第二章 第八节 函数与方程-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第八节 函数与方程 教材梳理 >>>>>> 知识点1函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y=x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点， (2)几个等价关系 方程)=0有实数根台函数y=fx)的图象与x轴有交点台函数y=x)有零点 (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数y=fx)在闭区间[α，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反， 即a)b)<0,则在区间(a,b内，函数y=fx)至少有一个零点，即相应的方程fx)=0 在区间(a,b)内至少有一个实数解 思考：函数的零点是函数图象与x轴交点吗？ 提示：不是.函数的零点不是点，而是函数图象与x轴交点的横坐标。 知识点2二次函数y=ax2+bx十c(a>0)的图象与零点的关系 >0 4=0 <0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 0x=*2元 与x轴的交点 出，0)32,0) 出，0) 无交点 零点个数 1 0 [常用结论] 1.若连续不断的函数)在定义域上是单调函数，则x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号， 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)函数x)=2x的零点为0.() (2)图象连续的函数y=x)x∈D)在区间(a,b)cD内有零点，则a)b)<0.() (3)二次函数y=a2+bx十c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.() [解析](2a)fb)<0是连续函数y=fx)在(a,b)内有零点的充分不必要条件，故（②2）错 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 误 [答案](1)√(2)×(3)√ 教材衍化 2.(24一25高二下·山东烟台·期末)函数fx)=laws4 alcol(f12x一lgx的零点所在的一 个区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,10) [解析]函数定义域为(0，十∞)，函数fx)在(O,十∞)单调递减，由x→0，fx)→十∞： 1)=12: 2)=14-lg2=1-41g24=1-1g164, 又因为lg16>1,所以2)=1-lg164<0: 所以1)2)<0，所以函数x)=avs41 alcol(0f12)x-lgx的零点所在的一个区间为(1， 2).故选B [答案]B 3.(2024全国高一假期作业)下列图象中，不能用二分法求函数零点的是() [解析]根据零，点存在定理，对于A,在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不 能用二分法求函数零，点.故选A [答案]A 考题体验 4.(24-25高二下·四川雅安期末)函数x)=x3-4x2+5x-2的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]由题意令x)=0有x3-4x2+5x-2=(x-1)2x-2)=0,解得x=1或x=2,所 以fx)的零点为1和2，所以x)有2个零点.故选C [答案]C 5.(2024唐山检测)方程2x+3x=k的解在[1,2)内，则k的取值范围是 [解析]令函数fx)=2+3x一k,则fx)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1， 2)内时，1)2)<0，即(5-10-<0，解得5<k10.又当1)=0时，k=5.综上，实数k的 取值范围是[5,10) 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案][5,10) 典例精讲 >>>>>> [例1](1)24-25高一下·云南玉溪期末)函数fx)=8x3+2x-17的零点所在区间为 () A.lalvs4allcol(0,(12)) B.alvs4alcolAf(12),1) C.\alvs4\allcol(1,V(32)) D.lalvs4lallcol(f(32),2) (2)函数fx)=x-2一lnx在定义域内的零点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 [思路点拨]借助函数零点存在性定理、函数的单调性→函数零点个数， [自主解答](1)已知fx)=8x3十2x一17，因为y=x3,y=x都是R上的增函数，所以画 数x)=8x3+2x-17是连续的增函数，易知1)=10-17=-7<0，faws4 alcol(f32》= 30-17=13>0,可知1)faws4alco1f32)<0,故函数x)=8x3+2x-17的零点所在的区间 是avs4 alcol(1,f32),故选C (2)由题意可知x)的定义域为(0，十∞).在同一平面直角坐标系中作出函数y=比一2 l(x>0),y=lnxc>0)的图象. 由图可知函数)在定义域内的零点个数为2.故选C [答案](1)C(2)C [解题心得]方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负 来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如 果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结 合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断 [例2](23-24高一·上海课堂例题)已知函数y=2x3-3x2-18x+28在区间(1,2)上有 且仅有一个零点.试用二分法求出该零点的近似值.（结果精确到0.1） [思路点拨]根据二分法的思想及操作步骤求解即可， [自主解答]因为y=fx)=2x3-3x2-18x+28, 所以1)=9,2)=-4， 取区间中点=1.5，且1.5)=1>0，从而可知零点在(1.5,2)内： 再取区间中点x2=1.75,且1.75)=-1.96875<0，从而可知零点在(1.5,1.75)内： 同理取区间中点=1.625，且1.625)≈-0.6<0，从而可知零点在(1.5,1.625)内： 故此函数的零点是x≈1.6 [答案]1.6 独家授权侵权必究· 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]用二分法求函数零点的近似值，其精确度为正数：，指将零点的初始值区间 [a,b]逐次二等分所得的区间[a',b]满足ad-b'<&,此时取[a',b]的一个端点值a'(或b)作 为函数的零点的近似值即可， [例3]某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C (),当年产量不足80千件时，C(x)=13x2+10x(万元)；当年产量不小于80千件时，Cx)= 51x十10000x一1450（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能 全部销售完， ()写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式： (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ [思路点拨](1)用“利润L=销售收入一成本”列函数关系式. (2)分别求出每段上利润的最大值，然后求整个函数的最大值」 [自主解答](I)当0<x<80,x∈N*时， L(x)=500×1000x10000-13x2-10x-250 =-13x2+40x-250:当x≥80时，x∈N*时， Lx)=500×1000x10000-51x-10000x+1450-250 =1 200-\aws4allcol(x+f(10 000x)), ∴.L()=-f10<x<80rcx≥80，x∈W*). (2)当0<x<80,x∈N*时， L(x)=-13x-602+950, ∴.当x=60时，Lx)取得最大值L(60)=950, 当x≥80，x∈N*时， L(x)=1200-lavs4 allco1c+/10000)≤1200-210000x =1200-200=1000, ∴.当x=10000x,即x=100时， L(x)取得最大值L(100)=1000>950 综上所述，当x=100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一 商品的生产中所获利润最大 高考再现 >>>>>> 1.(全国乙卷（文）)函数x)=x3+a十2存在3个零点，则a的取值范围是() A.(-∞，-2) B.(-∞，-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) [解析]由题意知定义域x∈R,x)=3x2十a,要使函数f)存在3个零点，则fx)=0 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 要有2个不同的根得4=0-12a>0,则a<0.令3x2+a=0,解得x=±一a3).令fx)>0,则x <--a3)或x>-a3),令fx)<0,则-一a3)x<-a3).所以fx)在avs4 alcol(-oo,- rff-a3》和aws4 alcol(rf-a3),十oo)上单调递增，在avs4 alcol(-rf(-af(-a3) 上单调递减，所以要使fx)存在3个零点，则Abllclre3))rc3))<0,即f(-2af(-a3) 2af(-a3)+2<0,解得-a3>1,即a<-3.故选B. [答案]B 2.(2024新课标川卷)设函数)=ax十1)2-1，gx)=cosx+2a,当x∈(-1,1)时， 曲线y=x)与y=gx)恰有一个交点，则a=() A.-1 B.12 C.1 D.2 [分析]法一：令Fx)=2+a一1，Gx)=cosx,分析可知曲线y=Fx)与y=G(x)恰有 一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2,并代入检验即可： 法二：令x)=fx)-gx),x∈(-1,1)，可知hc)为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx) 的零点只能为0，即可得a=2,并代入检验即可. [解析]法一：令fx)=gx),即ax+1)2-1=cosx+2a,可得ar2+a-1=cosx,令F ()=ax2+a一1，G(x)=cosx,原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=Gx)恰有 一个交点，注意到Fx),G)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(O)=G(O),即a一1 =1,解得a=2,若a=2,令Fx)=Gr),可得2x2+1-cosx=0.因为x∈(-1,1)，则2x2 ≥0,1一cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1一cosx≥0，当且仅当x=0时， 等号成立，则方程2x2十1一cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=Fx)与y=Gx)恰有一 个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2 法二：令hx)=x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x∈(-1,1)，原题意等价于hx)有且仅有 一个零，点，因为h(-x)=a(一x)2+a-1一cos(-x)=ax2+a-1一cosx=hx),则hx)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即(0)=a一2=0，解得a=2,若a=2,则h (x)=2x2+1-cosx,x∈(-1,1)，又因为2x2≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时，等号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题 意；故选D [答案]D 3.(2025·天津卷)函数x)=0.3x-x的零点所在区间是( A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) [解析]由指数函数、幂函数的单调性可知：y=O.3在R上单调递减，y=x在[O,十∞ )单调递增，所以fx)=0.3x-x在定义域上单调递减，显然0)=1>0，f0.3)=0.30.3-0.30.5 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 >0,0.5)=0.30.5-0.50.50,所以根据零点存在性定理可知)的零点位于(0.3,0.5)，故选B [答案]B 4.(新课标全国1卷)已知函数fx)=cosx一1(o>0)在区间[0,2元有且仅有3个零点， 则ω的取值范围是 [解析]函数fx)=cos wx一1在区间[0,2元有且仅有3个零点，即coS x=1在区间[0， 2x有且仅有3个根，因为⑩>0，x∈[0,2π，所以x∈[0,20m,则由余弦函数的图象可知， 4π≤20元<6元，解得2≤03，即ω的取值范围是[2,3) [答案][2,3) 5.(2024全国甲卷（文）曲线y=x3一3x与y=-(c-1)2+a在(0，十∞)上有两个不同的交 点，则a的取值范围为 [分析]将函数转化为方程，令x3-3x=一（一1）2+a,分离参数a,构造新函数gx)= x3十x2-5x十1，结合导数求得gx)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解。 [解析]令x3-3x=-(x-1)2+a,即a=x3+x2-5x+1,令gx)=x3+x2-5x+16c>0), 则gx)=3x2+2x-5=(3x十5)x-1),令gx)=0x>0)得x=1,当x∈(0,1)时，gx)<0,8 (x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，g(0)=1,g(1)=一2，函数gx)与y =a的图象如图所示，因为曲线y=x3-3x与y=一(x一1)2十a在(0，十∞)上有两个不同的交 点，所以等价于y=a与gx)有两个交点，所以a∈(-2,1) y=g(x) y=0 [答案](-2,1) 6.(2024天津卷)若函数x)=2x2-a一|a一2+1恰有一个零点，则a的取值范围为 [分析]结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g(x)=2x2一ax与h(x)=a一3， x之f2a2a,则两函数图象有唯一交点，分a=0、a>0与a<0进行讨论，当a>0时，计算函数 定义域可得x≥a或x≤0，计算可得a∈(0,2]时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到 当a∈(0,2]时，在y轴右侧无交点的情况即可得：当a<0时，按同一方式讨论即可得， [解析]令fx)=0,即2x2-ax=a-2-1,由题可得x2-ax≥0，当a=0时，x∈R, 有2x2=|-2-1=1,则x=±12，不符合要求，舍去.当a>0时，则2x2-x=ax-2-1=-3, x之f2a2a,即函数gc)=2x2-a与函数hx)=ax-3,x之f2a2a)有唯一交点，由x2-am≥0， 可得x≥a或x≤0，当x≤0时，则a-2<0,则2x2-ax=ax-2-1=1-a,即4x2-4ax ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 =(1-ax)2,整理得(4-a2)x2-2ax-1=[(2十ax+1][(2-a)x-1]=0,当a=2时，即4x+1 =0,即x=-14,当a∈(0,2)，x=-12十a或x=12-a>0(正值舍去)，当a∈(2，十∞)时， x=-12十a<0或x=12-a<0,有两解，舍去，即当a∈(0,2]时，2x2-a-am-2+1=0 在x≤0时有唯一解，则当a∈(0,2]时，2x2一a-a-2+1=0在x≥a时需无解，当a∈(0， 2],且x≥a时，由函数hr)=ax-3,x>f2a2a)关于x=2a对称，令hx)=0,可得x=1a 或x=3a,且函数hx)在avs4 al\col(f12a)上单调递减，在alvs4a小col(f23a)上单调递增， 令ge)=y=2x2-a,即rc2a24-y2a2=1,故x≥a时，g)图象为双曲线xa24-y2a2=1右 支x轴上方部分向右平移a2所得，由xa24-y2a2=1的渐近线方程为y=±aa2x=±2x,即g (c)部分的渐近线方程为y=2avs4 al.co1c一fa2),其斜率为2，又a∈(0,2]，即h(x)=a一3， x之f2a2a)在x≥2a时的斜率a∈(0,2]，令gx)=2x2-ax=0,可得x=a或x=0(舍去)，且 函数gx)在(a,+∞)上单调递增，故有f(la3a>a,解得1<a<3,故1<a<3符合要求：当a <0时，则2x2一ax=|ax-2-1=ax一3，x≤f2a2a,即函数gx)=2x2-ax与函数h(x)=a-3, x≤f2a2a)有唯一交点，由x2-ax≥0，可得x≥0或x≤a,当x≥0时，则a-2<0,则2x2一a =|ax-2-1=1-ac,即4x2-4ax=(1-ax)2,整理得(4-a2)x2-2a-1=[(2+ax+1][(2-a) x-1]=0,当a=-2时，即4x-1=0,即x=14,当a∈(-2,0)，x=-12+a<0(负值舍去) 或x=12->0,当a∈(-∞，2)时，x=-12十a>0或x=12一a0,有两解，舍去，即当a ∈[-2,0)时，2x2-a-l-2十1=0在x≥0时有唯一解，则当a∈[-2,0)时，2x2-ax -ax-2+1=0在x≤a时需无解，当a∈[-2,0)，且x≤a时，且函数hx)=ax-3,x≤ f2a2a)关于x=2a对称，令hr)=0,可得x=la或x=3a,且函数hx)在avs4 alcol0f(2la 上单调递减，在avs4 allcol0f32a上单调递增，同理可得x≤a时，gx)图象为双曲线 xa24-y2a2=1左支的x轴上方部分向左平移a2所得，gr)部分的渐近线方程为y=一2 aws4alco1c十ffa2),其斜率为-2，又a∈[-2,0)，即hx)=a-3,x≥f2a2a在x2a 时的斜率a∈[-2,0)，令gx)=2x2一a=0,可得x=a或x=0(舍去)，且函数gx)在(-∞， a)上单 调递减，故有fla3a<a,解得-3<a<-1,故一3<a<-1符合要求；综上所述，a∈(-3 ,-1)U(1,3). [答案](-3，-1)U(1,3) 课时作业（十三） 1.(2025·高二上·北京·学业考试)已知函数x)=x3一2.下列区间中包含x)的零点的是 () A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为fx)=x3-2=0,解得x=32,所以x=32∈(1,2)，故选D. [答案]D 2.(2024陕西汉中·期未)设函数x)=|log2x-1,x>02x十x,x≤0)，则fx)的零点个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]当x>0时，令log2x-1=0,x=2或x=12,x)有2个零点：当x≤0时，令 2x十x=0,即2=一x,结合函数y=2,y=一x的图象可知二者在x≤0时有1个交点，即此 时x)有1个零点.综合可知，x)的零点个数为3.故选D, [答案]D 3.(2024安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)已知函数x)的图象是连续不断的，且x,f (x)有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 fx) 123.56 21.45 -7.82 11.57 53.76 126.49 则函数)在区间[1,6]上的零点有( A.两个 B.3个 C.至多两个 D.至少三个 [解析]因为函数fx)的图象是连续不断的，且23)<0，所以x)在区间(2,3)上至少 有1个零点，因为函数x)的图象是连续不断的，且34)<0，所以x)在区间(3,4)上至 少有1个零，点，因为函数x)的图象是连续不断的，且4术5)<0，所以x)在区间(4,5)上 至少有1个零点，综上，函数x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.故选D [答案]D 4.(24-25高-下·四川成都期末)函数y=1-2sin3x,x∈(0，)的零点个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]令y=0得sin3x=12,因为x∈(0，元)，所以3x∈(0,3π)，故3x=π6或5π6或 13π6或17π6，解得x=πl8或5πl8或13π18或17π18，所以零点个数为4.故选C [答案]C 5.(2025·湖南益阳·三模)函数x)=cos2x一sinx在（一2π，2π）内的零点之和为() 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.-元 B.-2元 C.-π2 D.0 [解析]由题意有fx)=cos2x-sinx=1-2sin2x-sinx=-2avs4 alcol(sinx十/f14)2+ 98,Ax)=0,-2alvs4al\col(sinx+(14))2+98=0,alvs4\allcol(sin x+f(14))2=916 解得sinx=-1或sinx=I2, 作出y=sinx在x∈(-2元，2m)的图象， 则y=12与y=sinx的交点的横坐标为1，x2,x4,x5,x2x45, y=一1与y=sinx的交点横坐标为，x6,均x6, 由图可知1+x2=2 X lalvs-4 al\col(-f3π2)=一3元，x4+x5=2Xπ2=元，x3=-π2，x6=3π2， 所以1+2十x十x4十x5十x6=一3元+lavs4 alcol(-fπ2》+元+3π2=一元，故选A -2Tx13x2 x3 4 y= [答案]A 6.(2024陕西汉中·期末)已知正数a,b,c满足as4 allcol0f12)a=log2a,1 2) avs4 alcol(f12)b=b2,aws4 alcol(f12)c=c,则a,b,c的大小关系是() A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c =h(x) y=g(x) =g(x) y=f(x) 0c61a [解析]记=aiw4alco10W12x,s6=1ogx,h=,g=x2》,则a,b,c分 2) 别为函数gx)=log2x,hx)=x2,qx)=x的图象与fx)=laws4 alcol(f12x图象交点的横 坐标，由图可知，c<b<a.故选B. [答案]B 7.(2024上海杨浦高一期未)已知函数x)=2,x之a一x,x<,若函数x)存在零点， 则实数a的取值范围是() A.(-∞，0) B.(0,+∞) 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.(-∞，1) D.(1,+∞) [解析]如图所示：指数函数y=2>0,没有零点，y=一x有唯一的零点x=0,所以若 函数x)存在零点，须x)=一xc<有零点，即0∈（一∞，a,所以a>0.故选B. -2 -3 [答案]B 8.(24-25高一下.云南昭通期末)函数fx)=x2十2x一3，x≤0gx-1,x>0)的所有零点 之和为() A.8 B.7 C.5 D.4 [解析]当x≤0时，x2+2x-3=0,解得x=一3：当x>0时，lgx-1=0,解得x=10, 所以函数x)的零，点和为7.故选B [答案]B 9.(2024江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数x)=(3-27)nx一1)的零 点为() A.2,3 B.2 C.(2,0) D.(2,0),(3,0) [解析]由x)=0,得(3r-27)nc-1)=0,即3x-27=0或lnc-1)=0,解得x=3或 x=2,所以函数fx)=(3x-27n(x-1)的零点为2,3.故选A. [答案]A 10.(2024山东青岛·二模)函数fx)=ar-a(a>0,a≠1)的零点为() A.0 B.1 C.(1,0) D.a [解析]因为fx)=ar一a(a>0,a≠1)，令fx)=a一a=0,解得x=l,即函，数的零点为 1.故选B. [答案]B 11.(2024山西省长治市第二中学校高-一期末)已知函数x)=0,x≤0ex,x>0),则使函 数gc)=x)十x一m有零点的实数m的取值范围是 ·独家授权侵权必究