第八章 第五节 古典概型-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节 古典概型 教材梳理 >>>>>> 知识点1古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个· (②)每个基本事件出现的可能性相等。 知识点2古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基 本事件发生的概率都是1n· (2)如果随机事件A包含的基本事件数为m,由互斥事件的概率加法公式可得P(4)=m. 即对于古典概型，任何事件的概率为P(4)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数· 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发 芽与不发芽”.() (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可 能事件.() (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率，() (4)概率为0的事件一定是不可能事件.() [解析]对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确. 对于（②），三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所 以(2)不正确. 对于（④），概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确. [答案](1)×(2)×(3)√(4)× 教材衍化 2.(24一25高一下江苏徐州期末)从分别写有1,2,3,4的4张卡片中不放回地随机 抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为() A.13 B.25 C.12 D.23 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]从4张卡片中不放回地随机抽取2张，所有可能的组合有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3),(2,4),(3,4),共6种等可能的结果，和为奇数的条件是一奇一偶，符合条件的组 合为(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为46 =23.故选D. [答案]D 3.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门.不能开门地就 扔掉，问第二次才能打开门的概率是 ·如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 [解析] 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为2×24×3=13 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为2×24×4=14. [答案]1314 考题体验 4.(全国1卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到 上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“一一”，如图就是一重卦.在所有重 卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是() A.516 B.1132 C.2132 D.1116 [解析]在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n=26=64,恰有3个阳爻的基本 事件数为C36=20,所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p=2064 =516. [答案]A 5.(24一25高一下·吉林期末)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领 先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37. 在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是() A.128 B.136 C.114 D.118 [解析不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，随机选取两个不同的数共有 28种情况，其中和等于30的有11+19,13+17这两种情况，所以所求概率为228=114.故 选C [答案]C 独家授权侵权必究。 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典例精讲 ’>>)>, [例1](24一25高一下·湖南期末)俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人 机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销 活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一 购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件A=“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件B=“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. [思路点拨](1)设甲公司的3款无人机为41，a2,a,乙公司的2款无人机为b1,b2,丙 公司的1款无人机为c,利用枚举法可得样本空间； (2)列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； (3)列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. [自主解答](1)设甲公司的3款无人机为a1,2,a3,乙公司的2款无人机为b1,b2,丙 公司的1款无人机为c, 则样本空间2={a1a2,a1a,a1b1,a1b2,ac,a2,ab1,a2b2,aC,a3b1,ab2,a3c,bb2, bic,b2c3. (2)由已知可得A={a1b1,a1b2,a1c,a2b1,a2b2,a2c,a3b1,a3b2,a3c},则P(A)=915 =35. (3)由已知可得B={a1a2,a1a,a1b1,a1b2,a23,a2b1,a2b2,ab1,a3b2,b1b2},则P (B)=1015=23 [解题心得]基本事件的探求方法：①列举法，此法适合于较简单的试验.②树状图法： 树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求， [例2]箱中有6张卡片，分别标为1,2,3,4,5,6. (1)抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两个号码之和为偶数的概率； (2)抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码中至少有一个为偶数的 概率. [思路点拨]直接按照古典概型的概率求解步骤，注意两问中不放回和放回的区别， [自主解答](1)设“两个号码之和为偶数”为事件A,则P(4)=2×3×26×5=1230=25 (2)基本事件的个数为6×6=36，记“抽到的两个号码都为奇数”为事件B,“两个号码 中至少有一个为偶数”为事件C,则P(B)=3×336=936=14,故P(C=1一14=34 [解题心得]“不放回”抽取，在两次抽取时的条件发生了改变；“有放回”抽取，每次 抽取时的条件都是相同的.对于(2)，“抽到的两个号码中至少有一个为偶数”的对立事件为 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 “两个号码都是奇数”，显然利用对立事件的概率来求比较简单. [例3](24一25高一下·浙江宁波期末)一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小 球，分别标号0,1,2,3,4从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为x,y, 记a=(c,y),且b=(2,-1) (1)求事件“ab=0”发生的概率； (2)求事件“1a>b1”发生的概率. [思路点拨](1)由坐标表示向量的数量积结合古典概率求解可得： (2)由坐标表示向量的模长结合古典概率求解可得. [自主解答](1)ab=0台2x一y=0-y=2x, 所以x=1,y=2或x=2,y=4, 又因为不放回的依次取出2个球共有 0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,0),(1,2),(1,3),(1,4),(2,0),(2,1),(2, 3),(2,4),(3,0),(3,1),(3,2),(3,4),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3), 共20种情况， 所以事件“ab=0”发生的概率为220=110. (2)b1=5,la=x2+y2, 因为1ab,所以x2+y2>5, 所以(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (0,3),(0,4),(3,0),(4,0)共14种情况符合， 所以事件“la心lb”发生的概率为710. [解题心得]求古典概型概率的步骤 (1)仔细阅读题月，弄清题目的背景材料，加深理解题意. (2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A (3)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m. (4)利用公式P(A)=mn求出事件A的概率， (⑤)在解决该类问题时，必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或者先去求对立 事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 高考再现 >>>>>> 1.(全国乙卷（文）)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个 主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为() A.56 B.23 C.12 D.13 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果 如下表： 乙 2 4 6 甲 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6 2 2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6 J (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4， 4),(5,5),(6,6),共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P =3036=56.故选A. [答案]A 2.(全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为() A.79 B.2332 C.932 D.29 [解析]考查线性规划的知识，列出可行域0<x<11<y<274),可知三角形面积为12 ×34×34=932,1一932=2332，两数之和大于74的概率为2332. 2-1 2 [答案]B 3.(2024全国甲卷（文）)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾 的概率是() A.14 B.13 C.12 D.23 [分析]法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解。 法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进 行求解， ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 [解析]法一：画出树状图，如图， 甲 乙 丙 丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲 丙 甲 八 乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙 行乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲 或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率P=824=13. 法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾， 乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种：于是甲排在排尾共4种方法，同 理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是A44=24,根据 古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为824=13.故选B [答案]B 4.(天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6这三 个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三 个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 [解析]设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n,所以总数为15n,所 以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n:甲盒中黑球个数为25%×4n=n,白球 个数为3n:甲盒中黑球个数为50%×6m=3n,白球个数为3n:记“从三个盒子中各取一个 球，取到的球都是黑球”为事件A,所以，P(4)=0.4×0.25×0.5=0.05;记“将三个盒子混 合后取出一个球，是白球”为事件B,黑球总共有2n十n十3n=6n个，白球共有9n个，所以， PB)=9nl5n=35. [答案]0.0535 5.(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概 率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑 6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为 若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X,则期望E)= [解析]设小桐一周跑11圈为事件A,设第一次跑5圈为事件B,设第二次跑5圈为事 件C,则P(4)=P(B)P(B)+P()P(C)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6:若至少跑11圈为运动 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 量达标为事件D,P(D)=P(4)+P()P(|)=0.6+0.5×0.4=0.8,所以XB(4,0.8),E) =4×0.8=3.2 [答案]0.63.2 课时作业（四十八） 1.(24一25高一下江苏南京期末)某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二 年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概 率为() A.110 B.15 C.310 D.35 [解析]设高一年级的3名学生为a,b,c,高二年级的2名学生为1,2，则从这5名 学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件有(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(亿，c, (b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2),共计10个，其中这2名学生来自不同年级有(@，1)， (a,2),b,1),(b,2),(c,1),(c,2),计6个，所以这2名学生来自不同年级的概率为P =610=35.故选D [答案]D 2.(2024新高考8省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给 这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为() A.16 B.13 C.12 D.23 [解析]法一：设三位学生依次编号为(1,2,3)，则所有的可能为(1,2,3)，(1,3,2)， (2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),则恰有1位学生分到自己学号的概率为36= 12 法二：设事件A=“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”，则P(4)=333A=12 [答案]C 3.(2024宿迁质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它 们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为() A.25 B.35 C.715 D.815 [解析]一次随机取出2个球，基本事件总数为C26=15,至少有1个红球包含的基本 事件个数为C14C12十C22=9,∴.至少有1个红球的概率P=915=35 [答案]B 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.(2024甘肃白银期末)不透明的口袋中装有50个大小相同的红球、白球和黑球，其中 红球有20个，从口袋中摸出一个球，若摸出白球的概率是0.2，则摸出黑球的概率是() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 [解析]因为口袋内有50个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出白球 的概率为0.2，所以口袋内白球的个数为10，又因为红球有20个，所以黑球有20个.所以 从中摸出1个球，摸出黑球的概率为2050=0.4.故选C. [答案]C 5.(2024内蒙古呼和浩特·二模)袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1 个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为() A.110 B.15 C.310 D.25 [解析]设这五个球中白球为a,红球分别为b1、b2,黑球分别为C1、C2,则从袋中任取 两球，有ab1、ab2、aG1、ac、b1b2、b1C1、b1c2、b2C1、b2C2、c1C2共十种可能，其中一白一黑 有aC1、aC2共两种可能，所以一白一黑的概率P=210=15.故选B. [答案]B 6.(2024河北保定·高一统考期末)小方将在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活 动，则他选择的两天恰好是相邻的两天的概率为() A.15 B.13 C.415 D.25 [解析]小方在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活动，共有12×6×5=15种不 同的选择方法，其中两天恰好是相邻的两天的有5种，故他选择的两天恰好是相邻的两天的 概率为P=515=13.故选B, [答案]B 7.(24一25高一下·山西期末)一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球 倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出 1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400 次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为() A.25 B.30 C.35 D.40 [解析]设黑球的个数为n,由古典概型的概率公式可得2020+n=400900,解得n=25. 故选A [答案]A 独家授权侵权必究。 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.(2024天津期未)我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶 为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作， 则抽到祖冲之的概率为() A.25 B.12 C.15 D.310 [解析]记祖冲之为a,其余4位数学家为1,2,3,4，则从五位数学家中任意抽取2 位，样本空间为{al,a2,a3,a4,12,13,14,23,24,34},其中抽到祖冲之为A={al, a2,a3,a4},所以抽到祖冲之的概率为P=410=25.故选A [答案]A 9.(2024天津卷)A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到A 的概率为 ；己知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 [分析]结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率：采用列举法或者条件 概率公式可求乙选了A活动，他再选择B活动的概率， [解析]法一：列举法.从五个活动中选三个的情况有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE ,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共1O种情况，其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD, ABE,ACD,ACE,ADE,则甲选到A的概率为：P=61O=35;乙选A活动有6种可能性： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,其中再选择B有3种可能性：ABC,ABD,ABE,故 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为36=12， 法二：设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N,则甲选到A的概率为P0=2435CC =35:乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N0=PMN)P(M)=13352435CCCC=12. [答案]3512 10.(24一25高一下·湖南娄底期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数 分别记为a,b,则事件“1a一b≤2”的概率为 [解析]连续抛掷骰子2次，基本事件的个数为6×6=36， 由a-b≤2知，当a=1时，b=1,2,3:当a=2时，b=1,2,3,4:当a=3时，b =1,2,3,4,5:当a=4时，b=2,3,4,5,6:当a=5时，b=3,4,5,6:当a=6 时，b=4,5,6: 则事件“1a-b≤2”包含的基本事件的个数为3+4+5+5+4十3=24，所以事件“1a一b 1≤2”的概率为P=2436=23 [答案]23 11.(24一25高一下·福建厦门期中)小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星 的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球， 2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同， ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 我就去.”这个游戏 (选填“公平”或“不公平”) [解析]从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球 的颜色相同的概率是P1=24×13十24×13=13，所以小丽去的概率为13. 所以颜色不同的概率是：P2=1一P1=23. 所以小红去的概率为23 由于P1≠P2,所以这个游戏不公平. [答案]不公平 12.(24一25高一下·山东枣庄·期末)某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产 生0~9之间的随机整数，当出现随机数0~5，表示“投中”，出现6~9表示“未投中”.以 每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783062228 049276102734933750076140065061215693599494411987 789.据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为 [解析]由题意可得062228049102734933750140065061215494 411符合题意，所以由古典概率可得1320=0.65 [答案]0.65/1320 13.(24-一25高一下·内蒙古包头·期末)一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元 件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各 元件是否正常. (1)写出试验的样本空间： (②)用集合表示下列事件：M=“电路是通路”，并求出PQ) [解](I)分别用：，x2和表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可 用1，，x3)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间2={(0， 0,0),1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)} (2)“电路是通路”等价于(，x2,)∈2，=1，且2，均至少有一个是1， 所以M={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}. 所以P0=nM0n(2)=38. 14.(24一25高二下·上海徐汇·期末)药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少 的步骤.某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为A、B两组，他们服用该药物后的康复 时间记录如下： 独家授权侵权必究·