第三章 第五节　简单的三角恒等变换-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差、二倍角公式及降幂升幂等变形，以公式推导、结论应用为逻辑主线组织知识点。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼拆角拼角等技巧，真题训练结合高考原题，帮助学生系统突破化简求值及性质应用难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，创新设计“公式变形 - 典例建模 - 分层演练”教学链。如例1利用60°特殊角转化化简，例3通过辅助角公式将函数化为正弦型研究性质，配合基础巩固与能力提升练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

令学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节 简单的三角恒等变换 教材梳理 >>>>>> 知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (I)S(a+9公式：sin(a±=sin acos±cos asin B· (2)C(at公式：cos(a±0=cos acos B干sin a sin B (3)T(atb公式：an(c±=tama±tamB1年tan atan B(a,B,a±B≠π2+k元，k∈Z) 知识点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角的降幂公式 cos2a=1十cos2a2，sin2a=1-cos2a2 (2)二倍角的升幂公式 1+cos 2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a. (3)T(a的公式变形 tana士tanB=tan(c±p1干tan a tan B); tan atan B-tan a-tan Btan (a-B)-1 1-tan a+tan Btan (a+B). 思考：如何用sinx、cosx表示tanx2? 提示：tanx2=x2x2=x2sinx=1-cos xsinx=sinxl十cosx. [常用结论] 1.公式的常用变式 tanc±tanB=tan(atp)(l干tan a tan B); tan a tan B=1-tan aftan Btan (a+B)=tan a-tan Btan (a-B)-1. 2.降幂公式 sin2a=1-cos2a2:cos2a=1+cos2a2: sin acos a=12sin 2a 3.升幂公式 1+cos a=2cos2a2;1-cosa=2sin2a2;1+sina=\alvs4\alcol(sin \f(aa2)2;1-sin a=\ alvs4al\col(sin \f(aa2)2. 4.常用拆角、拼角技巧 例如：2a=(a+)+(a-:a=(a+)-B=(a-)+B;B=a+B2-a-B2=(a+2p-(a +);a-B=(a-y)+(y-f);15°=45°-30°；π4+a=π2-avs4alco1f4)-a)等 5.辅助角公式：一般地，函数(a)=a sin a十b cos a(a,b为常数)可以化为fa)=a2+b2sin (a+p)laws4 alcol(其中tanp=fbal)或fa)=a2+b2cos(a-p)lavs4 alcol(其中tanp= ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 fab).常见形式有sinx+cosx=2 sin lalvs4 alcol(x十fπ4)，sinx+3cosx=2sinI avs4 alcol+fπ3)，3sinx+cosx=2 sin lalvs.4 allcol(c+π6). 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (I)存在实数a,B,使等式sin(a+)=sina+sin成立.() (2)对任意角a都有1+sina=lavs4acol(sinf(ca2)2.() (3)存在a∈R使tan2a=2tana.() (4)公式tan(a+=tana十tanB1-tan atan B可以变形为tana+tanB=tan(a+f(1-tan an,且对任意角a,都成立.() [答案](1)√(2)√(3)√(4)× 2.(24-25高一下·河南南阳期未)函数x)=sinx十cosx一1在[0,2元上的零点个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]fx)=sinx+cosx-1=2 sin lalvs.4 allcol+fπ4)-1. .x∈[0,2m],x+π4∈f(π9元4) 令fx)=0,得sin lalvs4 allcol(x+fr4)=2)2 ∴x十π4=π4或x十π4=3π4或x十π4=9π4. 所以x=0或x=元2或x=2元.故选C [答案]C 教材衍化 3.若cosa=-45,a是第三象限的角，则sin lalvsa4 alcol(a+fπ4)=() A.-210 B.2)10 C.-2)10 D.2)10 [解析]因为cosa=-45,a是第三象限的角，所以sina=-1-cos2a=-35,所以sin aws4 allcol(a+fπ4)=sin acosπ4+cos asinπ4=lalvs-4 allcol(-f35)×2)2+ avs4alco1(-f45)×2)2=-2)10. [答案]C 4.(24-25高一下·山东潍坊期末)sin25πl2-sin2πl2=() A.0 B.12 C.2)2 D.3)2 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为sin25π12-sin2πl2=5π62-π62=12avs4 alcol(cosf(元5π6)=12×\ avs4 allcol(fOr(3r(32)=3)2,故选D. [答案]D 考题体验 5.己知函数fe)=2)4 sin lalvs4 alcol(fπ4)-x+6)4 cos lalvs.4alco1(fπ4)-x以. (1)求函数x)在区间f(π3π2)上的最值； (2)若cos0=45,0∈laws4 alcol(f3π2)，2m,求favs4 alcol(20+fa3)的值. [解](1)由题意得 fx)=2)4-sin laws4lalcol(f(4)-x)+6)4cos lawvs4lallcol(f(4)-x) =2)2X\f(1\rclr(3\rc\4)-x)) =-2)2-sin lalvs4\alcol(x-If(712)) 因为x∈fπ3元2)，所以x-7πl2∈-f(π11x12), 所以sin lalvs.4 allcol(x-f7πl2)∈-fr3)2),1), 所以-2)2 sin laws4 allcol(x-f7πl2》∈-f0r(2r(64), 即函数x)在区间f(π3π2)上的最大值为6)4，最小值为一2)2 (2)因为cos0=45,0∈laws4 alcol(f3π2)，2π，所以sin0=-35,所以sin20=2sin0cos 0=-2425, 所以cos20=cos20-sin20=1625-925=725, 所以favs4 alcol(20+ffπ3)=-2)2 sin alvs4 alcol(20+fπ7πl2) =-2)2-sin lalvs4\allcol(20-Vf(4)) =-12(sin20-cos28)=12(cos20-sin20) =12×\avs4alco1f72425)=3150 典例精讲 >>>>>) [例1]化简[2sin50°+sin10°(1+3tan10)]2sn280° [思路点拨]50°，10°，80°都不是特殊角，但注意到它们的和60°，90°都是特殊角，因 此可考虑用和角公式求值.另外正切函弦要化成正、余弦函数 [自主解答]原式=lalvs-4 allcol(2sin50°+sin10°.fcos10°+r(3)sin10cos10)2sin80° =avs4 alcol(2sin50°+2sin10°.ff1r(32cos10)2cos10° =22sin50°.cos10°+sin10°·cos(60°-10] =22sin(50°+10)=22×3)2=6 [解题心得](1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值， 必要时切化弦，更易通分、约分 ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少： ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数. [例2]已知tana=2. (I)求tan lalvsa4 allcol(a+fr4)的值； (2)求sin2asm2a+sinacos a一cos2a-1的值 [思路点拨](1)量角和的正切公式代入(2)化简后代值. [自主解答](1)tan lalvs-4 allcol(a+fπ4)=π4π4 =2+11-2×1=-3 (2)sin 2asin2a+sinacos a-cos 2a-1 -2sin acos asin2a+sinacos a-2cos2a -2tanatan2a+tana-2 =2×24+2-2=1. [解题心得]解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件： (2)观察已知条件与所求式子之间的联系： (3)将已知条件代入所求式子，化简求值. [例3)](24-25高一下·湖南衡阳·期末)已知函数fx)=sin lalvs4 allcol0fπ3)十4)+sin1 avs4 alcol(4r-fπ6)》 (1)求函数x)的单调递增区间： (2)当x∈0，π4)时，求函数x)的最值及相应x的值. [思路点拨](1)利用三角恒等变换的知识化简x)的解析式，然后利用整体代入法求得函 数fx)的单调递增区间； (2)根据三角函数最值的求法求得x)的最值及相应x的值.。 [自主解答](1)因为 fx)=sin lalvs4\al\col(f(3)+4x)+sin laws4lallcol(4x-V(a6)) =sin \alvs4 alcolf(ππ6+sin lalvs-4 alcol(4k-fπ6) =sin lalvs-4 allcol(4红-fπ6)+cos lalvs4 allcol(4红-fa6) =2sin lawvs4\allco1(4x+(n12)), 所以令-π2+2km≤4x十元l2≤π2+2k阮，k∈Z, ·独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解得-7π48+m2≤x≤5π48+红2，k∈Z, 所以函数fx)的单调递增区间为-f(7πkπ5πkm2),k∈Z (2)因为x∈0，fπ4)，所以π12≤4x十π12≤13π12， 令t=4x+πl2,则函数y=2sint在f(ππ2)单调递增，在fπl13π12)单调递减； 所以t=π2时，ymax=2; t=13π12时，ymin=2sin1312π=-2sinπl2 =-2 sin \a s4 alcol(fππ4)=3)2； 所以当x=5π48时，函数fx)取最大值为2，当x=π4时，函数x)取最小值为3)2 [解题心得]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点 (I)三角函数的性质问题，往往都要先化成x)=Asi(x十p)十b的形式再求解.要注意 在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变 换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于 同一个角的三角函数式， (②)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入 的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期， 高考再现 >>>>>> 1.(全国1卷)已知a∈(0，元)，且3cos2a-8cosa=5,则sina=() A.5)3 B.23 C.13 D.5)9 [解析]本题考查三角恒等变换以及同角三角函数基本关系.因为3cos2a-8cosa=5, 所以3(2cos2a-1)-8cosa=5,即3cos2a-4cosa-4=0,即(3cosa+2)(cosa-2)=0,解得 cosa=-23或cosa=2(舍去).又a∈(0，元)，所以sina=1-cos2a=5)3.故选A [答案]A 2.(2025·新高考川卷)已知0<a<元，cosa2=5)5,则sin lalvs-41 alcol(a-fπ4)=() A.2)10 B.2)5 C.2)10 D.2)10 [解析]cosa=2cos2a2-1=2×avs4 allcol/fr(5)5)2-1=-35,因为0<a<元，则π2 <as元，则sina=1-cos2a=5)sup1222)=45,则sin aivs4 alcol1a-yr4)=sin acos元4-cos asinπ4=45×2)2-laws4 allcol(-f35》×2)2=2)10.故选D [答案]D 3.(2025·北京卷)设函数x)=sin @x-十cOS @x(ao>0),若fx十)=fx)恒成立，且fx)在0， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 fπ4)上存在零点，则ω的最小值为( A.8 B.6 C.4 D.3 [解析]函数fx)=sin ox+cos cx=2 sin lalvs.4 alcol(ox十fπ4)(o>0),设函数fx)的最 小正周期为T,由fx十)=x)可得kT=元，(k∈N*),所以T=2πo=πk,(k∈N*),即ω=2k, (k∈N；又因为函数x)在O,红4)上存在零点，且当x∈0，fπ4)时，ox十π4∈1f(πoπ4)， 所以πω4十π4≥元，即ω≥3；综上，o的最小值为4.故选C. [答案]C 4.(全国甲卷)若a∈avs4 allcol(0,fz2),tan2a=cosa2一sina,则tana=() A.15)15 B.5)5 C.5)3 D.15)3 [解析]由tan2a=sin2acos2a=2 sin acos al一2sin2a=cosa2-sna,化解得sina=14, 从而得tana=15)15.故选A [答案]A 5.(2024全国甲卷（文）)函数fx)=sinx-3cosx在[0，元]上的最大值是 [分析]结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可， [解析]x)=sinx-3cosx=2 sin lalvs-4 allcol(-fa3)》,当x∈[0，x时，x-π3∈-\ fπ2π3)，当x-π3=π2时，即x=5π6时，fx)mr=2 [答案]2 6.(多选题)(2025新高考1卷)已知△ABC的面积为14，若cos2A+cos2B+2sinC=2, cos A cos B sin C=14,则() A.sin C=sin24+sin2B B.AB=2 C.sin4+sin B=6)2 D.AC2+BC2=3 [解析]cos2A+cos2B+2sinC=1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2,所以sin2A+sin2B= sinC,A正确；令a=BC,b=AC,c=AB,则asin A=bsin B=csin C=2RR为△ABC的外 接圆半径)，由sin2A+sin2B=sinC,得a2+b2=c2R≥c2.若a2+b2>c2,则△4BC为锐角三角 形，则A+B>π2，即A>π2-B,则sinA>sin lalvs.4 alcol(fπ2)-B)=cosB,所以sinC sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,矛盾.故a2+b2=c2,即C=A+B=π2，所以cos(A+B)= cos A cos B-sinA sin B=0,又cos A cos B sin C=cos A cos B=l4,所以sinA sin B=l4.因为 S△4Bc=12 ab sin C=12ab=14,所以ab=12,所以absin A sin B=(2R)2=1214=2,所以2R =2,所以c=2 Rsin C=2,B正确；(sinA+sinB)2=sin2A+sinB+2sin4sinB=sinC+2sinA sinB=1+2×14=32,所以sinA+sinB=62,C正确；AC2+BC2=AB2=c=2,D错误.故 选ABC 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]ABC 课时作业（二十） 1.(24一25高一下.甘肃张掖期末)已知tan0=2,则tan20=() A.4 B.43 C.-43 D.-34 [解析]tan20=2tan01-tan20=2×21-22=-43.故选C. [答案]C 2.(2024湖北模拟预测)已知coslalvs4 allcol(fπ2)+a+3cos(a-元)=0，则sina-sin3a rc2)十a)=() A.35 B.-35 C.310 D.-310 [解析]因为cos lalvs-4 allcol(f(n2)+c+3cos(a-)=0,所以一sina-3cosa=0,所以 tan a=-3.sin a-sin3arc\2)+a)=sin a(1-sin2a)cosa=sin acos a=tan atan2a+1=-310. 选D. [答案]D 3.(24-25高二下·安徽宣城期末)已知3sina十cosa=2,则tana=() A.3)3 B.3 C.-3)3 D.-3 [解析]因为3sina+cosa=2,所以2 sin lalvs4 allcol(a十fπ6)=2，则sin as4 alcol(a十fπ6)=l,解得a=π3+2kr,k∈Z,由诱导公式得tana=tan1 als4 alcollfπ3)+2k)=tanπ3=3，故B正确.故选B. [答案]B 4.(2024广东深圳期中)计算：12-cos2π8=() A.-2)4 B.2)4 C.2)2 D.-2)2 [解析]12-cos2π8=12-元42=-2)4，故选A [答案]A 5.已知3sina+cosa=2)3,则cos lalvs-4 alcol(f2π3)-2a)=() A.-1718 B.1718 C.-89 D.89 [解析]由3sina+cosa=23,得2 cos lalvs.4 allcol(0fπ3)-a=2)3,即cosI alvs4lallcol(f(3)-a)=2)6,..cos lalvs4\allcol(f(273)-2a)=2cos2\alvs4lallcol(f(n3)-a)-1 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =2×aws4a1 col(for2)6)2-1=-89.故选C. [答案]C 6.(2024河南南阳·期末)化简4sn24cos24cos12°+tan12°=() A.1 B.2 C.3 D.2 [解析]4sin24cos24cos12°+tan12°=2sin48°+sin12cos12°=2sn(60°-12)+sim 12cos12°=3)cos12°-sin12°+sin12cos12°=3.故选C. [答案]C 7.(多选题)(2024江苏连云港·二模)已知函数x)=3cos2x2-sinx2cosx2,则() A.函数x)的最小正周期为4π B.点avs4al小col(-f2rr(32)是函数fx)图象的一个对称中心 C.将函数x)图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称 D.函数f)在区间aws4 allcol(一fπ6)，0)上单调递减 [fx)=3cos2x2-sinx2cos x2=3.1+cos x2-sin x2=3)2cos x-12sin x+3)2=cos avs4alco1(c十fπ6)+3)2，故最小正周期为2π，A错误；faws4 alcol(-f2π3》=cosV avs4 alco1(-f2ππ6+3)2=3)2，点lavs4 alcol(-f2元r(32)是一个对称中心，B正确；向 左平移5π6个单位长度得到faws4 alcol(十f5π6)=cos lalvs44 alcol(x十f(π5π6+3)2= cosx+3)2,关于y轴对称，C正确；x∈lalvs4 allcol(-fπ6)，0)，x+π6∈las4 alcol0,1 fπ6)，所以x)在区间as4 allcol(-fπ6)，O)上单调递减，D正确.故选BCD [答案]BCD 8.(24-25高一下·广西钦州期末)函数术a)=8 sin acos2a2-4sina+sin2a-cos2a的最大值 为() A.2 B.2 C.5 D.3 [Ra)=8sinacos2a2-4sina+sin2a-cos2a=4sinalaws4lalicol(2cos2 f(a2)-1)- cos2a=4 sin acos a-cos2a=2sin2a-cos2a=5sin(2a-o),其中tanp=12,则当2a-o=π2 +2kr,k∈Z时，fa取最大值5故选C [答案]C 9.(2024重庆南开中学模拟预测)已知a∈aws4 alcol(0,π2)且tan lalvs4 al\col(a+1 fz6)=2,则sin acos a+3)2cos2a的值为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 [解析]由a∈lavs4 alcol(0,fa2》且tan laws4 alcol(a+fr6)=2,得 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以sin acos a-+3)2cos2a=12sin2a+3)2cos2a =sin lawvs4\allcol(2a+y(3))=2sin \awvs4allcol(a+yf(6))cos las4\alcol(a+y(6)) =rclirc16))rclrcl6))=\rcl6))rc16)) =2×222+1=45.所以sinacos a+3)2cos2a的值为45.故选D. [答案]D 10.(2024四川成都·高一统考期中)函数x)=12sin2x+3)2cos2x,x∈R,将函数x) 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g)的图象，则g)在区间-f(π3)上的最小值为 () A.0 B.-3)2 C.-1 D.12 [解析]由函数fx)=12sin2x+3)2cos2x=sin lalvs-4 alcol2x+/z3),将函数fx)的图 象向右平移π3个单位长度，可得g)=sin2 bllclArclπ3)=sin lawvs4 alcol(2x-fr3),因为x ∈一f(ππ3)，可得2x-π3∈-f(2π3)，所以当2x-π3=一π2时，即x=-元l2时，函数g(x) 取得最小值，最小值为一1，即函数gx)在区间-f(ππ3)上的最小值为一1.故选C [答案]C 11.(24-25高二下·云南昆明期末)己知3sina-cosa=27,则cos lawvs4 allcol(2a一 fπ3》= [解析]因为3sina-cosa=27, 所以2 sin lalvs-4 allcol(a-fr6)=27→sin alvs4 allcol(a-fr6)=17, 令t=a-π6，则sint=17, cos lalvs4lallcol(2a-f(3))=cos 2\b\lc\(rc\3)=cos 2t=1-2sin2t=1-249=4749. [答案]4749 12.(2024山东师范大学附中模拟预测己知0<a<π2，sinlalvs44 alcol(f红4)-a)=2)6, 则sin al十tana= [解析]因为0<a<π2，-π4<π4-a<π4，所以cos lalvs4 allcol(π4)-a= Arcl ⑥)八sup12(2)=34)6, 所以-sina=sin lalvs4 alcol(f(r4)=sin lals.4 alcol0ffπ4)-a)cos4-cos aws4alco1fπ4)-asinπ4=2)6×2)2-34)6×2)2=16-17)6，所以sina=17)-16,cosa =1-(sna2=17)+16,所以tana=sin acos a-=17)-1r17)+1,则snal+tama= r(176r(1717+1=17)51 [答案]17)51 13.(2025·新高考1卷T19节选)1)设函数x)=5cosx一cos5x,求fx)在0，fπ4)的最 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 大值. [解](1)法一：fx)=-5sinx+5sin5x =10cos 3x sin 2x, 因为x∈0，fπ4)，故2x∈0，fπ2)，故sin2x≥0， 当0<x<π6时，cos3x>0即f(x)>0, 当π6<<π4时，cos3x<0即f(x)<0, 故fx)在laws4 al col(0,fπ6)上为增函数，在alvs4al小colf(ππ4)为减函数， 故x)在O,π4)上的最大值为 favs4 alcol(fπ6)=5cosπ6-cos5π6=33 法二：我们有cos5x=cos(x十4x) =cos x cos 4x-sin x sin 4x =cos x(2cos22x-1)-sinx.2sin 2x cos 2x =cos x(2(2cos2x-1)2-1)-sinx 2 2sinx cos x cos 2x =cos x(8cos4x-8cos2x+1)-4cosx cos 2x sin2x =8cos5x-8cos3x+cosx-4cos x(2cos2x-1)(1-cos2x) =16cos5x-20cos3x+5cosx. 所以fx)=5cosx-cos5x =5cos x-(16cos5x-20cos3x++5cosx) =20cos3x-16cos5x =4cos3x(5-4cos2x)<4cosx3(5-4cos x2) =4lcosx3(5-2cos x(5++2lcos xD) =323alvs4\allcol(lcos xcosxcos xl\f(r(15r(5)-2cos xD)\f(r(155)+2cos xl <323X\alvs4alcol(f(1\rc\)(alvs4alcol(lcos x+lcos x+cos x|+\f(r(15\r(5)-2lcos xD) +f0r(15r(5)+2 cos x))5 =3231aws4 allcol(f0r(3)2)5=33. 这得到fx)≤33，同时又有faws4 allcol(0fπ6)=5cosπ6-cos5π6=33， 故x)在0，fπ4)上的最大值为33，在R上的最大值也是33， 14.(2025新高考川卷)己知函数x)=cos(2x十p)(0≤0<m),0)=12 (1)求0： (2)设函数g(x)=x)+faws4 alcol(x一6)，求gx)的值域和单调区间. [解](1)由题意f0)=cos0=12,(0≤0<π)，所以0=π3. (2)由(1)可知fx)=cos lalvs-4 alco1(2x+fπ3》， 所以gw)=fx)+favs4 alcol化-π6) ·独家授权侵权必究