o>0)两个相邻的极值点，则ω=() A.2 B.32 C.1 D.12 [解析]由题意及函数y=sinx的图象和性质可知，12T=3π4一π4，∴.T=元，∴.2πω= 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 元，∴.0=2.故选A [答案]A 5.(多选题)(2024山东新高考模拟)己知函数fx)=sin lalvs.4 allcol(x一fπ2x∈R),下 列结论正确的是() A.函数fx)的最小正周期为2元 B.函数x)在区间0，fπ2》上是增函数 C.函数x)的图象关于直线x=0对称 D.函数fx)是奇函数 [解析]由题意可得x)=一cosx,最小正周期T=2πl=2π，所以选项A正确：y=cosx 在0，f红2)上是减函数，所以函数fx)在区间O,红2)上是增函数，所以选项B正确：f (一x)=一cos(一x)=一cosx=x),所以函数fx)是偶函数，其图象关于直线x=0对称，所以 选项C正确，选项D错误.故选ABC [答案] ABC 典例精讲 [例1](24一25高一下·陕西渭南期中)求下列函数的定义域. (1)y=2sinx-r(3: (2)/x)=2cosx-1 [思路点拨](1)根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即可. (②)根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可. [自主解答](1)要使得函数有意义，则2sinx-3≥0，即sinx≥3)2. 解得π3+2k红≤x≤2π3+2kπ(k∈Z) 故函数定义域为fπ2π3)十2kπ(k∈Z) (2)要使得函数有意义，则2cosx-1,即cosx≥12 解得-π3+2kπ≤x≤π3+2k(k∈Z) 故函数定义域为一f(ππ3)十2kπ(k∈Z [解题心得]()求三角函数的定义域，既要注意一般函数的定义域的规律，又要注意三 角函数本身的特有属性，如题中出现tanx,则一定有x≠k红十π2，k∈Z (2)求三角函数的定义域通常使用三角函数线，三角函数图象和数轴， [例2](24-25高一下·北京朝阳·期中)已知函数x)=12).求： (1x)的定义域： (2)x)的值域， [思路点拨](1)根据题意snx-12≥0，求解x的范围； ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)根据初等函数的性质求解fx)的范围 [自主解答](1)根据题意可得，sinx-12≥0，即sinx≥12，则2k红十π6≤x≤2k红+5π6， k∈Z,故x)的定义域为xiblcllircl个avs4 allcol(2kπ+fπ5π6，k∈Z (2)由(1)可知，1≥sinx≥12， 故2)2≥12)≥0，所以0≤fx)≤2)2， 故x)的值域为0，r(2)2》 [解题心得](1)将原函数式化为y=Asin(ox十o)十B,y=Acos(ox十p)十B型或化为关 于sinx(或cosx)的二次函数式，利用换元法进行配方可解决问题. (2)关于y=acos2x十cosx十c(或y=a sinx-+b sinx-十c,a≠0)型或可化为此型的函数求 值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题，切忌忽视函数的定义域.。 (3)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性. [例3]已知函数fx)=12sin2x-3)2cos2x (1)求x)的最小正周期和最大值： (2)讨论x)在f(π2π3)上的单调性 [自主解答](1)fx)=12sin2x-3)2cos2x=sin lalvs-4 al\col(2x-fz3).因此x)的最小正 周期为π，最大值为1 (2)当x∈fπ2π3)时，0≤2x-元3≤π，从而当0≤2x-π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，fx)单 调递增.当π2≤2x-π3≤π，即5πl2≤x≤2π3时，x)单调递减。 [解题心得] 将解析式化简为y=Asin(ωx+p) 或y=Acos(ωx+P) 令t=ωx+p,将原函数转化为 y=sint或y=cost A>0,w>0时 A>0,w<0时 ωx+p代人y=sinx 先利用诱导公式化成 y=cosx)的对应单调 ω>0，再求解。 区间，建立不等式求解 求函数的单调区间应遵循简单化原则： 掌握求三角函数单调区间的2种方法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角（或），利用复合 代换法 函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间 [例4](24-25高一下.陕西谓南·期中)已知函数fx)=sin4x十cos4 *rcllrcl2)-x). 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)判断函数x)的奇偶性： (2)若a)=52,且a∈lavs4 alcol(0,/z2),求a的值. [思路点拨](1)首先利用诱导公式、平方关系将函数解析式化简，再求出函数的定义域， 再计算一x)即可判断； (2)依题意根据平方关系可得2cos2a十1cos2a=92,即可求出cos2a,从而求出a的值. [自主解答](1/x)=sin4x+cos4 rclirc2)-x) =sin4x +cos4xcos2x =(sin2x +cos2x)2-2sin2x cos2xcos2x =Icos2x-2sin2x 即fx)=1cos2x-2sin2x, 由cosr≠0，得x≠π2+kπ，k∈Z,所以函数fx)的定义域是xibllclirel nalvs4 alcol≠判 fπ2》十m,k∈Z),关于原点对称 因为f-x)=1cos2(-x)-2sin2(-x) =1cos2x-2sin2x=fx), 所以x)是偶函数. (2)因为fa=1cos2a-2sin2a=52, 所以1cos2a-2(1-cos2a)=52, 即2cos2a+1cos2a=92, 解得cos2a=14或cos2a=2(舍去) 又a∈lavs4 alco1(0,fπ2)，所以cosa=12,所a=π3. 「解题心得](1)判断函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称，之后再作 进一步判断 (2)在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子，否则 很容易出现错误。 高考再现 1.(2025·新高考1卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2 tan lalvs.4 al\col(x-fπ3)的图象的一 个对称中心，则a的最小值为() A.π6 B.π3 C.π2 D.4π3 [解析]根据正切函数的性质，y=2 tan lals-4 alcol任一π3)的对称中心横坐标满足 x-π3=km2,k∈Z,即y=2 tan lalvs4 allco1c-fz3)的对称中心是alvs4 allcol0f(πkr2),0, k∈Z,即a=元3十kπ2，k∈Z,又因为a>0,则k=0时a最小，最小值是π3，即a=π3.故选 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B [答案]B 2.(2024北京卷)设函数fx)=sin cx((o>0),已知)=-1，x2)=1,且x1一x2的最小 值为π2，则ω=() A.1 B.2 C.3 D.4 [分析]根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解。 [解析]由题意可知，x1为fx)的最小值，点，为fx)的最大值点，则一x2lmim=T2=π2， 即T=元，且w>0,所以ω=2πT=2,故选B [答案]B 3.(全国乙卷（理）)已知函数fx)=sin(ox+o)在区间avs4al小col(f(π2π3)单调递增，直线 x=π6和x=2π3为函数y=x)的图象的两条相邻对称轴，则favs4alco1(一f5πl2)=() A.-3)2 B.-12 C.12 D.3)2 [解析]由题意得12×2πω=2π3-π6，解得ω=2，易知x=π6是fx)的最小值点，所以π6 ×2+o=3π2+2km(k∈ZD,得o=7π6+2r(k∈Z),于是fx)=sin lalvs4 allcol(2x+f7π6)+2kπ) =sin lalvs-4 allcol(2x+f7π6)，faws4 allcol(-f5πl2)=sin lalvs4 alcol(-f5π7π6)=sinπ3 =3)2.故选D. [答案]D 4.(全国卷)函数fx)=sin lals-4 alcol(2x+f3π2)-3cosx的最小值为 [fx)=sin lalvs4lallcol(2x+f3x2))-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cosx +1=-2\aws4allcol(cos x+(34))2+178, -1≤cosx≤1，.当cosx=1时，fx)mim=-4,故函数x)的最小值为-4. [答案]一4 5.已知函数fx)=sin lalvs4 alcol(x+π3).给出下列结论： ①x)的最小正周期为2元： ②favs4 allcol(fa2)是fx)的最大值： ③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=fx)的图象. 其中所有正确结论的序号是() A.① B.①③ C.②③ D.①②③ [解析]本题考查三角函数的性质和图象的平移变换.x)的最小正周期T=2π1=2元，故 ①正确；因为faws4 alcollfπ2)=sin lalvs44 allcol(f(ππ3)=12≠1，所以favs4 alcol(fπ2》 ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 不是fx)的最大值，故②错误：把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得 到函数y=sin lalsa4 allcol(x十fz3)的图象，故③正确.故选B. [答案]B 6.(新课标全国I卷)己知函数fx)=sin(ox十o),如图A,B是直线y=12与曲线y=f ()的两个交点，若AB=π6，则) [解析]第1步：由题图及“五点（画图）法”得ω，p的关系式 对比正弦函数y=sinx的图象易知，点lavs4 alcol(f2π3)，0)为“五点（画图）法”中的 第五点，所以2π3w十0=2π① 第2步：根据正弦函数图象的对称性求ω的值 由题知AB=xB-x4=π6，xA十0=fπ65π6)， 两式相减，得o(cB一xA)=4π6， 即π6ω=4π6，解得ω=4 第3步：求出0，即可求得结果 代入①，得o=-2π3，所以f)=sin lalvs4 allcol(4π-f2π3)=-sin2π3=-3)2. [答案]-3)2 7.(北京卷)设函数fx)=sin ox cos+cos cx sin alvs.4 alcol(o>O,p<fπ2》 (1)若0)=-3)2，求0的值. (2)已知fx)在区间-fπ2π3)上单调递增，favs4 allcol(f2π3)=1，再从条件①、条件② 、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使函数fx)存在，求ω，o的值， 条件①：favs4 allcol(fπ3)=2； 条件②：favs4 allcol(-yπ3)=-1； 条件③：x)在区间-f(ππ3)上单调递减， 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分. [解](1)因为fx)=sin cx cos+cos ox sin,o>0,lpl<2 0)=sin (@-0)cos o+cos (@-0)sin o=sin =-3)2, 因为<π2，所以0=-π3 (2)因为fx)=sin ox cos+cos ox sin,w>0,|pl<π2，所以fx)=sin(ox+p),w>0,| pl<π2， 所以fx)的最大值为1，最小值为一1. ·独家授权侵权必究· 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若选条件①：因为fx)=sin(ox+p)的最大值为1，最小值为一l,所以f avs4 allcol(fπ3)=2无解，故条件①不能使函数fx)存在； 若选条件②：因为x)在-fπ2π3)上单调递增，且favs4 allcol(f2π3)=1，f aws4 alcol(-fπ3)=-1 所以T2=2π3-lays4 alcol(-fπ3)=π，所以T=2π，o=2πT=1, 所以fx)=sin(x+o), 又因为favs4 allcol(-fz3)=-l,所以sin lalvs4 allcol(-fa3)十p)=-1, 所以-π3+0=一π2十2km,k∈Z, 所以0=一π6+2k元，k∈Z, 因为1p<π2，所以0=一π6. 所以0=1,0=一π6： 若选条件③：因为fx)在一f(π2π3)上单调递增，在一f(ππ3)上单调递减， 所以x在x=一π3处取得最小值一1， Bp falvs4allcol(-f(3))=-1 以下与条件②相同. 课时作业（十八） 1.(2024湖北期未)当x∈(0,2π)时，曲线y=2十cosx与直线y=13x的交点个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]作出函数y=2十cosx和y=13x的图象，记x)=2+cosx,gx)=13x,函数 y y=2+cos x y=3x 2πx y=2+cosx在[0，元上递减，在[元，2元上递增，术元)=1<g()=π3,0)=3>g(0)=0,f (2)=3>g(2m)=2π3，结合图象知在(0,2π)上有两个交点，故选A [答案]A 2.(2024江苏盐城模拟预测函数y=cosx与y=gx的图象的交点个数是() A.2 B.3 C.4 D.6 [解析]函数y=cosx与y=lgx都是偶函数，其中cos2元=cos4元=1,1lg4π>lg10=1 >lg2π，在同一坐标系中，作出函数y=cosx与y=lg的图象，如下图，由图可知，两函数 的交点个数为6故选D 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y y=lglxl y=cos x 4π [答案]D 3.(2024上海徐汇·高一统考期末)函数y=3 sin lalvs.4 allcol+fπ3)的一条对称轴是 () A.x=0 B.x=元6 C.x=-π3 D.x=π3 [解析]令x十π3=π2十机，k∈Z,可得x=π6十m,k∈Z,令k=0,可得x=π6.所以画 数y=3 sin laws4 alcol(x十fπ3》的一条对称轴是x=π6.故选B. [答案]B 4.(25一26高三上·河北衡水期末)若点(a,0)(a>0)是函数y=tan lalvs4 allcol(一fπ4》 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( ) A.元6 B.元4 C.π2 D.3π4 [解析]依题意，a-元4=12kr,k∈Z,即a=元4十12km,k∈Z,又a>0,故a的最小值 为π4.故选B. [答案]B 5.函数fx)=sin lalvs.4 allcol(2x一fa4》在区间0，fπ2》上的最小值为()】 A.-1 B.-2)2 C.2)2 D.0 [解析] 由已知x∈0，π2)，得2x-π4∈-fπ3π4)，所以sin lalvs4-1 al\col(2x-fπ4》 ∈一fr(2)2),1),故函数fx)=sin lalvs4 alcol(2x一fz4》在区间0，ffz2》上的最小值为 -2)2. [答案]B 6.(2024重庆·高一校联考期末)函数fx)=2 sin alvs4 allcol(c十fπ3)，x∈[0，元的单调 减区间是() A.0,fπ6) B.0,fπ2) C.f(π2π3) D.fπ6)，元) [解析]令π2+2kπ≤x十π3≤3π2+2km,k∈Z,所以π6+2kr≤x≤7π6+2km,k∈Z,当k =0,π6≤x≤7π6，由于fπ6)，πcf(π7π6，故D正确，ABC均错误.故选D. [答案]D 7.(24一25高一下·云南楚雄期未)已知fx)是在R上单调递增的奇函数，则函数y=f 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (x)cosx在[-2,2]上的图象可能为() A B [解析]由术一x)cos(一x)=一x)cosx,得y=x)cosx是奇函数，故C不符合题意.令 y=x)cosx=0,得x=0或±π2，故D不符合题意.当0x<π2时，fx)>f0)=0,cos>0,所 以y=fx)Cosx>O,故A不符合题意.故选B [答案]B 8.(24-25高一下·山东潍坊·期末)已知函数fx)=tan lalvs4 alcol(2x一fa6),则( ) A.x)在定义域内是增函数 B.fx)是奇函数 C.x)的最小正周期为元 D.fx)图象的一个对称中心是avs4 alcol(πl2),0) [解析]由于favs4 al\col(π6)=tan \alvs44 alco1(2×fππ6)=3)3>fπ)=tan as4 allco1(2×元-fπ6)=-3)3，故A错误；由于x)在x=0处有定义，但0)=tan avs4 alcol(-fπ6)=一3)3≠0，故B错误；x)的最小正周期为π2，故C错误；f aws4 allcol(fπl2)=tan lalvs44 alcol(2×f(ππ6=0，故1aws4 allcol(fπl2),0)是fx)的一个 对称中心，故D正确，故选D [答案]D 9.下列函数中，周期为π且在0，π2》上是减函数的是() A.y=sin lalvs4lallcol(xf(4)) B.y=cos lalvs4lallcol+(4)) C.y=sin 2x D.y=cos 2x [解析]对于函数y=cos2x,T=元，当x∈0，fπ2)时，2x∈[0，，y=cos2x是减函画 数 [答案]D 10.(2025·上海卷)函数y=cosx在-fππ4)上的值域为 [解析]由函数y=cosx在一π2)，0)上单调递增，在0，fπ4》单调递减，且 avs4 allcol(-fπ2)=0，f0)=1,falvs4 alcol(fπ4)=2)2，故函数y=cosx在-f(ππ4)上 的值域为[0,1] [答案][0,1] 11.(2024·上海徐汇·高一统考期末)函数y=2cosx,x∈-f(ππ2)的值域为 [解析]因为x∈-f(ππ2)，所以cosx∈[0,1]，所以y=2cosx∈[0,2] ·独家授权侵权必究·