第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案围绕任意角概念与弧度制、任意角三角函数等高考核心考点，按概念推广、度量制度、函数定义的逻辑层次梳理知识，通过考点梳理、思考辨析、例题精讲、真题训练及分层练习的教学流程，帮助学生系统突破终边相同角判断、象限角分析等难点，体现复习的系统性与针对性。 教案突出数学思维与数学语言的核心素养培养，如通过终边在直线上的角分类讨论渗透逻辑推理，结合扇形面积问题强化函数思想应用。精选全国卷及地方卷真题演练，设置基础巩固与能力提升分层练习，高效突破考点，助力学生提升三角函数综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 教材梳理 >>>>>> 知识点1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点_从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形。 (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=1 B=a+2km,k∈Z· 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同. 知识点2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad (2)公式 角a的弧度数公式 a=(I表示弧长) 角度与弧度的换算 ①l°=rad;②lrad=° 弧长公式 1=lar 扇形面积公式 S=Ir=alr2 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π=180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致， 不可混用 (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度， 知识点3任意角的三角函数 (1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,),那么sina= v,cos a=x,tan a=(x0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，O).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做 角α的正弦线、余弦线和正切线 独家授权侵权必究 零学科网书城 第巨方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y A(1,0) A(1,0) M y A(1,0) (1,0) [常用结论] 1.一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.三角函数定义的推广 设点Px,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=OP列，则sina=,cosa=,tan a=(x≠0). 3.象限角 第-象限角(a2km<a<2kr+受，kEZ 限 第二象限角{@2km+受<a<2kr+m,k∈Z 的集合 第三象限角a2k+m<a<2km+受，kEZ列 第四象限角a2k+变<a<2k+2m,kEZ☑ 4.轴线角 终边落在x轴上的角{aa=km,k∈Z 轴线角的集合 终边落在y轴上的角{aa=罗+m,k∈Z) 终边落在坐标轴上的角(aa=专π，k∈Z) 诊断自测 ④ 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)小于90°的角是锐角.() (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.() 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.() (4)若a为第一象限角，则sina十cosa心1.( [解析](1)锐角的取值范围是， (2)第一象限角不一定是锐角 [答案](1)×(2)×(3)√(4)√ 教材衍化 2.(24一25高一下山东日照·期末)下列各角中，与角终边相同的角为( A. B.- C. D. [解析]因为-=，所以-与角终边不相同，故A错误；-=2π，所以-与角终边相同， 故B正确；·=·，所以与角终边不相同，故C错误；·=-元，所以与角终边不相同，故 D错误.故选B. [答案]B 3.在一720°~0°范围内，所有与角a=45°终边相同的角B构成的集合为 [解析]所有与角α终边相同的角可表示为B=45°+k×360(k∈Z,则令-720°≤45° +k×360°<0(k∈Z☑，得-765°≤k×360°<-45(k∈Z) 解得k=-2或k=-1,B=-675或B=-315° [答案]{-675°，-315} 考题体验 4.(多选题)(2024武汉调研)关于角度，下列说法正确的是() A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角 D.若a是第二象限角，则是第一或第三象限角 [解析]时钟经过两个小时，时针转过的角是-60°，故A错误；钝角一定大于锐角， 显然B正确；若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故C错误；，角α的 终边在第二象限，∴2km+<a<2kπ+π，k∈Z,∴kπ+<<kπ+，k∈Z.当k=2n,n∈Z时， 2π+<<2nπ+，n∈Z,得是第一象限角；当k=2n+1,n∈Z时，(2n+1)m+<<(2n+ 1)π+，n∈Z,得是第三象限角，故D正确 [答案]BD 5.(24一25高一下·上海青浦·期中)方程cos=,x∈，则x= [解析]由题设x+∈，又因为cos=,则x+=-,可得x=~, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案] 一/-元 典例精讲 [例1](I)写出终边在直线y=x上的角的集合； (2)已知a是第二象限角，求所在的象限， (3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角a用集合可表示为 [思路点拨](1)分角的终边在第一象限和第三象限讨论 (2)根据象限角的定义先写出第三象限角，再写的范围，最后确定所在象限， (3)注意边界线的虚实 [自主解答](1)当角的终边在第一象限时，角的集合为，当角的终边在第三象限时，角 的集合为，故所求角的集合为U= (2).α是第二象限角， ∴.2kπ+元<a<2kπ+π(k∈Z), ∴.km+<kπ+π(k∈Z). 当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角. 综上知，当α是第二象限角时，是第一或第三象限角 (3)由图可知，角α用集合表示为(k∈Z). [解题心得]1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2π十 a(0≤a<2)k∈Z)的形式，然后再根据a所在的象限予以判断. 2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角， [例2](24一25高一下·广东·期中)己知角a的终边在函数y=一x,x∈[0，十∞)的图象 上，求sina,cosa和tana. [思路点拨]根据三角函数的定义求解即可 [自主解答]在函数y=-x,x∈[0，+∞)的图象上任取一点P(2,-1),由任意角的三 角函数的定义可得sina==-,cosa==,tana==-, 独家授权侵权必究 零学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值 就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两 组要分别求解. [例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [思路点拨]根据周长与面积即可求解圆心角，根据周长求解最大面积 [自主解答](1)设圆心角是0，半径是R, 则解得（舍）， 故扇形圆心角为 (2)设圆心角是0，半径是R,则2R+R0=40. S=0R2=R(40-2R=R(20-R) =-(R-10)2+100≤100 当且仅当R=10时，Smax=100,0=2. 所以当R=10,0=2时，扇形面积最大. [解题心得]1利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2.本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题 得到解决，这是解决此类问题的常用方法， 3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形 高考再现 >>>)>> 1.(全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧 长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB 上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：S=AB十.当OA=2,∠AOB =60时，s=() A. B 0 [解析]如图，连接OC, 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为C是AB的中点， 所以OC⊥AB, 又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线， 即OD=OA=OB=2, 又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2, 则OC=,故CD=2-, 所以s=AB+=2+=故选B, [答案]B 2.(北京卷)已知命题p:若a,B为第一象限角，且a心B,则tan心tanB.能说明p为假命 题的一组a,B的值为a= ,B= [解析]因为fx)=tanx在上单调递增，若0<o<f<,则tan do<tanB,取a=2k元+ ao,B=2kr+fBo,k,k2∈Z,则tana=tan(2kπ+ao)=tan do,tanB=tan(2kπ+B)=tan B,即tana<tanB,令k>k2,则a-B=(2kπ+ao)-(2kπ+Bo)=2(k-k2)m+(a-Bo),因为 2(%-k2)π≥2π，-<-B<0,则a-B=2(k1-k2)π+(-B)>>0,即k1>k2,则a心B.不妨取k =1,k2=0,a=,B=,即a=,B=满足题意 [答案] 3.(2024北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关 于原点对称.若a∈，则cosB的最大值为 [分析首先得出B=α+π+2kπ，k∈Z,结合三角函数单调性即可求解最值， [解析]由题意得B=a+π+2km,k∈Z,从而cosB=cos(a+π+2km)=-cosa,因为 a∈，所以cosa的取值范围是，cosB的取值范围是，当且仅当a=,即B=+2km,k∈Z时， cosB取得最大值，且最大值为-. [答案]-/-0.5 4.在平面坐标系中，AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P在其中 一段上，角a以Ox始边，OP为终边，若tana<cosa<sina,则P所在的圆弧是() 独家授权侵权必究 零学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.AB B.CD C.EF D.GH [解析]设点P的坐标为(x,y),利用三角函数可得<≤y,所以，所以P所在的圆弧是 EF. [答案]C 5.(全国川卷)若α为第四象限角，则() A.cos 2a>0 B.cos 2a<0 C.sin 2a>0 D.sin 2a<0 [解析]a是第四象限角，.∴sina<0,cosa>0, ∴.sin2a=2 sin acos a<0.故选D [答案]D 课时作业（十六） 1.下列与2020°角的终边相同的角为() A.200° B.140° C.-220° D.220° [解析]因为2020°-220°=5×360°，所以2020°与220终边相同，其他角不满足.故 选D [答案]D 2.(24一25高一上·天津·期中)一扇形的面积为元，圆心角大小为120°，则该扇形的弧长 为() A. B.元 C.π D.元 [解析] 设该扇形所在圆半径为r,则r=,解得r=2,所以该扇形的弧长为r=故选 0 [答案]D 3.(24-25高二下·广东梅州·期末)已知角a∈R,则“a为第二象限角”是“cosa<0” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 独家授权侵权必究 零学科网书城 百方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]若a是第二象限角，则cosa<0,故充分性成立；若cosa<0,则a是第二象限 角或者第三象限角或者终边在x轴负半轴上，故必要性不成立，“，为第二象限角”是“cos <0”的充分不必要条件，故选A. [答案]A 4.(2024高一单元测试)已知角a的终边位于第二象限，则点P(sina,cosa)位于() A.第二象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第一象限 [解析]因为角a的终边在第二象限，则sina>0,cosa<0,所以点P在第四象限.故选 C [答案]C 5.(2024上海宝山期末)已知角a终边上一点P(m,2),若sina=,则实数m的值为( A.1 B.2 C.±1 D.±2 [解析]由三角函数定义可得sina==,解得m=±l.故选C. [答案]C 6.己知角a的终边过点P(一8m,一6sin30),且cosa=一，则m的值为() A. B.- C. 0 [解析]由题意得点P(-8m,-3),r=,所以cosa==-,所以m>0,解得m=. [答案]C 7.(2025·高二上·北京，学业考试)在平面直角坐标系xOy中，角α以O为顶点.以0Ox为 始边，终边经过点(1，一1)，则角a可以是() A. B.- C. D.元 [解析]由角a终边经过点(1，-1)，可知tana=-1,且a为第四象限角，故选B. [答案]B 8.(2024·高一单元测试)下列命题中，正确的是() A.第三象限角大于第二象限角 B.若P(2a,a)a≠0是角a终边上一点，则cosa= C.若a、B的终边不相同，则cosa≠cosB D.tanx=一的解集为 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]若a=-150°，B=120°，a,B分别为第三象限以及第二象限的角，但是a<, 故A错误；cosa==,故B错误；当a=-B+2km,k∈Z时，cosa=cosB,故C错误；tan x=-得x=π-，k∈Z,所以D正确.故选D. [答案]D 9.(2024江苏南京)已知角a终边上有一点P,则π+a是( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析]法一：由任意角三角函数定义得sina=cos=cos=cos=,cosa=sin=sin= -in=-,故a=+2kπ，k∈Z,可得π+a=+2km,k∈Z,故π+a是第四象限角，故D 正确. 法二：由诱导公式可得cos=cos=cos=,sin=sin=-sin=-, 故得P,显然P在 第二象限，则a也在第二象限，而π+a与a关于原点对称，故π+a在第四象限，故D正确， 法三：首先，我们知道是第四象限角，由第四象限角的三角函数值符号特征得c0s >0,sin<0,故得P在第二象限，则a也在第二象限，而π+a与a关于原点对称，故π+a 在第四象限，故D正确.故选D [答案]D 10.(25一26高一下·广东·期中)利用单位圆写出符合条件sina≥的角a的集合是() A. B. C. D [解析]如图，作直线y=交单位圆于A,B两点，连接OA,OB,则OA与OB围成的 区域（图中阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为. [答案]A 11.(24-25高一下·上海嘉定·期末)已知角a的终边经过点P(0,2),则cosa= [解析由角a的终边经过点P(0,2),所以cosa==0 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]0 12.(2024北京昌平·期末)在平面直角坐标系xOy中，角α与角B均以Ox为始边，它们 的终边关于y轴对称.若角a的终边与单位圆交于点P,则cosB= [解析]因为角a与角B的终边关于y轴对称，且角a的终边与单位圆交于点P,所以 +m2=1,解得m=±，当m=时，即角B的终边与单位圆的交点Q,所以cosB=~.当m= -时，即角B的终边与单位圆的交点Q,所以cosB=-综上所述，cosB=-. [答案]-/-0.6 13.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点 P3,4),则= [解析]根据角a的终边过P(3,4),利用三角函数的定义式，可以求得tana=,所以 有====10. [答案]10 14.(24-25高一下·上海·期中)已知a的终边在直线y=2x(x<0)上，则cosa= [解析]在角a的终边上任取一点P(m,2m)(m<0),则cosa===- [答案] ·独家授权侵权必究