第三章 第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案围绕两角和差、二倍角的三角公式核心考点，按“公式推导-变形应用-角的变换”逻辑架构梳理知识联系，通过思考辨析巩固基础公式，角的变换专题指导突破难点，结合考题体验与例题解析强化真题训练，形成系统性复习链条。 教案突出数学思维与数学语言培养，如引导学生用α=(α+β)-β等变换技巧推导公式逆用，结合新课标卷真题讲解cos(α-β)计算规范表达，设置分层课时作业从选择到解答题梯度训练，助力学生高效构建解题模型，为教师把控复习节奏提供精准指导。

草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教材梳理 >>>>>> 知识点1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦 cos (a+B)-cos acos B-sin asin B,cos(a-B)-cos acos B+sin asin B. (2)两角和与差的正弦 sin (a+B)-sin acos B+cos asin B,sin (a-B)=sin acos B-cos asin B. (3)两角和与差的正切 tan (a+B)=tan attan BI-tan a+tanB tan (a-B)-tan a-tan Bl +tan atan B. avs4 allcol(a,B,a+B,a-B均不等于km+fπ2)，k∈Z) 其变形为：tana十tanf=tan(a+(1一tan atan), tan a-tan B-tan (a-B)(1+tan atan B) 知识点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2a-2sin acos a (2)cos 2a=cos2a-sin2a 2cos2 a-1 1-2sin2a (3)tan2a=2tan al-tan2a 知识点3两角和与差公式的应用总结 (1)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易 被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只 有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用 (2)角的变换 在应用两角和与差三角函数公式时，角的变换是最基本的技能，常见的变换有： a=(a+)-f:a=B-(B-: a=(2a-)-(a-): a=12[(a+)+(a-F]: a=12[(B+a)-(B-a]: a+阝=(a+2p-B:avs4 allcol(π4)-ca)+laws4 allcol(yπ4)+a)=π2等. [友情提示]在公式TaB中，α、B、a十必须使等式两端均有意义，即a、B、a吐p都不能 取π2十(k∈Z.否则，利用诱导公式求解 知识点4二倍角公式的应用形式 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 二倍角公式的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用.解题时应根据不同的需要，灵活选 取不同的形式 二倍角公式的逆向变换及常见变形有： 1±sin2a=(sina±cosa)2;1+cosa=2cos2a2; 1-cosa=2sin2a2;cos2a=1+cos2a2;sin2a=1-cos2a2. 其中，cos2a=1+cos2a2,sin2a=1-cos2a2称为降幂公式，而把1-cos2a=2sin2a,1 +cos2a=2cos2a称为升幂公式. [友情提示](1)在应用二倍角的正切公式时，应注意a的取值范围，即tana与tan2a的值 应存在。 (2)降幂公式是三角变换中非常重要的变形公式，升幂公式是根式化简时常用的公式， 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,B是任意的.() (2)存在实数a,B,使等式sin(a+)=sina十sin成立.() (3)公式tan(a+=tama十tamB1一tan atan Bi可以变形为tana+tanB=tan(a+f(1-tan tanf,且对任意角a,B都成立.() (4)存在实数a,使tan2a=2tana.() [解析](3)变形可以，但不是对任意的a,B都成立，a,B,a十B≠π2十π(k∈Z [答案](1)√(2)√(3)×(4)√ 教材衍化 2.(24-25高二下·河南安阳·期末)下列a的值能使1+tama1一tama=3成立的是() A.a=1950 B.a=1059 C.a=275 D.a=75° [解析]因为1十tan al-tana=tan(45°+a)=3,所以45°+a=60°+k180°，k∈Z,所 以a=15°+k180°，k∈Z,结合各选项可知，a=195°.故选A. [答案]A 3.(24-25高一下·海南海口·期末)已知角0终边过点P(-2,1),则sin lalvs4 allcol0-1 f红4)=() A.10)10 B.10)10 C.-10)10 D.-10)10 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由三角函数的定义可得cos0=-2r(-2)2+)=-5)5,sin0=1r(-2)2+12) =5)5,由两角差的正弦公式可得sin lalvs4 alcol(0-fπ4)=sin Ocosπ4-cos Osinπ4=5) 5·2)2-aws4 alcol(-f2r(5)5》2)2=10)10.故选B [答案]B 考题体验 4.(全国川卷)若sinx=一23，则cos2x= [解析]因为sinx=一23， 所以cos2x=1-2sin2x=19. [答案]19 5.(24-25高一下·海南期末)已知B∈lavs41 alcol(0,fπ2)，且sinB=35,若tana=2, 则tan(a一)= [解析]己知B∈aws4 alcol0,fπ2)，且sinB=35,则cosB=1-s2B Arc 5)slup122(2)=45,从而tanf=sin Bcos B-=34,又因为tana=2,所以tan(a-A=tama-tan BI+tan atan B=3434=12. [答案]12/0.5 6.(2024全国大联考)已知cos lalvs-4 alcol(a十fπ6)-sina=3)5,则sin lalvsa4 allcol(a +f11π6)= [解析]由cos lalvs-4 allcol(a十fπ6)-sina=3)2cosa-12sina-sina=3)2cosa-32sin a=3\alvs4\al col(f(1 r(32)sin a=3cos lalvs4lallcol(a+3))=3sin lalvs4lallcol(f(6)-a)= 3)5, sin lalvs4allcol(f(6)-a)=45. sin lalvs4 alcol(a+flπ6)=-sin2π-blclreynaws-4 allcol(a+/lπ6) =-sin lalvs4 allcol(f(6)-a)=-45. [答案] -45 典例精讲 ))>>>> [例1]化简sin2avs4 alcol(a-fπ6)+sin2aws4 allcol(a+fπ6)-sin2a [思路点拨]熟练运用公式，根据角的范围直接化简， [自主解答]原式=rc3)2+rcl3)2-sin2a=1-12 cosibllclrclircl3))-sin2a=1 cos2a cos a3 -sin2a=1-cos2a2-1-cos 2a2=12 [解题心得](1)本题由变角入手，变角化同角： (2)根式形式的三角函数式的化简，常以去根号为月标，为此常使被开方的式子配成完全 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 平方式，化简时，要注意角的范围对符号的影响. [例2]在△ABC中，sinA=513,cosB=35,求cosC的值. [思路点拨]利用A十B十C=π，得C=元一(A十B) [自主解答]，A、B是△ABC的内角，且sinA=513<12,cos60°<cosB=35<cos45° ∴.0°<A<30°或150°<A<180°，45°<B<60° .A+B+C=180° ∴.0°<A<30 ∴.cosA=1213.sinB=45 .'.cos C=cos [-(4+B)]=-cos(4+B) =-(cos A cos B-sinA sin B) =-alvs4 alcol0f123545)=-1665. [解题心得]根据三角形的内角和为180°和内角的三角函数值，能进一步确定角的取值 范围，而此点最容易忽视不考虑上述隐含条件时，会出现cosA=±1213两种情况，会有cosC 取两值的错误情况，所以求值时一定要注意隐含条件，根据三角函数，进一步确定一下角的 取值范围. [例3](24-25高一下·辽宁朝阳期中)已知0<a<π2,0<B<π2且cos lalvs4.al\col(a+ fπ4)=2)10，cos(a+)=817.求： (1)sina的值； (2)cos的值. [思路点拨](1)2)利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解 [自主解答](1)由0<a<π2，得π4<a+π4<3π4，又因为cos lalvs4-alcol(a十fπ4)=2)10， Arcl sin lalvs4lalcol(a(4))=10)supl2(2)=2)10, 所以sina=sin lalvs4 alcol(a+f(π4)=sin lalvs.4 alcol(a+fπ4))cos z4-cosI alvs4lalcol(a+4))sin 4=2)2\alvs4\alcol(f(Ar(2r(210)=35. (2)由0<a<π2,0f<π2，得0<a+f<π， 又因为cos(a十=817， 则sin(a+)=17)sup122)=1517, 又因为cosa=1-sin2a=45, 所以cos3=cos[(a+)-a]=cos(a+p)cosa+sin(a+f)sina=817×45+1517×35= 7785 独家授权侵权必究· 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三 角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“己知角”·若角所在的象限没有确定， 则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会拆角、拼 角等技巧 高考再现 >>>>>> 1.(2024新课标1卷)已知cos(a十=m,tan atan B=2,则cos(a一)=() A.-3m B.-m3 C.m3 D.3m [分析]根据两角和的余弦可求cos acos B,sin asin的关系，结合tan atan的值可求前 者，故可求cos(a一)的值. [解析]因为cos(a+=m,所以cos acos B--sin asin B=m,而tan atan B=2,所以sin asin B=2 cos acos B,故cos acos B-2 cos acos B=m即cos acos B=-m,从而sin asin B= -2m,故cos(a-=-3m,故选A. [答案]A 2.(全国甲卷)设函数x)=sin lalvs.4 alcol(ox十fπ3)在区间(0，元)恰有三个极值点、两 个零点，则ω的取值范围是() A.f5136 B.f5196 C.\alvs4alcol(f(1383) D.\alvs4\al\colAf(13196) [解析由x∈(0，)，得ox十π3∈alvs4 al\co1(f(ππ3).根据函数x)在区间(0，恰有三 个极值点，知5π2<元0十元3≤7π2，得136<ω≤196.根据函数fx)在区间(0，)恰有两个零点， 知2π<πw十π3≤3元，得53<o≤83.综上，o的取值范围为136<0≤83 [答案]C 3.(新课标全国1卷)已知sin(a-)=13,cos asin B=16,则cos(2a+2p=() A.79 B.19 C.-19 D.-79 [解析]依题意，得sin acos B-cos asin阝=fl316)，所以sin acos B=l2,所以sin(a +)=sin acos B+cos asin B=12+16=23,所以cos(2a+2f=1-2sin2(a+)=1-2×1 avs4acol0f23)2=19.故选B. [答案]B 4.(新高考Ⅱ卷)若sin(a十B十cos(a+)=22 cos lalvs-4 allcol(a十fm4)sinB,则) A.tan (a-B=1 B.tan(a+B)=1 C.tan (a-B)=-1 D.tan (a+B)=-1 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由题意得sin acos B-+sin Bcos a+cos acos B-sin asin B=22×2)2(cosa-sina) sinB,整理得sin acos B-sin Bcos a+cos acos B-+sin asin B=0,即sin(a-f+cos(a-=0, 所以tan(a-)=-1.故选C. [答案]C 5.(2024新课标川卷)已知a为第一象限角，B为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B =2+1,则sin(a+)= [分析]法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a十)=一22，再缩小a十的范围，最 后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案 [解析]法一：由题意得tan(a十)=tama+tanB1-tan a tan Bi=41-r(2)+1)=-22, 因为a∈lavs4 allcol2km,2kz+fπ2)，B∈laws4 alcol(2mm+π，2mr+f3π2)，k,m∈Z, 则a十B∈(2m+2k元十元，(2m+2元+2元)，k,m∈Z,又因为tan(a+)=-22<0,则a十B∈ avs4 allcol(2m+2k)π+f3π2，(2m+2kπ+2m,k,m∈Z,则sin(a+B<0,则sm(a+B) cos(a十f)=-22,联立sin2(a+)+cos2(a+)=1,解得sin(a+=-2)3. 法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角，则cosa>0,cosB<0,cosa=cos ar(sin.2a +cos2a)=1r(1+tan2a), cosB=cos B r(sin28+cos28)=-1r(1 +tan2B),sin(a+B)=sin acos B+cos asin B=cos acos B(tan a+tan B)=4cos acos B=-4\r(1+tan2a)r(1+tan2B) =-4r((tana+tan B)2+(tan atan B-1)2) =-442+2)=-2)3 [答案]一2)3 6.(2025·北京卷)已知a,B∈[0,2m,且sin(a+=sin(a-f),cos(a+≠cos(a- 写出满足条件的一组a,的值a= B= [解析]因为sin(a+=sin(a-),cos(a+≠cos(a一)，所以a+B,a-的终边关 于y轴对称，且不与y轴重合，故a十B+a-B=π十2k,k∈Z且a+B≠π2十m,l∈Z,即a =π2十k,k∈Z,故取a=π2，B=π6可满足题设要求. [答案]π2（答案不唯一）π6（答案不唯一） 课时作业（十九） 1.(24-25高一下.广东汕尾·期末)sin75°cos30°-sin30°cos75°=() A.12 B.2)2 C.3)2 D.3)3 [解析]sin75°cos30°-sin30°cos75°=sin(75°-30)=2)2.故选B [答案]B 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.已知sin acosa=38,且π4<a<π2，则cosa-sina的值是() A.12 B.-12 C.-14 D.±12 [解析]，π4<a<π2，∴.cosa<sina,∴.cosa-sina<0.cosa-sina=-(cosa-snc2 =-1-2sin acos a=-12. [答案]B 3.(24-25高一下·河南洛阳·期末)已知sin(a+)=35,tana=12tanB,则sin(a-) =() A.15 B.-15 C.25 D.-25 [解析]由sin(a+)=35,可得sin acos B-+cos asin B-=35,由tana=l2tanB,可得sim acos a=12 sin Bcos B,所以2 sin acos B=cos asin B,所以sin acos B-=15,cos asin B=25,所 以sin(a-=sin acos B-cos asin B=-15.故选B [答案]B 4.(2024四川眉山)函数y=3sin2十cos2的图象的最小正周期是() A.1 B.元 C.2 D.2π ]y=3sin 2+cos 2=2\alvs4\alcol(f(r(312)cos 2x=2\alvs4\allcol(cos fππ6)cos2x=2 sin laws.4 alcol(2十/r6),所以最小正周期为2π2π=l,故选A. [答案]A 5.(24-25高一下·四川攀枝花期末)sin70cos250°cos225°-sn2155的值为() A.-3)2 B.3)2 C.-12 D.12 [解析]cos250°=cos(180°+70)=-cos70°，cos225°-sin2155°=cos225°-sin225°= cos50°=sin40°，则原式=sin70(-cos70)sin40°=-12sin40° =-1180°-40°sin40°=-12sin40°=-12.故选C. [答案]C 6.(2024江西九江·三模)已知sina-cosa=13,则cos lalvs4 allcol(a+f4)=() A.-13 B.-2)6 C.13 D.2)6 [解析]sina-cosa=2 sin lalvs4-lallcol(a-fπ4)=I3,即sin lalvs.4 alcol(a-ffπ4)=2) 6,cos lalvs4 allcol(a+fπ4)=cos Ibilcl(rc2)=-sin lalvs-4 alcol(a-fπ4)=-2)6.故选B. [答案]B 独家授权侵权必究。 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.(2024广东湛江)tan20°+1一tam51十tan5o+3tan20°tan40°=(） A.1 B.2 C.3 D.2 [解析]因为1-tam51+tam5°=tam45°-tam51+tam45tam5o=tan(45°-5)=tan40° ,且tan60°=tan(20°+40)=tan20°+tan401-tam20tan40°=3，可得tan20°+tan40°=3 (1-tan20°tan40),所以tan20°+1-tam51+tam5°+3tan20tan40°=tan20°+tan40°+3tan 20tan40°=3(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3.故选C. [答案]C 8.(2024广东省江门市高一下学期期末)在△ABC中，cosA=35,tanB=2,则tan(A+ B)=() A.2 B.53 C.-2 D.-53 [解析]因为在△ABC中，cosA=35>0,所以A为锐角，所以sinA=1一cos2A=925) =45,tanA=sin Acos A=4535=43,tan (A++B)=tan A+tan BI-tan A tan B=4343=-2. 故选C [答案]C 9.(24-25高-下.甘肃白银·期末)tan35°+tan100°-tan35tan100°= [解析]，'tan135°=tan35o+tam1001-tam35tan100°=-1， .tan35°+tan100°=-1+tan35tan100°， ∴.tan35°+tan100°-tan35tan100°=-1. [答案]-1 10.(24一25高二下.云南保山期末)已知cos7°=m,则sin76°= (用含m的式 子表示)， [解析]sin76°=sin(90°-14)=cos14°=2cos27°-1=2m2-1. [答案]2m2-1 11.(2024陕西·榆林市第一中学高一期中)化简计算：sn58°-sim13cos45cos13°= [解析]sin58°-sin13cos45cos13 =sin (450+13)-sin 13cos 45cos 130, =sin45cos13°+cos45sm13o-sn13cos45cos13°， =s7n45cos13cos13°=sin45°=2)2. [答案]2)2 12.(24-25高一下山东东营期未)已知a∈avs4 alcol(0,fa2》,且cos ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 alvs4lalcol(a+(4))=513,cos a= [解析]因为a∈lavs4 allcol(0,fa2), 所以a+π4∈avs4 alcol(f(3π4)， 又因为cos lalvs-4 alcol(a+π4)=513，所以sin lalvs-4 allcol/π4)十a=1213, 所以cosa=cos bilcl(rcπ4)=cosπ4 cos lalvs4-alcol(foπ4)+a+sinπ4sin1 avs41 alcol(fπ4)十a=2)26,故cosa的值为2)26. [答案]2)2617262 13.(22-23高一下·福建漳州期中)已知sin(c十y)=13,tanx=4tany.求： (1)sin lalvs4lallcol(-V(6))sin laws4lallcol(y-f(3))-cos lalvs4alcol(x-f6))cos avs4 alcol(y-fπ3)的值； (2)sin(c-y)的值. [解](1)因为sin(c+y)=13, 所以sin lawvs4 allcol(c-fr6)sin lalvs.4 al col(y-ffπ3》-cos lalvs4 al\col(x-fπ6 )cos alvs4\alcol(y-f(3)) =-cos\alvs4\alcol(x-\f(ππ3) =-cos lalvs-4 alcol(x+y-fπ2》 =-sin(x+y)=-13 (2)因为tanx=4tany, 所以sin xcosx=4 sin ycos y, sinx cos y=4cos x siny, 因为sin(x+y)=sin x cos y-+cosx siny=13, 所以5 cos x sin y=13, 解得cos x sin y=ll5,sinx cos y-=41l5, sin (x-y)=sinx cos y-cos x siny=415-115=15. 14.己知f术a)=relrc元---元)sin(-au-元 (1)化简a: (2)若cos lalvs.4 allcol(a+fπ3)=45，且a为第三象限角，求a. [解](I/fa)=rclrcl元-a-a-元sin(-a-元 -(-cos a)sin a(-tan a)-tan asin a=-cos a. (2).a为第三象限角， 则2km+4π3<a十π3<2km+11π6， ∴.sin lalvs4 allcol(a+/fπ3》=-35， sin lalvs4lallcol(a+f2))=sin lalvs4lallcol(a++y(a3))cos 76+cos la vs4allcol(a+ 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 fπ3)sinπ6， ∴.cosa=-35×3)2+45×12=3)10, 则a)=3)-410 幸独家授权侵权必究