第一章 第三节 不等关系与不等式-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第三节　不等关系与不等式 知识点1　两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 知识点2　等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. 知识点3　不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac__＞__bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac__＞__bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒__＞__(n∈N，n≥2). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(　　) [解析]　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2. (2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bca＝b. (3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a<b，故(3)错． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．关于x的不等式ax<1的解集，下列说法不正确的是(　　) A．可能为∅ B．可能为R C．可能为 D．可能为 [解析]　若a＝0，不等式ax<1的左边＝0，∴x∈R，B正确；若a>0，则x<，D正确；若a<0，则x>，C正确；∴不等式的解集不可能为∅.A错误；故选A. [答案]　A 3．比较两数的大小：＋_______＋. [解析]　(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2＞(＋)2， ∴＋＞＋. [答案]　＞ 考题体验 4．(24－25高一上·北京·期中)若a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则(　　) A．a＋b>c B．ab>c2 C．a＋b>2c D．＋> [解析]　令a＝b＝－1，c＝－2，则a>c，b>c，因为此时a＋b＝－2＝c，故A不成立；ab＝1<(－2)2＝c2，故B不成立；＋＝－2<－1＝，故D不成立；根据不等式的基本性质：a>c，b>c⇒a＋b>2c，故C成立．故选C. [答案]　C 5．(2024·深圳·调研)若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　) A．a＜－b B．a＞b C．a2＜b2 D．＞ [解析]　由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B. [答案]　B [例1]　(24－25高三上·黑龙江哈尔滨期中)若x<y<0，设M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝x2y－xy2，则M，N的大小关系是________． [自主解答]　M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2y－xy2)＝(x－y)(x2＋y2－xy)＝(x－y)，因为x<y<0，所以x－y<0，＋>0，所以(x－y)＜0，所以M<N. [答案]　M<N [解题心得]　1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 2．作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系． 4．特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小． [例2]　(1)(24－25高一上·河北秦皇岛·期末)若a>b，c>0，a≠0且b≠0.则下列正确的是(　　) A．a2>b2 B．> C．ac>bc D．> (2)(24－25高一上·上海·阶段练习)下列命题是假命题的为(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b且>，则ab<0 C．若a>b>0且c<0，则> D．若a>b>0>c>d，则ab>cd [自主解答]　(1)由a>b，不一定能得到a2>b2，如a＝1，b＝－2，故A错误；由a>b，不一定能得到>，如a＝2，b＝1，故B错误；由不等式的性质可知，ac>bc成立，故C正确；由B选项知>不一定成立，所以>不一定成立，故D错误．故选C. (2)由ac2>bc2，可知c2>0，所以a>b，故A正确；由>可得：－＝>0，因为a>b，所以ab<0，故B正确；由a>b>0可得a2>b2⇒<，又因为c<0，所以>，故C正确；取a＝2，b＝1，c＝－3，d＝－4，则ab<cd.故D错误．故选D. [答案]　(1)C　(2)D [感悟升华]　解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．(多选题)(海南卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b＞ C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ [解析]　a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；a－b＝2a－1＞－1，所以2a－b＞2-1＝，故B正确；log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD. [答案]　ABD 2．已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是(　　) A．＞ B．ab＜b2 C．a－b＋≥2 D．＜ [解析]　因为a＞b＞0，0＜＜，而c的正负不确定，故A错误；因为a＞b＞0，所以ab＞b2，故B错误；依题意a＞b＞0，所以a－b＞0，＞0，所以a－b＋≥2＝2，故C正确；因为a＞b＞0，a－1＞b－1＞－1，与正负不确定，故大小不确定，故D错误．故选C. [答案]　C 3．(全国新课标Ⅱ)若a＞b，则(　　) A．ln (a－b)＞0 B．3a＜3b C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b| [解析]　取a＝0，b＝－1，则ln (a－b)＝ln 1＝0，排除A；3a＝30＝1＞3b＝3-1＝，排除B；a3＝03＞(－1)3＝－1＝b3，故C对；|a|＝0＜|－1|＝1＝b，排除D.故选C. [答案]　C 4．(多选题)(2024·山东新高考·模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　) A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z [解析]　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确． [答案]　ACD 5．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)与q＝ab·ba的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q [解析]　由题意知p＞0，q＞0，则＝＝a·b＝，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，则＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，则＞1；若a＝b，则＝1.综上，p≥q，故选A. [答案]　A 6．若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空). [解析]　(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. [答案]　＞ 课时作业(三) 1．(24－25高一下·浙江·期中)设a，b∈R，若－1＜b＜a＜0，则下列不等式中不正确的是(　　) A．a2<b2 B．< C．ab<b2 D．a＋b>－1 [解析]　因为－1<b<a<0，则1>－b>－a>0，则b2>a2，A选项正确；因为－1<b<a<0，则b－a＜0，ab＞0，则－＝＜0，B选项正确；因为－1＜b＜a＜0，则a－b＞0，b＜0，则ab－b2＝b(a－b)<0，C选项正确；取b＝－0.75，a＝－0.5，a＋b＝－1.25，所以a＋b<－1，D选项错误．故选D. [答案]　D 2．已知a，b，c，d，为实数，满足a>b，且c>d，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ac>bd B．a＋≥2 C．a－d>b－c D．< [解析]　例如a＝－1，b＝－2，c＝－3，d＝－4，此时满足a>b且c>d，此时ac<bd，所以A不正确；当a<0时，可得a＋＝－≤－2，当且仅当－a＝时，即a＝－1时，等号成立，所以B不正确；由a>b且c>d，可得a＋c>b＋d，所以a－d>b－c，所以C正确；由－＝，因为a>b，可得b－a<0，但ab的符号不确定，所以D不正确．故选C. [答案]　C 3．(2025·上海·单元测试)若a<b<0，d>c>0，有下列不等式：①ad>bc；②>；③a2>b2；④a－d<b－c，其中结论正确的个数有(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 [解析]　∵a<b<0，∴－a>－b>0.又∵d>c>0，∴－ad>－bc，即ad<bc，故①错误；∵a<b<0， ∴ab>0，∴<，即<.又c>0，∴<，故②正确；∵－a>－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故③正确；∵－a>－b，d>c，∴－a＋d>－b＋c，即a－d<b－c，故④正确，故选C. [答案]　C 4．(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有(　　) A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 [解析]　运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，B、D正确．又正数大于负数，A正确，C错误．故选ABD. [答案]　ABD 5．(2025·高三·全国·专题练习)设a∈R，下列各式成立的是(　　) A．a2≥2a＋1 B．a2>2a－1 C．4a2－a≥3a－1 D．a2－3a>a－4 [解析]　a2－(2a＋1)＝a2－2a－1＝(a－1)2－2，无法判断，A错误；a2－(2a－1)＝(a－1)2≥0，不成立，B错误；4a2－a－(3a－1)＝(2a－1)2≥0，成立，C正确；a2－3a－(a－4)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，不成立，D错误．故选C. [答案]　C 6．已知a<2，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋c<2＋c B．a2<c2 C．ac<2c D．a<0 [解析]　a<2，由不等式的性质可得a＋c<2＋c，故A正确；a<2，取a＝1，c＝，所以a2>c2，故B不正确；a<2，若c＝0，则ac＝2c，故C不正确；a<2，取a＝1>0，故D不正确．故选A. [答案]　A 7．已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 [解析]　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N. [答案]　B 8．若α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是(　　) A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π C．－＜2α－β＜ D．0＜2α－β＜π [解析]　∵－＜α＜，∴－π＜2α＜π.∵－＜β＜，∴－＜－β＜.∴－＜2α－β＜.又α－β＜0，α＜，∴2α－β＜.故－＜2α－β＜. [答案]　C 9．(24－25高一上·湖南衡阳·期末)已知实数a>b>c，且a＋b＋c＝0.下列结论正确的是(　　) A．> B．a2>b2 C．ab2>cb2 D．a－c≤2b [解析]　因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<，故A错误；因为a>b>c，所以a－b>0，又因为a>0，c<0，所以a＋b>－c>0，所以a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，所以a2>b2，故B正确；当b＝0时，ab2＝cb2，故C错误；因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以b＋c＝－a<0，又因为a－b>0，所以a－b>b＋c，所以a－c>2b，故D错误．故选B. [答案]　B 10．(2025·浙江杭州·二模)已知A∈R，ε为任意正数，若|A－6|≤ε恒成立，则(　　) A．A＝6 B．A＝±6 C．A>6 D．A<6 [解析]　因为对任意的正数ε，|A－6|≤ε恒成立，所以|A－6|≤0，又因为|A－6|≥0，所以|A－6|＝0，所以A＝6.故选A. [答案]　A 11．(2025·上海杨浦·三模)设a，b∈R，|a|＋|b|>|a＋b|，则a，b满足________条件． [解析]　由|a|＋|b|>|a＋b|，得(|a|＋|b|)2>|a＋b|2，所以a2＋b2＋2|a||b|>a2＋b2＋2ab，即|ab|>ab，所以ab<0. [答案]　ab<0 12．________(填“>”“<”或“＝”). [解析]　分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<. [答案]　< 13．(24－25高一上·四川眉山·期末)已知－1<a＋b<3，2<a－b<4，P＝a＋3b，则P的取值范围是________． [解析]　令，则，即P＝＋3×＝＝2m－n，由，即，可得，则－6<P<4. [答案]　－6<P<4 14．(24－25高二上·海南海口·期中)设实数x，y满足：1≤x≤2，6≤y≤8，则的取值范围是________． [解析]　因为1≤x≤2，所以≤≤1，又因为6≤y≤8，所以×6≤≤1×8，即3≤≤8，所以的取值范围是[3，8]. [答案]　[3，8] 学科网（北京）股份有限公司 $