第一章 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦充分条件与必要条件、全称量词与存在量词核心考点，按定义内涵、集合转化、命题否定的逻辑层次架构知识，通过对比表格梳理概念联系，设置考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建逻辑推理框架突破难点。 教案突出逻辑推理与数学抽象素养培养，创新采用“概念辨析-判定方法-综合应用”三阶教学，如例3结合直线与圆、立体几何情境辨析条件关系，通过分层练习（基础题如教材衍化、提升题如高考真题）和解题心得总结，高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二节　充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 知识点1　充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 p⇒q且__qp__ A是B的真子集 集合 与充 要条 件的 关系 p是q的必要不充分条件 pq且__q⇒p__ B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔__q__ A＝B p是q的既不充分也不必要条件 pq且__qp__ A，B互不包含 思考：“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”有区别吗？ 提示：有区别：前者是“p⇒q且qp”，而后者是“q⇒p且pq”． 知识点2　全称量词命题与存在量词命题 命题量词名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) __∃x0∈M，¬p(x0)__ 存在量 词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) __∀x∈M，¬p(x)__ [常用结论] 1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”). 2．(1)p⇒q等价于¬q⇒¬p. (2)qp等价于¬p ¬q. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) (2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　) (4)“长方形的对角线相等”是存在性命题．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 教材衍化 2．(24－25高二下·天津和平·期末)已知a∈R，则“a2>1”是“a>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　因a2>1等价于a>1或a<－1，显然根据“a>1或a<－1”推不出“a>1”；而由a>1可以推出a2>1，故“a2>1”是“a>1”的必要不充分条件．故选B. [答案]　B 3．(2025·高三·北京·专题练习)已知命题p：∃x>1，x2－1>0，则¬p是(　　) A．∀x≤1，x2－1≤0 B．∀x>1，x2－1≤0 C．∃x≤1，x2－1≤0 D．∃x>1，x2－1≤0 [解析]　因为命题p：∃x>1，x2－1>0，所以¬p：∀x>1，x2－1≤0.故选B. [答案]　B 考题体验 4．(2024·陕西商洛·镇安中学校考·模拟预测)“a>|b|＋1”是“a>b”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　当a>|b|＋1时，a>|b|≥b，即a>b，充分性成立；当a＝1，b＝－1时，a<|b|＋1，必要性不成立．故“a>|b|＋1”是“a>b”的充分不必要条件．故选B. [答案]　B 5．若命题“∃t0∈R，t－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________． [解析]　命题“∃t0∈R，t－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题， ∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1. ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]. [答案]　(－∞，－1] [例1]　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)∃x∈{x|x∈Z}，log2 x＞0. [思路点拨]　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找到．对于(1)隐含了全称量词“任意的”，因此需要对其进行改写，(2)(3)(4)则从题目中可以看出全称量词与存在量词． [自主解答]　(1)本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题． (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题，例如：∃x0＝，但x＝3是有理数． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题． [例2]　(24－25高一上·广东广州·期中)写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)∀x∈Z，x2与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为60°； (3)存在一个实数x，使>2. [自主解答]　(1)∃x∈Z，x2＋3＝0，假命题． (2)存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题． (3)∀x∈R，≤2，假命题． [解题心得]　对于全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为¬p：∃x∈M，¬p(x)；对于特称命题q：∃x∈M，q(x)，其否定为¬q：∀x∈M，¬q(x).当一个命题中的量词省略时，要注意不能出错，应先补全量词，再进行否定． [例3]　指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切； (2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0； (3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m； (4)设α∈，β∈，p：α＜β，q：tan α＜tan β. [思路点拨]　(1)先分清命题的条件与结论； (2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证． [自主解答]　(1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝2＝r，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切， 则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2， 故p是q的充分不必要条件． (2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立． 反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0， 则x≥0或x≤－1. 当x≤－1时，|x|＝－x≠x， 因此，p是q的充分不必要条件． (3)∵l∥αl∥m，但l∥m⇒l∥α， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵x∈时，正切函数y＝tan x是单调递增的，∴当α∈，β∈，且α＜β时，tan α＜tan β，反之也成立． ∴p是q的充要条件． [解题心得]　解决此类题目首先要分清条件与结论，然后分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，或利用反例来推证． [例4]　(2025·高三·全国·专题练习)若“∀x∈R，x2－ax－2a>0”是假命题，则实数a的取值范围是________． [思路点拨]　根据“∀x∈R，x2－ax－2a>0”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围． [自主解答]　由题意得“∃x∈R，x2－ax－2a≤0”为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a≤－8或a≥0. ∴实数a的取值范围为(－∞，－8]∪[0，＋∞). [答案]　(－∞，－8]∪[0，＋∞) [解题心得]　1.解题“2关键” (1)把充分、必要条件转化为集合之间关系． (2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． 2．解题“1注意” 求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 1．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0⇒x＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件，综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 2．(全国甲卷(理))设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 [解析]　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B. [答案]　B 3．(北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　法一：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C. [答案]　C 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 [分析]　对于两个命题而言，可分别取x＝－1、x＝1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解． [解析]　对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题．故选B. [答案]　B 5．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [分析]　说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件． [解析]　根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都和a＝b是充分必要条件，所以二者互为充要条件．故选C. [答案]　C 6．(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立；所以“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 课时作业(二) 1．(24－25高三上·江苏南通·期中)下列命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．∃x∈R，使ex<0 B．至少有一个实数x0，使x≤0 C．∀x>1，有log2x>0 D．存在一个负数x，使得>2 [解析]　对于A选项，命题“∃x∈R，使ex<0”为存在量词命题，该命题为假命题；对于B选项，命题“至少有一个实数x0，使x≤0”为存在量词命题，因为02＝0，B选项中的命题为真命题；对于C选项，命题“∀x>1，有log2x>0”为全称量词命题，该命题为真命题；对于D选项，命题“存在一个负数x，使得>2”，当x<0时，<0，D选项中的命题为假命题．故选B. [答案]　B 2．(24－25高一下·湖南长沙·阶段练习)命题“∀x>0，x2－3x＋2>0”的否定是(　　) A．∀x>0，x2－3x＋2≤0 B．∀x≤0，x2－3x＋2≤0 C．∃x>0，x2－3x＋2≤0 D．∃x≤0，x2－3x＋2≤0 [解析]　由全称量词命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为∃x>0，x2－3x＋2≤0.故选C. [答案]　C 3．(24－25高二下·广西北海·期末)命题“∃x∈R，使得x≥x2”的否定形式为(　　) A．∃x∈R，x<x2 B．∀x∈R，x≤x2 C．∀x∈R，x<x2 D．∀x∈R，x>x2 [解析]　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“∃x∈R，使得x≥x2”的否定是：∀x∈R，x<x2.故选C. [答案]　C 4．(24－25高二下·江西赣州·期末)设a，b∈R，则a<b的一个必要不充分条件是(　　) A．> B．a3<b3 C．a2<b2 D．a3b2≤a2b3 [解析]　当a<0<b时，<，由－＝<0，所以当ab>0时，b<a，所以＞是a<b的既不充分也不必要条件，故A错误；由于y＝x3在R上为增函数，由a3<b3有a<b，当a<b时，a3<b3，所以a3<b3是a<b的充要条件，故B错误；由a2<b2有|a|<|b|，所以0<a<b或0＞a＞b，所以a2<b2是a<b的既不充分也不必要条件，故C错误；由a3b2－a2b3＝a2b2(a－b)≤0有a≤b，当a<b时，a3b2－a2b3＝a2b2(a－b)≤0，即a3b2≤a2b3，所以a3b2≤a2b3是a<b必要不充分条件，故D正确．故选D. [答案]　D 5．“a2＋b2＝2ab”是“a2＝b2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由a2＋b2＝2ab，可得a＝b；由a2＝b2，可得a＝±b；则“a2＋b2＝2ab”是“a2＝b2”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 6．(24－25高二下·湖北武汉·期末)已知p：x<－3或x>2，q：x>a，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　) A．a≤2 B．a≤－3 C．a>2 D．a≥2 [解析]　根据题意，p：A＝{x|x＜－3或x＞2}，q：B＝{x|x＞a}，q是p的充分不必要条件，所以B⊆A且B≠A，则a≥2.故选D. [答案]　D 7．(24－25高二下·重庆九龙坡·期末)若命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0；命题q：∃x>0，4－x－>0，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 [解析]　对于命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0，可取x＝3，则有32－3×3＋2＝2>0，故命题p为真命题；对于命题q：∃x>0，4－x－>0，当x>0时，4－x－＝4－≤4－2＝0，当且仅当x＝2时，等号成立，故命题q为假命题，则¬q是真命题．故选C. [答案]　C 8．(24－25高一上·山西大同·期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．∃x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有些自然数是偶数 D．所有菱形的四条边都相等 [解析]　由全称量词命题和存在量词命题的概念可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题；∀x∈R，2x＋1>0，当x＝－1时，2x＋1＝－1<0，故A错误；根据菱形的定义可知，所有菱形的四条边都相等，故D正确．故选D. [答案]　D 9．(24－25高二下·江苏南京·期末)已知p：x>a是q：1<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． [解析]　因为p：x>a是q：1<x<3的必要不充分条件，所以(1，3)是(a，＋∞)的真子集，所以a≤1. [答案]　a≤1 10．(24－25高一上·福建泉州·期中)集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，则A∪B＝R的一个充分不必要条件为____________．(用m表示) [解析]　因为集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，且A∪B＝R，则m>2，故使得A∪B＝R的一个充分不必要条件为“m>3”． [答案]　m>3(m的范围为集合{m|m>2}的真子集即可) 11．若“∀x∈，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________． [解析]　“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，可得－1≤tan x≤1，∴0≤tan x＋1≤2，∴实数m的最大值为0. [答案]　0 12．设x∈R，则“log2x＜1”是“x2－x－2＜0”的________________条件．(从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择). [解析]　由log2x＜1，解得：0＜x＜2，x2－x－2＜0解得－1＜x＜2，∴“log2x＜1”是“x2－x－2＜0”的充分不必要条件． [答案]　充分不必要 13．(24－25高三上·甘肃白银·期中)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)正方形都是菱形； (2)∃x∈R，4x－3>x； (3)∀x∈R，x＋1＝2x； (4)所有能被2整除的数都是偶数． [解]　(1)否定为：正方形不都是菱形． 正方形都是菱形，故为假命题． (2)否定为：∀x∈R，4x－3≤x. 当x＝2时，4x－3>x，故为假命题． (3)否定为：∃x∈R，x＋1≠2x. 当x＝0时，x＋1≠2x，故为真命题． (4)否定为：存在能被2整除的数不是偶数． 能被2整除的数都是偶数，故为假命题． 14．(24－25高一上·河北石家庄·期中)(1)写出下列命题的否定． ①所有能被3整除的整数都是奇数； ②∀x∈Z，x2的个位数字不等于3. (2)请判断下列两个命题中，p是否为q的充要条件，并说明理由． ①p：两个三角形相似，q：这两个三角形的三边对应成比例； ②p：xy>0，q：x>0，y>0. [解]　(1)①命题的否定：存在能被3整除的整数不是奇数；②命题的否定：∃x∈Z，x2的个位数字等于3. (2)①p是q的充要条件， 由三角形相似，p⇒q，所以p是q的充分条件． 再相似三角形的判定定理，q⇒p，所以p是q的必要条件，综上，p是q的充要条件． ②p不是q的充要条件， p：xy>0，但可能x<0，y<0，所以p不能推出q，即p不是q的充分条件． q：x>0，y>0可得p：xy>0，所以q能推出p，即p是q的必要条件，所以p是q的必要不充分条件，不是充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $