第一章 第四节 一元二次不等式及其解法-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节 一元二次不等式及其解法 教材梳理 知识点1一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫做一元二次不等式. 知识点2三个“二次”间的关系 判别式=b2-4ac 4>0 4=0 4<0 二次函数 3y y=ax2+bx+c x0压x (a>0)的图象 01=x2文 一元二次方程 有两相异实根x,2(c 有两相等实根x1=x= ax2+bx+c-0 没有实数根 <x2) (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (-∞，xU (a>0)的解集 u R c2,土∞) ax2+bx+c<0 （,x 2 (a>0)的解集 知识点3(x一a)x一b)>0或(x一a)x一b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a(x-b)>0 {xr≤a或≥b x≠a {xr≤b或x之a (x-a:(x-b)<0 {xla≤x≤b} {xb<r≤a} 知识点4分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)台fx)gx)>0(<0). (2)≥0（≤0）台fx)g(x)≥0（≤0）且gx)≠0. [常用结论] 1.绝对值不等式xpa(a>0)的解集为(-∞，一a)U(a,+∞)：x<a(a>0)的解集为( a,a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2+bx十c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形. 3.不等式ax2+bx十c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立~或 (2)不等式a2+bx十c<0对任意实数x恒成立台或 诊断自测 >>>>> 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)若不等式ax2+bx十c>0的解集是(-∞，x)U(c2,+∞)，则方程x2+bx+c=0的两 个根是x1和2.() (2)若不等式ax2+br十c<0的解集为c,x),则必有a>0.( ) (3)不等式x2≤a的解集为-，].() (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根，则不等式ax2+bx十c>0(a<0)的解集为R.( [解析](3)错误.对于不等式2≤a,当a>0时，其解集为[-，]；当a=0时，其解集 为{0}，当a<0时，其解集为②， (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根，则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为②. [答案](1)√(2)V(3)×(4)× 教材衍化 2.(24一25高一下·河南新乡·期末)不等式>0的解集为 ,≥1的解集为 [解析]由>0，得2x-1>0,得x> 所以不等式>0的解集为， 由≥1，得≥0，得≤0， 则，解得<x≤1. 所以不等式≥1的解集为. [答案] 3.y=l0g2(3x2-2x-2)的定义域是 [解析]由题意，得3x2-2x-2>0,令3x2-2x-2=0,得x1=,2=,3x2-2x-2>0 的解集为U. [答案]U 考题体验 4.(2024大连·质检)若不等式ax2+bx+2>0的解集为，则a-b的值是() A.-10 B.-14 C.10 D.14 [解析]由题意知，-，是方程ax2+bx+2=0的两根，所以解得 故-b=-10. [答案]A 5.(24-25高二下江西萍乡·期末)若命题“3t∈R,一4t一a<0”是假命题，则实数a 独家授权侵权必究 亨学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 的取值范围为 [解析]命题“]t∈R,-4t-a<0”是假命题， 则命题“t∈R,-4t-a≥0”是真命题， 所以4=16+4a≤0→a≤-4， 即实数a的取值范围为(-∞，-4]. [答案]（一∞，一4] 典例精讲 >>>>>> [例1](2025·高二下·天津南开·学业考试)不等式一x2+x+2>0的解集为() A. {x-1<r<2} B.{x-2<<1} C.{xx<-1或x>2} D.{xx<-2或x>1} [自主解答]-x2+x+2>0可化为x2-x-2<0,即x-2)x+1)<0,可得或，解得 1<<2,所以不等式-x2+x+2>0的解集为{x-1<x<2},故选A. [答案]A [解题心得]解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式。 (2)确定判别式4的符号，若≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若 <0,则对应的一元二次方程无根. (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三 项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集 [例2](24-25高二下.安徽期末)设函数fx)=ax2-(b+1)x+1. (1)若x)=0的两根分别为一2和1，求实数a,b的值； (2)若b=a>0,解关于x的不等式fx)<0. [自主解答](1)由已知得，解得a=b=-. ∴a=b=-. (2)由已知得x)=ax2-(a+1)x+1, 由fx)<0整理得：(ax-1)x-1)<0, (a-1)x-1)=0的两根为x1=1,x2=. ①当0<a<1时，>l,解得1<x<; ②当a=1时，不等式为(x-1)2<0,x)<0的解集为☑； ③当心1时，<1，解得<<1. 综上， 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当0<a<1时，fx)<0的解集为； 当a=1时，x)<0的解集为☑； 当a心1时，fx)<0的解集为， [解题心得]解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次 二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0 还是大于0，然后将不等式转化为二次项系 项系数 数为正的形式 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式△与0 根的个数 的关系 确定无根时可直接写出解集，确定方程有 写出解集 两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 确定解集形式 [例3](1)2024·清远·一模)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1，+∞)，则关于x的不 等式(ax+b)x-3)>0的解集是() A.(-∞，-1)U(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞，1)U(3,+∞) (2)2024·江苏宿迁·期末)己知函数y=ar2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于 A(2,0),B(6,0)两点，则不等式cx2+2bx一a<0的解集为( A.(-6,-2) B.U C D.U [思路点拨](2)题的关键是利用根与系数的关系得到b=-4a,c=-12a,再代入不等 式cx2+2bx-a<0化简后进行求解.本题考查二次函数的图象和一元二次不等式的解集， [自主解答](1)C (2)由题意可知ax2+2bx-c=0(a>0)的两个根分别为x1=2,x2=6, 则2+6=-，2×6=-， 得b=-4a,c=-12a, .cx2+2bx-a=-12ax2-8ax-a<0, 整理得(2x+1)6x+1)>0, 解得x<-或x>-, 所以不等式cx2+2bx-a<0的解集为U.故选D. [答案](1)C(2)D 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数 a,b,c之间的关系，写出不等式的解集： (2)求解步骤 第一步：审结论一一明确解题方向 如要解ax2+bx+c<0,首先确定a的符号，最好能确定a,b,c的值； 第二步：审条件一一挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a,b,c的方程组，用 a表示b,c: 第三步：建联系一一找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求不等 式→求解ax2+bx+c<0的解集， 高考再现 >>>>>> 1.(2025新高考川卷)不等式≥2的解集是( A.{x-2≤x≤1} B.{xt≤-2} C.{x-2≤x<1} D.> [分析]移项后转化为求一元二次不等式的解即可. [解析≥2即为≤0 即，故-2≤x<1, 故解集为[-2,1)，故选C. [答案]C 2.(2024新课标1卷)已知函数fx)=在R上单调递增，则a的取值范围是() A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) [分析]根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可 [解析]因为fx)在R上单调递增，且x≥0时，fx)=e+≥0恒成立，∴fw)=e+ln(x +1)单调递增，当x<0时，x)=-x2-2ax-a,则fx)=-2x-2a≥0恒成立，则需满足 解得-1≤a≤0，即a的范围是[-1,0]故选B. [答案]B 3.(2025·上海卷)不等式<0的解集为 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析原不等式转化为(x-1)x-3)<0,解得1<x<3,则其解集为1,3). [答案](1,3) 4.(2025·天津卷)若a,b∈R,对Vx∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立， 则2a+b的最小值为 [解析]设t=2a+b,原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的-2≤x≤2，tx2+(t-2a)x-a-1≤0， 不妨代入x=-, 得t-(t-2a)-a-1≤0， 得t≥-4， 当t=-4时，原不等式可化为-4x2+(-4-2ax-a-1≤0 即-+a2≤0 观察可知，当a=0时，-(2x+1)2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且仅当x=-取等号， 此时，a=0,b=-4,说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意，故t=2a+b的最小值为 -4. [答案]-4 课时作业（四） 1.(2025·天津河北模拟预测)不等式xx一1)>0的解集为() A.{x<0或x>l} B.{x0<<1} C.{xr<-1或x>0} D.{-1<x<0} [解析]由xx-1)>0,可得<0或>1，故解集为{x<0或>1}.故选A. [答案]A 2.(24-25高一上·新疆和田·期末)不等式-3x2+7x一2<0的解集为() A. B.U(2,+∞) c D.(2,+∞) [解析]因为-3x2+7x-2<0,所以3x2-7x+2>0.所以(3x-1)x-2)>0,所以x>2或x<. 所以不等式的解集为U(2,+∞).故选B. [答案]B 3.(24一25高二下·陕西西安·期末)下列不等式的解集为R的是() A.4x2-4x+1≥0 B.-x2+2x-3>0 C.x2-3x+2>0 D.x+≥1 [解析]因为4x2-4x+1=(2x-1)2≥0恒成立，故A正确；当x=0时，-x2+2x-3= -3<0,故B错误；当x=1时，x2-3x+2=0,故C错误；当x=-2时，x+=-3<1,故D 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 错误.故选A. [答案]A 4.若不等式x2-(a+1)x十a≤0的解集是[-4,3]的子集，则a的取值范围是() A.[-4,1] B.[4,3] C.[1,3] D.[-1,3] [解析]原不等式为(x-a)x-1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1],此时只要 a≥-4即可，即-4≤a<1;当a=1时，不等式的解为x=1,此时符合要求；当a>1时， 不等式的解集为[1，a,此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得-4≤a≤3. [答案]B 5.(24一25高二下·浙江丽水期末)已知不等式x2+bx十c<0的解集为{x3<x<4},则 cx2+bx+1>0的解集为() A. B.U C. D.U [解析]因为不等式x2+bx+c<0的解集为{x3<<4},所以3,4是方程x2+bx+c=0的 两个根，3+4=-b,3×4=c,即b=-7,c=12,代入可得12x2-7x+1>0,解得x<或 x>,所以cx2+bx+1>0的解集为U.故选D. [答案]D 6.若0<K1,则不等式(x一)<0的解集是() A. B.(-∞，t)U C.U(-t,+∞) 0 [解析]由于0<1，所以>t,所以不等式(x-t)<0的解集故选D. [答案]D 7.x∈R,不等式ax2+4x一1<0恒成立，则a的取值范围为() A.a<-4 B.a<-4或a=0 C.a≤-4 D.-4<a<0 [解析]x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒成立，当a=0时，显然不恒成立，所以，解 得a<-4.故选A. [答案]A 8.(24一25高二下·江苏无锡·阶段练习)不等式x2-ax一b<0的解集是{x1<x<3},则 bx2-ax-1>0的解集是( A.{x-3<<-1} B. C.{xr<-3或x>一1} D. 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为不等式x2-ax-b<0的解集是{xl<x<3},所以1,3是方程x2-ax-b=0的 两个根.所以，解得.所以不等式-3x2-4x-1>0化简得(3x+1)x+1)<0.所以-1<<-故选 B [答案]B 9.已知p:“x心2，”q:“x2-x一a>0”,若p是q的充分不必要条件，则实数a的取 值范围是() A. B.(-∞，2] C. D.[2,+∞) [解析]若p是g的充分不必要条件，故x2-x-a>0在x心2时恒成立，故得<x2-x,令 x)=x2-x,由二次函数性质得x)在(2，+∞)时单调递增，则x)>2)=2,可得a∈(- ∞，2]，故B正确故选B. [答案]B 10.已知一元二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象经过原点且关于直线x=2对称，且 在[0,2]上y随x的增大而增大，y≥0的解集是() A.[0+∞) B.(-∞，0) C.[0,4] D.(-∞，0]U[4,+∞) [解析]因为图象经过原点且关于直线x=2对称，根据二次函数的性质可知，函数图 象也过点(4,0)，又因为在[0,2]上y随x的增大而增大，且[0,2]在对称轴的左侧，所以二 次函数图象开口向下，所以当0≤x≤4时，y≥0，即y≥0的解集为[0,4]故选C. [答案]C 11.(24-25高二下山东青岛·期末)已知关于x的不等式ax2-x+3>0的解集为，则a= [解析]由题意可知，-，1是一元二次方程ax2-x+3=0的两根，且a<0,则由韦达 定理可得，=-×1=-，得a=-2. [答案]一2 12.已知不等式ax十≥4对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 [解析]不等式ax+≥4对任意正实数x恒成立，即ax2-4x+1≥0对任意正实数x恒成 立，当a=0时，不等式-4x+1≥0，即x≤，不符合对任意正实数x恒成立，当a≠0时， 令x)=ax2-4x+1,若对任意正实数x恒成拉，则无解，或解得a≥4.所以a的一个值可以 是4. [答案]4（答案不唯一） 13.不等式ax2+x+1>0的解集为(m,1),则m= 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由已知，关于x的二次方程ax2+x+1=0的两根分别为m、1,且a<0,所以， 解得 [答案]-（或-0.5） 14.(24一25高一上·海南·期末)设a心1，关于x的不等式ax2-(2a十2)x+4<0的解集为 A. (1)求A: (2)设集合B={x-3<x<3a-5},其中a>1,若BECRA,求实数a的取值范围， [解](1)不等式ax2-(2a+2)x+4<0, 即(ax-2)x-2)<0. 因为a心1，所以0<<2， 所以由(ax-2)x-2)<0, 可得<<2，即A=. (2)因为a>1,所以3a-5>-2,所以B≠0， 由(I)得CRA=, 要使BECRA,则需3a-5≤， 整理得3a2-5a-2≤0，解得-≤a≤2 又a心1，所以a的取值范围为(1,2]. 独家授权侵权必究