第二章 第二节 函数的单调性与最值-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义理解、判定方法、应用拓展的逻辑层次梳理知识，通过思考辨析深化概念理解，结合教材衍化题夯实基础，依托真题例题精讲判定方法（定义法、导数法）和应用策略（比较大小、解不等式），构建系统性复习框架。 教案突出数学思维与数学语言培养，如定义法证明单调性时引导学生规范作差变形、判断符号的推理过程，导数法求单调区间结合对勾函数等实例强化符号分析能力。设置分层课时作业（基础巩固、能力提升），配合即时反馈，助力学生高效突破考点，为教师精准把控复习进度提供有力支持。

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二节 函数的单调性与最值 教材梳理 >>>>>> 知识点1 函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 般地，设函数x的定义域为：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值1，x2 定义 当x2时，都有f)),那么就说函 当2时，都有)≥)， 那么就 数)在区间D上是增函数 说函数〔x)在区间D上是减函数 y 图象 yf(x) y :fx2) ) 描述 a 0x1x2 (2)单调区间的定义 如果函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=x)在这一区间具有（严 格的)单调性，区间D叫做函数y=x)的单调区间. 思考：若x)的单调递减区间为(a,b)和(c,d,设1∈(a,b),x2∈(c,d,且x2,则 )>x2)成立吗？ 提示：不成立，如)=1x 知识点2函数的最值 前提 设函数y=x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I,都有x)≤M; ③对于任意x∈I,都有x)≥M; 条件 ②存在x∈I,使得fo)=M ④存在xo∈I,使得_fxo)=M 结论 M为函数y=fx)的最大值 M为函数y=fx)的最小值 思考：若函数的最值存在，那么它一定是值域中的元素吗？ 提示：是 [常用结论] 函数单调性的常用结论 (I)对1，x2∈D:≠x2),fl)一f2x1一x2<0台x)在D上是减函数 (2)对勾函数y=x十ax(a>0)的增区间为(-∞，一ad和[a,十∞]，减区间为-a,0)和(0， a (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数。 ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.(-1,3) B.(1,5) C.(-∞，-1)U(3,+∞) D.(-∞，1)U(5,+∞) [解析]x-1)2→-2<-1)2，又因为A(0,2),B(4,-2)是函数)图象上两点， 故4)x一1)0)，该函数是R上的减函数，故0x-1<4,解得1x<5,即不等式解集为(1， 5),故选B. [答案]B 5.(2024聊城检测)函数x)=9x2十x-1的最小值为 [解析]x)的定义域为[1，十∞)，且y=9x2与y=x一1在[1，十∞)内均为增函数， ∴fw)在[l,+o∞)上单调递增，故fx)in=1)=9 [答案]9 典例精讲 [例1](24-25高一上上海宝山期末)已知函数fx)=x2-2x (1)用定义法证明函数y=x)在区间（一∞，1]上是严格减函数； (2)写出函数y=x)在区间[一2,2]上的最值，以及相应的x的值. [思路点拨](I)任取x1、∈(-∞，1]且12，作差)一)，因式分解后判断f (:)一2)的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； (2)分析函数x)在区间[一2,2]上的单调性，即可求出函数fx)的最大值、最小值以及对 应的x值， [自主解答](1)任取1、x2∈(-∞，1]且x2, 则1一x2<0且1十x22, 所以，f)-2)=(21-2x1)-(x22-2x2) =(21-x22)-2(61-x2) =(3一2)61+2)-2x1一x2) =(1一2)61+22)>0， 即)）>)，所以， 函数y=x)在区间(-∞，1]上是严格减函数 (2)因为函数x)=x2-2x在[-2,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，所以，当x=1 时，函数x)取最小值，且最小值为术1)=一1， 又因为-2)=4+4=8,2)=4-4=0， 所以，当x=一2时，函数x)取最大值，且最大值为-2)=8 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 [例2]求下列函数的单调区间； (1x)=-x2+2x+3; (2x)=x+x [思路点拨](1)去绝对值号，转化为二次函数求解，或画出函数图象求解； (2)利用导数法求解. [自主解答](1)法一： x)=-x2+2x十3，x20,-x2-2x+3,x<0,) ∴.由二次函数性质知x)的增区间是(-∞，一1]和[0,1]，减区间是[-1,0]和[1，十∞) 法二：)为偶函数，∴其图象为 -1:0 由图象知x)的增区间为（一∞，一1]和[0,1]： 减区间为[-1,0和[1，+∞) (2)函数fx)的定义域为{x≠0}. f(x)=1-x2=x2-2 令f)>0得x<-3或x>3 令fx)<0,得-3<x<0或0<x<3 x)的增区间是(-∞，一3]和[3，十∞)，减区间是(-3,0)和(0,3) [解题心得]确定函数单调性（区间）的3种常用方法 ()定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形， 为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘（除）或平方和的形式，再结合变量的范围、 假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断.（如例1题） (2)图象法：如果x)是以图象形式给出的，或者x)的图象易作出，则可由图象的直观性 确定它的单调性.（如例2题） (3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性.（如例1题） [例3](1)已知函数x)的图象关于直线x=1对称，当x2>x1>1时，[2)一x)2一x) <0恒成立，设a=favs4 allcol(-12》,b=2),c=fe),则a,b,c的大小关系为 (2)已知函数fx)是定义在(0，+o∞)上的增函数，若fa2-a)>a十3)，则实数a的取值 范围为 (3)2025·上海松江·三模)已知函数fx)=x2,x≥14x一5,0<x<1,则fx)的值域为 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [思路点拨](1)将自变量化到同一单区间(1，十∞)上根据单调性比较a,b,c大小. (2)由增减性将“f”去掉，解关于α的不等式求解 (3)根据二次函数性质求出x≥1时的值域，再根据对勾函数的单调性求出0<x<1时的值 域，然后利用分段函数的性质即可求解， [自主解答](1)因为x)的图象关于直线x=1对称，所以favs4 allcol(一12)= aws4 allcol(52.由x2>x>1时，[/2)-fx】(r2-x1)0恒成立，知x)在(1，+∞)上单调 递减 .1<2<52<e,2)>faws4 al col(f52>e), .∴.b>a>c (2)由已知可得a2-a>0,a十3>0，a2-a>a十3， 解得-3<a<-1或a>3, 所以实数a的取值范围为(-3，一1)U(3,+∞) (3)因为fx)=x2,x之14x)-5,0<x<1, 当x≥1时，x)=x2≥1， 当0<c<1时，函数x)=x十4红一5单调递减，故fx)>1)=0,综上，函数x)的值域为(0， 十∞) [答案](1)b>a>c(2)(-3,-1)U(3,+∞) (3)0,+∞) [解题心得]()比较大小，比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内， 然后利用函数的单调性解决。 (②)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“符号脱 掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数， ①视参数为己知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与己知单调 区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[α，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (④)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值 高考再现 >>>>>> 1.(山东卷)已知函数x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数，2，总有f x2)一f在1)x2一x1>0成立，则函数fx)一定是(） A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]对于任意两个不相等的实数1，，总有f2)一f1)x2一x1>0成立，等价于对 于任意两个不相等的实数灯<x2,总有)<).所以函数fx)一定是增函数.故选C [答案]C 2.(新课标全国1卷)设函数fx)=2x-)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是() A.(-∞，-2] B.「-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) [解析]由题意得y=x一a)在区间(0,1)单调递减，所以x=a2≥1，解得a≥2.故选D [答案]D 3.(北京卷)下列函数中，在区间(0，十∞)上单调递增的是() A.fx)=-Inx B.x)=12x C.f(x)=-Ix D.fx)=3k-1 [解析]因为y=lnx在(O,十∞)上单调递增，y=一x在(O,+)上单调递减，所以fx) =一lnx在(0，十o∞)上单调递减，故A错误：因为y=2r在(O,十∞)上单调递增，y=Ix在(0， +∞)上单调递减，所以x)=12x在(0，十∞)上单调递减，故B错误；因为y=Ix在(0，+ ∞)上单调递减，y=一x在(0，十∞)上单调递减，所以x)=一x在(0，∞)上单调递增，故C 正痛：因为ja4alco1012)=32》-1-32孔=3,1)=3=30=1,2=3=3，显然 fx)=3-在(0，十∞)上不单调，D错误.故选C [答案]C 4.下列函数中，在区间（一1,1）上为减函数的是() A.y=11-x B.y=cosx C.y=In (x+1) D.y=2-* [解析]逐个判断给出函数的单调性.选项A中，y=11一x在(-∞，1)和(1，十∞)上为 增函数，故y=11一x在(-1,1)上为增函数：选项B中，y=cosx在(-1,1)上先增后减： 选项C中，y=ln(x十l)在(-l,十∞)上为增函数，故y=lnx十1)在(-1,1)上为增函数：选 项D中，y=2-x=(12少在R上为减函数，故y=2-x在(-1,1)上是减函数. [答案]D 5.(2025北京卷)关于定义域为R的函数fx),给出下列四个结论： ①存在在R上单调递增的函数fx)使得x)十2x)=一x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数fx)使得x)一2x)=x恒成立； ③使得f)+(一x)=cosx恒成立的函数x)存在且有无穷多个； ④使得x)一无一x)=cosx恒成立的函数x)存在且有无穷多个 其中正确结论的序号是 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 [解析]若存在在R上的增函数fx),满足fx)十2x)=一x,则O)+f2×0)=一0，即f (0)=0,故x>0时，4x)>2x)>fx)>0,故4x)+2x)>x)+2x),故-2x>-x即x<0,矛盾， 故①错误：取x)=一x,该函数为R上的减函数且x)一f2x)=x,故该函数符合，故②正确： 取x)=l2cosx十mx,m∈R,此时)十一x)=cosx,由m∈R可得x)有无穷多个，故③ 正确：若存在fx),使得y)--x)=cosx,令x=0,则0=cos0,但cos0=1,矛盾，故 满足x)一（一x)=cosx的函数不存在，故④错误. [答案]②③ 6.(2025·上海卷T21节选)已知函数y=fx)的定义域为R对于正实数a,定义集合M.= {xlfx+a)=fx)3. (I)若x)=sinx,判断π3是否是M.中的元素，请说明理由： (2)若fx)=x十2，x<Orc,x20),M。≠0，求a的取值范围， [解](1)faws4 alcol(fπ3)=sinπ3=3)2，faws4 alcol0fx3)+π)=-sinπ3=-3)2，则 π3不是Mn中的元素 (2)因为M。≠O,则存在实数xo使得xo十a)=fo),且a>0, 当x<0时，x)=x十2，其在（一∞，O)上严格单调递增， 当x≥0时，fx)=x,其在[0，十∞)上也严格单调递增，则xo<0≤xo十a,则xo十2=x0 十a, 令x十2=0，解得x=一2，则-2≤xo<0, 则a=(x0+a)2-xo=(xo+2)2-xo=avs41a1co1x0+f32)2+74∈74)，4). 课时作业（七） 1.(24-25高一上广东广州期中)函数y=1w2一2x)的单调递减区间是() A.(-∞，1) B.(-∞，0) C.(1,+∞) D.(2,+∞) [解析]要使函数y=1r2-2x)有意义，则x2-2x>0,即xx一2)>0，解得x<0或x>2, .函数定义域为(-∞，0)U(2,+∞).令1=x2-2x,则y=1rtt>0),y=1r)在(0，十∞) 上单调递减，t=x2-2x对称轴为x=1,开口向上，在(-∞，0)上单调递减，在(2，十∞)上 单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，可知y=12一2x)的单调递减区间是(2，十∞) 故选D [答案]D 2.己知函数x)=x一lx+1(x∈[0,3D,则函数的最小值为() A.0.4 B.12 C.2 D.-1 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为fx)=x-lx十1=x十1-2x十1=1一2x十1，由于y=x+1在[0,3]上单调递 增，则y=2x十1在[0,3]上单调递减，故x)在[0,3]上单调递增，所以x)mim=0)=一1.故 选D [答案]D 3.(24-25高二上·广东深圳期中)函数fx)=5-4红十x22-x在(-∞，2)上的最小值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]因为x∈(-∞，2)，可得2-x>0,所以f)=5一4x十x22-x=2-)2+12-x =2-x十12一x≥22一x)×f12一x)=2,当且仅当2一x=12一x时，即x=1时，等号成立， 此时函数fx)在（一∞，2）上的最小值是2.故选C [答案]C 4.己知函数fx)=x2一2，x之1a2)x一1，x<1是R上的增函数，则实数a的取值范围是 () A.lalvs4alcol(0,45)) B.lalvs4\allcol(0,V45)) C.(0,1) D.(0,1] [解析]由x)=x2-2ax,之1a2)x-1,x<1是R上的增函数，得a≤1，a2a2)-1≤1-2a, 解得0<a≤45，所以实数a的取值范围是avs4 al\col(0,f45).故选B. [答案]B 5.已知函数fx)是区间(0，+∞)内的减函数，则fa2-a+1)与fas4 al\col(f34)的大 小关系为() A.fa2-a+1)≥faws4 allcol(f34》 B.a2-a+1)≤favs4 allcol(f34)》 C.a2-a+1)=favs4 alcol(f34)D.不确定 [解析]因为a2-a+1=avs4 alcol(a-f12)2+34≥34，又fx)是区间(0，+∞)内的 减函数，所以a2-a+1)≤faws4 alcol34).故选B, [答案]B 6.函数y=x)为定义在R上的单调增函数，若t≠0，则() A.ft)>20 B.f)f( C.A2+t)At) D.ft2+)>ft+1) [解析]，函数y=x)为定义在R上的单调增函数，当长0时，2t,)2),故A错 误：当t=1时，=t,t=0,故B错误：当t≠0时，2+Pt,2+0>0,故C正确： 当0<1时，2+t+1,t+0t+1),故D错误：故选C [答案]C 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.(24-25高二下.宁夏石嘴山期中)若函数x)=2x+x+1在区间[0,1]上的最大值为 3,则实数m=() A.-1 B.1 C.3 D.-3 [解析]函数fx)=2x十x十1=2+m-2x十1，当m>2时，x)=2x十x十1在[0,1]上 单调递减，最大值为0)=m=3:当m<2时，fx)=2x十x十1在[0,1]上单调递增，最大值 为1)=2十m2=3,解得m=4,不合题意，所以实数m=3.故选C. [答案]C 8.(多选题)如图所示是函数y=x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不 相交，则以下描述正确的是() -4 4 A.函数x)的定义域为-4,4) B.函数fx)的值域为[O,+∞) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的y∈(5，十∞)，都有唯一的自变量x与之对应 [解析]由图象知，函数x)的定义域为[一4，O]U[1,4),故A错误；函数x)的值域为 [0,+∞)，故B正确：函数)在[一4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故C错误： 对于任意的y∈(5，十∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确.故选BD [答案]BD 9.(24-一25高二下·浙江·期中)若关于x的不等式x一a<0(a∈R)在区间(1,2)上恒成立， 则a的值可能是() A.-2 B.1 C.2 D.4 [解析]由题意可得，a>x2在区间(1,2)上恒成立，因x2∈(1,4)，则a≥4，故A、B、 C错误，D正确.故选D. [答案]D 10.已知函数fx)=ax一1，x<1,x2-2a,x21,)满足对x1,x2∈R且1≠x2,有f c1)一f2x1一x2>0成立，则实数a的取值范围是() A.(0,1) B.(0,1] C.las4\allcol(0,V(23)) D.f23),1) [解析]由题意得，函数fx)是R上的增函数，因fx)=a-1,x<l,x2-2a,x之l,)故 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 须使a>0,a≤1，a-1≤1-2a,解得，0<a≤23.故选C [答案]C 11.(24-25高一上北京·期中)函数fx)=x2十2x一8的值域是 ;单调递减区间 是 [解析]令x2+2x一8≥0，解得x≥2或x≤-4，故定义域为(-∞，-4]U[2,+∞)，f (x)=x2+2x-8≥0，故值域为[0，十∞)， 由于y=t在[0，十∞)上单调递增， 而=2+2x-8在(-∞，一4]上单调递减，在[2，十∞)上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，x)单调递减区间为（一∞，一4] [答案][0，+∞)(-∞，-4] 12.已知定义在(0，+∞)的函数x)满足任意x>0,f)一)0成立，且1)=2，则 不等式fx)<2x的解集为 [解析]令hc)=fx-2,(>0),则h'(c)=xf)-fx2<0,所以h(x)在(0，+∞)减函 数，又h(1)=1)-2=0,由hx)<0=h1),可得x>1,故不等式x)2x的解集为(1，+∞). [答案](1，+∞) 13.(24-25高一下·海南海口期未)已知函数fx)=x2-(a2+2a)x+16,若当>0时，f (x)>0恒成立，则实数a的取值范围是 [解析]因为函数fx)=x2-(a2+2a)x十16恒过定点(0,16，对称轴为x=a2+2a2,开 口向上，又当>0时，x)>0恒成立，则a2十2a2<0或fa2+2a2a2十2a)2-64<0,整理得到 a2+2a<0或0≤a2+2a<8,解得-2<a<0或-4<a≤-2且0≤a<2,所以-4<a<-2. [答案](-4,2) 14.若r∈12)，2)，不等式x2-ax+1≤0恒成立，则a的取值范围为 [解析]x∈12)，2)，不等式x2-ax十1≤0恒成立，则x2+1≤a,即x∈f12),2), a≥x十1x恒成立，令x=x+1x,由图知fx)在f12),1)上单调递减，在[1,2]上单调递增， 又favs4 alcol(f12)=2)=2+12=52,故x)max=52,则a≥52. f(x)-xtx 0112 [答案]f52,+o 独家授权侵权必究