第一章 第五节 基本不等式及其应用 -【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦基本不等式及其应用核心考点，按“概念本质-重要性质-最值应用”逻辑梳理知识，通过考点辨析、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建知识体系，突破等号成立条件判断、代数式配凑等难点。 教案创新采用问题链驱动教学，如结合“积定和最小”设计配凑法转化实例，培养学生数学思维与推理意识。设置基础判断、能力提升分层练习，配合即时反馈，高效提升学生应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

令学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节 基本不等式及其应用 教材梳理 >>>>>> 知识点1基本不等式：ab≤a十b2 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0 (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号， (3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数，ab称为正数a,b的几何平均数. 知识点2两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤laws4 allco1(fa+b2)2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 知识点3利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积y是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2（简记：积定和最 小) (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当x=y时，y有最大_值是s24(简记：和定 积最大) 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.() (2)函数y=x十1x的最小值是2.() (3)函数fx)=sinx+4sinx的最小值为4.() (4x>0且y>0是y+yx≥2的充要条件.（) [解析](1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R:不等式a+b2≥ab成立的条件 是a>0,b>0 (2)函数y=x十1x的值域是(-∞，一2]U[2,十∞)，没有最小值. (3)函数fx)=sinx十4sinx没有最小值 (4)x>0且y>0是y十yx≥2的充分不必要条件. [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 教材衍化 2.(2024陕西榆林高二校联考·期中)已知a>0,b>0,a十4b=2,则ab的最大值为( 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.14 B.12 C.1 D.2 [解析]因为a>0,b>0,a十4b=2,由基本不等式可得2=a十4b≥24ab=4ab,可得 ab≤14，当且仅当a=4b,即a=1,b=14时，等号成立，所以ab的最大值为l4.故选A [答案]A 3.(多选题)若x≥y,则下列不等式中正确的是() A.3*≥3y B.x+y2≥xy C.x2≥y2 D.x2+y2≥2y [解析]由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3≥3y,故A正确：当0>x≥y时， x十y2≥y不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2+y2-2y=(c-y) 2≥0成立，即x2+y2≥2xy成立，故D正确. [答案]AD 考题体验 4.(24-25高二下·安徽合肥·期末)已知实数a>0,b>0,且1a+%=2,则a+b的最 小值为() A.8 B.16 C.5 D.10 [解析]，a>0,b>0,且1a十96=2， ∴a十b= 12\alvs4\al\col(f(196)(a+b)= 12\alvs4allcol(f(b9ab)+10 12alvs4 alcol(2rfb9ba)+10=8,当且仅当ba=9ab,即a=2,b=6时等号成立，故选 A [答案]A 5.(24一25高二下·云南期中)若一个长方形的周长为6，则该长方形面积的最大值为 [解析]设长方形的长、宽分别为a,b(0<a,b3),则2a十2b=6→a十b=3,根据均值 不等式有：矩形面积S=ab≤aws4 allcol(ffa十b2)2=94,当且仅当a=b=32时取等号. [答案] 94 典例精讲 >>>>>> [例1](1)24-25高一下·湖南长沙期末)已知x>0,y>0,xy+2x+y=6,则2x+y的最 小值是() A.2 B.3 C.4 D.5 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)2025上海杨浦三模)已知a2+b2=1,则ab的范围是 [思路点拨](1)将xy十2x十y=6拼凑成(x十1)y十2)=8，再结合基本不等式即可求解. (2)利用重要不等式即可求解】 [自主解答](1)原式y+2x十y=6变形可得c+1)y+2)=8, 由x>0,y>0,得x+1>1,y+2>2, 所以2x+y=2x+1)+0y+2)-4≥ 22c+1)y+2)-4=22×8-4=4, 当且仅当2x+1x十1)y+2x>0y>0即x=1y=2)时取等号： 所以(2x十y)min=4.故选C (2)由a2+b2=1,可得1=a2+b2=|a2+1b12≥2labL,所以ab≤12，当且仅当1al=b =2)2时，等号成立，所以-12≤ab≤12，所以ab的范围是-f(112) [答案](1)C(2)-f(112) [解题心得]配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，配 系数、凑常数是关键 [例2](2024江准十校·第三次联考)已知a>0,b>0,a+b=1,则1a十1b的最小值为 [思路点拨]a十b=l;a十b=m时要进行适当的转化为右端为1. [自主解答]因为a+b=1,所以la+1b=avs4 allcol((f(11b(a+b)=2+1 avs4al小col0f(bab)≥2+2bab=2+2=4. 当且仅当a=b=12时，取等号. [答案]4 [解题心得]常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据己知条件或其变形确定定值（常数）： (2)把确定的定值（常数）变形为1： (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式： (④利用基本不等式求解最值. [例3](24-25高二下·重庆期末)若正实数x,y满足y十x一3y=一1，则x-y的最大 值为() A.3 B.2 C.1 D.0 [思路点拨]整理等式，根据基本不等式，可得答案， 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答]由y十x-3y=-1有x=3y一Iy十1，则x-y=3y-1y十1-y=4-f4y十1) 十y十)≤0，当且仅当x=y=1时，等号成立.故选D, [答案]D [解题心得]通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出 “和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值。 高考再现 >>>>> 1.(多选题)（新高考川卷）若x,y满足2十y2-y=1,则() A.x+y≤1 B.x十y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 [解析]由已知得x+y)2-3y=1,所以1=x+y)2-3y≥(x+y)2-3十y以4，即1≥ 十y)24,所以-2≤x十y≤2，所以A不正确，B正确：由2十y2-y=1,得x2十y2-1= ≤x2十y22,当且仅当x=y时取等号，所以x2十y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知， 选BC [答案]BC 2.(多选题)(2024山东新高考模拟)已知正实数a,b满足a十b=2,下列式子中，最小 值为2的有() A.2ab B.a2+b2 C.la+1b D.2ab [解析]因为a,b>0,所以2=a十b≥2ab,所以0<ab≤1，当且仅当a=b=1时等号 成立.由ab≤1，得2ab≤2，所以2ab的最大值为2，A错误；a2+b2=(a+b)2-2ab≥4-2 =2,B正确：1a十1b=a十bab=2ab≥2，C正确：2ab≥2，D正确，故选BCD [答案]BCD 3.(2025北京卷)已知a>0,b>0,则( ) A.a2+b2-2ab B.1a+1b≥1ab C.a+b-ab D.la+lb≤2rab) [解析]当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误；取a=12,b=14,此时1a十1b=2+4= 6<1114=8=1ab,1a+1b=2+4=62f(114)=42=2rab),故BD错误：由基本不等式可得 a十b≥2ab>ab,故C正确.故选C [答案]C 4.(天津卷)若a>0,b>0,则1a十ab2+b的最小值为 [解析]，a>0,b>0,∴.1a+ab2+b≥21ab2+b=2b+b≥22b)b=22,当且仅当1a= 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ab2且2b=b,即a=b=2时等号成立，∴.1a十ab2+b的最小值为22 [答案]22 5.(2024盐城模拟)已知正数m,n满足m+2n=8,则2m+1n的最小值为 等号成立时m,n满足的等量关系是 [解析]因为m+2n=8,所以2m+1n=avs4 al\colf(21n)×m+2m8=18×\ alvs4 allcol(4+f(4nmm)≥I8×avs4 alcol(4+2-rf(4nmm)=18×(4+4)=1,当且仅当4nm =n,即m=4,n=2时等号成立. [答案]1m=2n 6.(2025·上海卷)设a,b>0,a+1b=1,则b+1a的最小值为 [解析]易知b+1a=lavs4 allcol(b+f1a)laws4 alcol(a+f1b)=ab+1ab+2≥21ab) 十2=4，当且仅当ab=1,即a=12,b=2时取得最小值. [答案]4 课时作业（五） 1.(24-25高一下·云南临沧期末)已知正数a,b满足1a+1b=4,则ab的最小值为() A.2 B.4 C.12 D.14 [解析]由正数a,b,且1a+1b=4,所以1a+1b≥211b→211b≤4与ab≥14，当且仅当 1a=1b,即a=b=12时取等号，故选D. [答案]D 2.已知>2，则x十4一2的最小值是() A.2 B.4 C.22 D.6 [解析].x>2,.x+4红-2=x-2+4x一2+2≥2K-2)×4红-2)+2=6，当且仅当x-2 =4x一2，又x>2,∴x-2=2,即x=4时，x十4软一2的最小值为6. [答案]D 3.(2025·高三·北京·专题练习)已知-3x<0,则y=x9一x2的最小值为() A.-92 B.92 C.-32 D.不存在 [解析]由于-3<x<0,则9-x2>0,故y=9一x2=-x2(9一x2)≥一x2十9一x2)2=-92 ,当且仅当x2=(9一x2),即x=一2)2时取等号，即y=x9一x2的最小值为一92.故选A. [答案]A 4.若x<0,则x+1x的最大值为() ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.-2 B.-22 C.-32 D.2 [解析]当x<0时，-x>0,x+lx=-(-x+bVcrc)as4 alcol(-f1x)≤-2 （-x)-buclrcynalvs-4 allcol(-fx》=-2as4 allcol当且仅当-x=-1x,即x=-1时 取等号)，∴x十x的最大值为一2.故选A. [答案]A 5.(24-25高一下·广西贵港期末)3la+71a的最小值为() A.321 B.421 C.21 D.221 [解析]由题意得1a>0,则3dl+7al≥27al=221,当且仅当3la=71al,即a2=73时， 等号成立，所以3lal+71al的最小值为221.故选D [答案]D 6.“m<4”是“4x2-x十1>0在x∈(0，+∞)上恒成立”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]4x2-x+1>0在x∈(0，+∞)上恒成立，即4x+1x>m在x∈(0，+∞)上恒成立， 4x十1x≥4，当且仅当x=12时，取等号：故m<4,“m<4”是“m<4”的充要条件，故选C [答案]C 7.(2025·安徽合肥三模)已知正数a、b满足1a十2b=1,则a+2b的最小值为() A.4 B.6 C.8 D.9 [解析]由题意得a+2b=(a+2b)八alvs4 al\co1(f(12b)=1+2ab+2ba+4≥5+22b2ab=9, 当且仅当f2b2ab12ba>0,b>0时，即a=3,b=3时，a十2b取得最小值9.故选D [答案]D 8.(2025·浙江·高二下·学业考试)已知>0，则41+x十x的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]因>0，则x+1>1,则41十x十x=41+x+x+1-1≥24十1)1十x)-1=3,等 号成立时x=1.故41十x十x的最小值是3.故选C [答案]C 9.(2024泰州联考)对任意m,n∈(0，+∞)，都有m2-amn+2n2≥0，则实数a的最大 值为() A.2 B.22 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.4 D.92 [解析]，对任意m,n∈(0，+c∞)，都有m2-amn十+2n2≥0，.m2+2n2≥amn,即a≤ m2十2n2mn=mm十2m恒成立，，'mm+2mm≥2m2nm=22,当且仅当mm=2nm即m=2n时 取等号，∴.a≤22，故a的最大值为22.故选B. [答案]B 10.(24一25高二下·北京昌平.期末)若“x∈[1,3]，x+2x≤m”是真命题，则实数m 的最小值为() A.2 B.22 C.3 D.113 [解析]由题意有m≥avs4 allcol(x+f2x)min,由x+2x≥22x)=22,当且仅当x=2x, 即x=2时，等号成立，所以m≥22，即实数m的最小值为22，故选B [答案]B 11.(24-25高一下，河南焦作·阶段练习)已知x>0,y>0,且x+y=42,则y的最大值 为 [解析]因为x>0,y>0,且x十y=42,所以x+y=42≥2y,故xy≤8，当且仅当x=y =22等号成立，所以y的最大值为8 [答案]8 12.若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)，则2a+b的最小值为 [解析]由题设可得1a+2b=1,.'a>0,b>0,∴.2a+b=(2a+b)alvs4 alcol0f12b)=4 +ba+4ab≥4+2b4ab=8avs4 al\col(当且仅当fb4ab),即b=2a=4时，等号成立.故2a+b 的最小值为8. [答案]8 13.设命题p:>0,x十2x>a,若p是假命题，则实数a的取值范围是 [解析]因为p是假命题，故p为真命题，因为x>0,故x十2x≥22，当且仅当x=2时， 等号成立，故a<22. [答案]a<22 14.(24一25高二下·上海期末)若对任意的x>0,使得<x2+1均成立，则实数a的取 值范围是 [解析]对任意的x>0,使得ac2+1均成立，可转化为a<avs4 allcol(f2+1x)min =lalvs-4 al\col(化+f1x)min,根据基本不等式，>0时，x+lx≥21x)=2(当且仅当x=1时取 等)，因此，avs4 alcol(x+f1x)mn=2,a<2. [答案](-∞，2) 独家授权侵权必究