第二章 第九节 导数及导数的运算 -【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案聚焦导数及运算核心考点，涵盖导数概念、几何意义、求导公式法则及复合函数求导，按“概念-意义-运算-应用”逻辑架构知识体系。通过知识点梳理、思考辨析、例题精讲、真题演练四环节，帮助学生突破导数几何意义理解、复合函数求导等难点，构建系统复习路径。 教案采用分层教学与真题导向策略，如在切线问题中区分“在点”与“过点”情境，引导学生建立分类讨论思维，培养数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第九节 导数及导数的运算 教材梳理 >>>>>> 知识点1导数的概念 函数y=x)在x=xo处导数的定义，称函数y=x)在x=处的瞬时变化率 1 m's do4x→0)fx0+x)-fc0)k=lims do4(☑x→0)yx【1】为函数y=fx)在x=xo处的 导数，记作fxo)或yx=xo,即fxo)=lim\s\do4(→0)yx=1 ims\do4x→0)fc0+4 -ffx0)4x 【1】函数y=x)的导数fx)反映了函数x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方 向，其大小fx)反映了变化的快慢，fx)越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 思考：fx)与f(xo)的区别与联系 提示：fx)是一个函数，fxo)是函数fx)在xo处的函数值（常数），所以[f(xo)]'=0 知识点2导数的几何意义 函数x)在点xo处的导数f(xo)的几何意义是在曲线y=x)上点P(o,yo)处的切线的斜 率（瞬时速度就是位移函数s()对时间t的导数）.相应地，切线方程为y一yo=o):(一)· [注意]“过”与“在”：曲线y=f)“在点Po,yo)处的切线”与“过点Po,yo)的 切线”的区别：前者Pxo,o)为切点，而后者P(xo,o)不一定为切点.“切点”与“公共点” ：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共 点 思考：直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？ 提示：不一定.因为直线与曲线的公共点个数不是切的本质特征，直线与曲线只有一个 公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线 有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点. 知识点3求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c'=0;②x)'=a-l(a∈Q*): ③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sin￡； ⑤(ay'=-ng；⑥(ey'=_e_; ⑦1ogx'=1xlna;⑧lnx)y=lx· (2)导数的运算法则 ①[fx)壮g(x)]'=fx±gx; ②[x)gx)]'=fx)g)十fxg'x; ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ③f0fx8()'=fgx-g'xfxg2cgx)≠0). (3)复合函数的求导法则 复合函数y=gx)对自变量的导数等于己知函数对中间变量的导数与中间变量对 自变量的导数的乘积·设y=u),u=gx),则yx=f(4)g'(x) 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (I)f(xo)是函数y=fx)在x=xo附近的平均变化率.() (2)函数fx)=sin(-x)的导数fx)=cosx.() (3)求f(xo)时，可先求xo),再求xo).() (4)曲线y=x)在某点处的切线与曲线y=x)过某点的切线意义是相同的.() [解析](1fxo)表示y=x)在x=x处的瞬时变化率，(I)错. (2/x)=sin(-x)=-sinx,则fx)=-cosx,(2)错。 (3)求f(xo)时，应先求f(x,再代入求值，(3)错。 (④)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜 率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程， 在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，（④）错 [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 教材衍化 2.(24一25高二下·北京顺义期末)已知函数fx)在R上的部分图象如图所示，则下列不 等式正确的是() 0 A.f1)>f(2) B.f(1)f(2) C.f1)=f(2) D.f(1)+f(2)<0 [解析]由图可知：0<fI)f(2),所以A、C、D均错，B正确.故选B [答案]B 3.若曲线y=(ax十1)e*在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a= [解析]y'=aex+(a+1)e,则ylx=o=a+1=-2,所以a=-3 [答案]-3 独家授权侵权必究。 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 考题体验 4.(多选题)(2024聊城模拟)若函数fx)的导函数6x)的图象关于y轴对称，则x)的解析 式可能为() A.fx)=3cosx B.Ax)=x3+x C.Ax)=x+Ix D.fx)=e*+x [解析]对于A,x)=3cosx,其导数fw)=-3sinx,其导函数为奇函数，图象不关 于y轴对称，不符合题意；对于B,x)=x3十x,其导数fx)=3x2十1，其导函数为偶函数， 图象关于y轴对称，符合题意；对于C,x)=x+1x,其导数fx)=1一1x2,其导函数为偶函 数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D,x)=e十x,其导数fx)=e+1,其导函数不 是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意 [答案]BC 5.(24-25高二下·广东广州期末)已知函数fx)满足x)=2xf(1)+x,则f(1)=( A.12 B.-12 C.1 D.-1 [解析]f()=2f(1)+12r,令x=1得f1)=2f(1)+12,解得f1)=-12.故选B. [答案]B 典例精讲 >>>>>> [例1](24一25高二下·青海海南期中)求下列函数的导数： (1y=x3-x+3: (2y=(2x2-1)3x+1)月 (3)y=cos xex; (4y=sin 2x-e2x [思路点拨]先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时， 可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆， [自主解答](1)因为y=x3-x+3,所以y'=3x2-1. (2)因为y=(2x2-1)3x+1), 所以y=4x(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4x-3 (3)因为y=cos xex, 所以y=-sin xex-ex cosx(ex2=-sinx+cos xex. (4)因为y=sin2x-e2x, 所以y'=2cos2x-2e2 [解题心得]1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导， 独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错： 2.有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量 [例2](1)曲线x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x一1，则P点的坐标为 () A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) (2)已知函数fx)=lnx一&x一1x+1,则函数fx)的图象在avs4 alcol(1,一f72)处的切 线方程为 (3)已知曲线y=x十nx在点(1,1)处的切线与曲线y=a2+(a+2)x+1相切，则a= [思路点拨]切点的三重身份的灵活应用，即()切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切 线斜率k=fxo) [自主解答](1)fx)=3x2-1,令fx)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=一1， ∴.P(1,3)或(-1,3)，经检验，点(1,3)，(-1,3)均不在直线y=2x-1上. (2)fx)=Inx-8x-1x+1, 得fx)=1x-9c+1)2, 则f(1)=1-9(1+1)2=1-94=-54, 故所求切线方程为y-aws4 alcol(一72》=-54-1)， 即5x+4y+9=0 (3)由y=x十nx,得y=1+1x,得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k=yk=1=2,所以切 线方程为y一1=2x一1)，即y=2x一1，此切线与曲线y=ax2+(a+2)x十1相切，消去y得ax2 +x十2=0，得a≠0且4=a2-8a=0,解得a=8. [答案](1)C(2)5x+4y+9=0(3)8 [解题心得]导数的几何意义问题的常见类型及解题策略 (I)已知切点求切线方程.若切点为P(xo,xo),则切线方程为y一fo)=xo)c一xo), (2)己知斜率求切点P(xo,xo)、倾斜角等.利用k=fxo)和方程求xo,即可得切点坐标， 由k=tana可求a (3)己知切线平行或垂直于某己知直线，求参数值 [例3](24-25高二下辽宁期中)已知函数f)=xlnx-ax,且f(e)=2+2e2 (1)求a的值； (2)若曲线y=fx)在点(1,1)》处的切线与函数y=15x2+bx的图象也相切，求b的值， [自主解答](1)因为fx)=lnx+1+ax2,(c>0) ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以f(e)=2+ae2=2+2e2,解得a=2 (2)由(1)可得fx)=nx+1+2x2,则f(1)=3,又1)=-2，所以曲线y=x)在点(1，f (1)处的切线方程为y+2=3c一1)，即y=3x-5,联立y=3x-515)x2+bx,得15x2+(b一3) x+5=0, 由题意可得=(6-3)2-4×15×5=0， 解得b=1或b=5,所以b的值为1或5 [解题心得]根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x=处的导 数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义可知，点(x,f (o)》处的切线方程为y=fo)c一xo)十fxo) 若不知道切点坐标，应根据导数的几何意义列方程求出切点坐标， 高考再现 >>>>>> 1.(全国甲卷)当x=1时，函数fx)=anx十bx取得最大值-2，则f(2)=() A.-1 B.-12 C.12 D.1 [解析]由题意知，1)=an1+b=b=-2.求导得fx)=ax-bx2x>0),因为fx)的定义 域为(0，十∞)，所以易得f(1)=a-b=0,所以a=-2,所以f(2)=a2-b4=-12.故选B. [答案]B 2.(2024全国甲卷（文）)设函数fx)=ex十2smx1+x2,则曲线y=fx)在点(0,1)处的切线 与两坐标轴所围成的三角形的面积为() A.16 B.13 C.12 D.23 [分析] 借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴的 交点坐标，即可得其面积。 [解析]定义域x∈R, fx)=(ex+2cosx1+x2)-(ex+2sinx2x(1+x2)2,则f(0)=(e0+2cos0)1+0)-(e0+ 2sim0)×01+0)2=3, 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x十1，令x=0,则y=1,令y=0,则x=-13,故 该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=12×1×一13)=16.故选A [答案]A 3.(2024新课标1卷)若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(c十1)十a的切 线，则a= [分析]先求出曲线y=e十x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=n(x+1)十a的切点为o ·独家授权侵权必究· 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ,ln(xo十I)十a),求出y,利用公切线斜率相等求出xo,表示出切线方程，结合两切线方程 相同即可求解. [解析]由y=er+x得y=er+l,y'k=0=e0+1=2,故曲线y=e+x在(0,1)处的切线 方程为y=2x+1;由y=lnx+1)+a得y'=lx+1,设切线与曲线y=lnx+1)十a相切的切 点为xo,lnco十1)+a),由两曲线有公切线得y=Ix0+1=2,解得xo=一12，则切点为 avs4 alcol(-f112),切线方程为y=2aws4 alcolx+f12)+a+ln12=2x+1+a-ln2, 根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=n2 [答案]ln2 4.(新高考1卷)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则( A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b [解析]设u(x)=xe'(0x≤0.1)，ox)=x1一x(0<x≤0.1)，wx)=-ln(1一x)(0x≤0.1)，则 当0<x≤0.l时，u)>0,ox>0,wx)>0.①设x)=ln[ux】-ln[ox]=nx+x-[nx-ln (1一x)]=x+n(1一x)(0<x≤0.1)，则fx)=1-11一x=xx-1<0在(0,0.1]上恒成立，所以x) 在(0,0.1]上单调递减，所以f0.1)<0+ln(1-0)=0,即n[u0.1)]-n[o(0.1)]<0,所以ln[w (0.1)]<n[o(0.1)],又函数y=lnx在(0，+∞)上单调递增，所以u0.1)<o(0.1),即0.1e01<19, 所以a<b.②设g)=e)-wx)=xe*+n(1-x)(0<c≤0.1)，则g'x)=(c+1)e-11-x=(1-x2) ex-11-x(0x≤0.1)，设hx)=(1-x2)e-1(0x≤0.1)，则h'x)=(1-2x-x2)e>0在(0,0.1] 上恒成立，所以h)在(0,0.1]上单调递增，所以hc)>(1-02×e0-1=0,即g(x)>0在(0， 0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>0×e0+ln(1-0)=0,即g(0.1) =u(0.1)-w(0.1)>0,所以0.1e.1>-n0.9,即a>c综上，c<a<b.故选C [答案]C 5.(新课标全国l卷)已知函数fx)=aex一nx在区间(I,2)上单调递增，则a的最小值为 () A.e2 B.e C.e-1 D.e2 [解析]定义域x∈(0，+∞)因为函数x)=aex一nx,所以fx)=ae一l1x.因为函数x) =aex-lnx在(1,2)单调递增，所以fx)≥0在(1,2)恒成立，即aex-1x≥0在(1,2)恒成立， 易知a>0,则0<1a≤xe在(1,2)恒成立.设gx)=xe,则g)=(c+1)e.当x∈(1,2)时，g (e)>0,gx)单调递增，所以在(1,2)上，g(x)>g(1)=e,所以1a≤e,即a≥le=e1故选C [答案]C 6.(2025新高考I卷)若直线y=2x+5是曲线y=e+x十a的切线，则a= [解析]法一：对于y=e+x十a,其导数为y'=ex+l, ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=ex+1=2,即e=l,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(O,5)在曲线y=e十x十a上， 所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4. 法二：对于y=ex十x十a,其导数为y'=er+l, 假设y=2x十5与y=e+x十a的切点为xo,yo), [e'o+1=2 y0=2x+5 则，=e十x十a,解得a=4 [答案]4 7.(2025上海卷T19节选)己知x)=x2-(m+2)x+mnx,m∈R 若f1)=0,求不等式fx)≤x2-1的解集. [解]因为1)=0，故1-m-2+0=0,故m=-1,故x)=x2-x-lnx,故f)≤x2-1 即为十lnx≥l,设sx)=x十lnx,>0,则s'(w)=1+1x>0,故s()在(0，+∞)上为增函数， 而x十lnx≥1即为sx)≥s(1),故x≥1，故原不等式的解为[1，十∞) 课时作业（十四） 1.已知函数x)=ex,则f(-1)=( A.le B.-le C.e D.-e [解析]f()=e-x(-x)y=-ex,f(-l)=-e.故选D. [答案]D 2.(24一25高二下·河北期末)已知函数x)的导函数fx)=(x2+1).则下列选项正确的 是() A.f2)fe)f B.元e)2) C.fe)f2)f D.2)π)e) [解析]已知函数fx)的导函数fx)=(x2+1)e*, x2+1≥1，ex>0,x∈R,fx)>0,所以函数fx)在R上单调递增.选项中x=2,x e,x=π大小顺序为2<e<元所以2)e)π).故选A [答案]A 3.(24一25高二下·四川雅安·期末)已知函数fx)的导函数为f(x),且x)=2ex一(1)x, 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则f(1)=() A.e2 B.2e C.e D.le [解析].x)=2e-f(1)x,fx)=2ex-f(1),令x=1,f(1)=2e1-f(1),解得1) e.故选C. [答案]C 4.(2024北京怀柔期末)设函数fx)=bx十x2ea-x,曲线y=x)在点(1,1)处的切线方 程为y=2e,则a,b的值分别为( ) A.a=e,b=1 B.a=2,b=e C.a=1,b=1 D.a=1,b=e [解析]由fx)=bx十x2ea-x,得fx)=-bx2+2xea-x-x2ea-x,因为曲线y=x)在点(1， f1)处的切线方程为y=2e,所以f(1)=-b+2ea-1-ea-1=-b+ea-l=0,f1)=b+ea-1=2e, 解得a=2,b=e.故选B [答案]B 5.(2024安徽高二校联考期末)若曲线y=x2一nx的一条切线的斜率是一1，则切点的 横坐标为() A.1 B.12 C.2)2 D.e [解析]定义域(>0).设切点的横坐标为x,则y=2x一1x=一1，则x=12c=-1舍去) 故选B [答案]B 6.(24一25高二下·陕西渭南期末)曲线y=1c一1x2在x=2处的切线的斜率为() A.18 B.14 C.12 D.0 [解析]由题意可知，y'=1x一1x4=x2一2x一1)nc一1)x4c-1),所以曲线y=m(c 1)x2在x=2处的切线的斜率k=22一2×2(2-1)n(2-1)24(2-1)=416=14,故选B. [答案]B 7.(24一25高二下·广东肇庆期末)已知函数fx)=mx,则该函数图象在点 avs4 alcol(1e,一e)处的切线方程为 [解析]fx)=1-Inxx2,favs4 allcol(f1e)=2e2, 则切线的方程为y+e=2e2aws4 alicol-fIe》, 切线方程为y=2e2x-3e(或2e2x-y-3e=0). [答案]y=2e2x-3e ·独家授权侵权必究。 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.(2024北京丰台·高二统考期中)已知函数fx)=cos1avs4 alcol(2x一fπ6，则fx)= [解析]由题可得fx)=-sin alvs4 allcol2x-ffπ6)as4 allcol(2x-fr6)'=-2sin alvs4alcol(2x-(6)) [答案]-2 sin lalvs-4 alcol(2x-fπ6) 9.(2024江西南昌·三模)设函数x)的导数为f(x),且x)=4一x2,则f(1)= [解析]因为fe)=1214-x2)(0-2x)=-xr4-x2),所以f(1)=-1r(4-12)=-1 r3)=-3)3 [答案]-3)3 10.(2025·安徽合肥模拟预测)曲线x)=nx+a)在x=1处的切线与直线y=x2+1平行， 则a= [解析]函数x)=ln(x+a的定义域为(-a,+∞)，由已知l>一a,故a>一l,函数f e)=lnx十a的导函数f(x)=lx十a,所以fI)=11十a,因为函数fx)=nc十a)在x=1处的 切线与直线y=x2+1平行，所以11十a=12,所以a=1,经验证，此时满足题意 [答案]1 11.(2024全国·专题练习)已知函数x)满足x)=f(1)e-1一f0)x+12x2,求fx)的解析式. [解]fxw)=f1)e-1-0x+12x2→f(w)=f(1)e-1-f0)+x,令x=1得f(1)=f(1)e0-0) +1,故0=1，故fx)=f(1)e-1-x+12x2,令x=0得f0)=f1)e1,故f1)=0)e=e,故f (x)=e-x+12x2 12.(2025·天津卷T20节选)已知函数x)=a一Inx)2 (1)a=1时，求x)在点(1,1)》处的切线方程 [解](1)当a=1时，fx)=x-(nx)2,x0,则f(x)=1-21nxx(x>0), 则f(1)=1,且1)=1， 则切点(1,1)，且切线的斜率为1，故函数fx)在点(1,1)》处的切线方程为y=x 13.(2024陕西汉中期中)已知函数fx)=一x3+x+1,gx)=e2x1 (I)求曲线y=fx)在x=1处的切线方程； (2)若曲线y=x)在x=1处的切线与曲线y=gw)在x=(t∈R)处的切线平行，求t的值. [解](1fx)=-3x2+1,1)=1,f(1)=-2, 所以曲线y=x)在x=1处的切线方程为y-1=-2x一1)，即2x+y一3=0； (2)(1)可得，曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程为y=-2x+3,由g'x)=-2e2x+1, 可得曲线y=gx)在x=(t∈R)处的切线斜率为g'()=一2e2+1, 由题意可得-2e2+1=-2,从而t=12. 14.(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知函数fx)=nx+ax+11,且f(2)=0 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 (I)求x)的解析式； (2)求不等式f(x)0的解集： (3)求曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程. [解](1)由题意，x>0, 在x)=nx+ax+11中， f(x)=Ix-ax2=x-ax2, f2)=0, ∴.f2)=2-a4=0,解得a=2, ∴.fx)=nx+2x+1l(c>0). (2)由题意由(1)得，x>0, 在fx)=nx+2x+11中，fx)=x一2x2, 则不等式fx)<0,即为x一2x2<0, 即x-2<0,解得x<2, .不等式f(x)<0的解集为(0,2) (3)由题意及(1)2)得，>0， 在x)=nx+2x+11中，f)=x-2x2, f(1)=1-2=-1, 1)=ln1+21+11=13, ∴.曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程为y-13=-(c一1)，即y=一x+14. ·独家授权侵权必究·