第二章 第六节 对数与对数函数-【成功方案】2025年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

该高中数学高考复习教案围绕对数与对数函数专题，将对数运算性质、换底公式、对数函数图象与性质等核心考点按照定义到运算再到应用的逻辑层次展开，通过思考辨析、典例精讲、方法总结、真题演练四个教学环节，帮助学生构建对数问题的知识网络和解题方法体系。 教案采用问题驱动和数形结合策略，如在讲解对数不等式时，引导学生通过分类讨论底数范围，结合函数图象分析解集，培养数学思维和直观想象能力。设置基础题、中档题、综合题分层练习，配合即时反馈和错题精讲，确保学生高效突破重点难点，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第六节 对数与对数函数 教材梳理 >>>>>> 知识点1对数与对数运算 (1)对数的运算性质 ①a,N=Y；②Dlog.aN-=N；③logl=_0_(a>0且a≠1) 思考：1ogx2=2logx一定成立吗？ 提示：不一定，如log.(-5)2≠2log.(-5) (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,则 ①log.MW)=logM+logY; ②log MN-=logM-logN; ③logM=nlog M(n∈R) (3)对数的换底公式 logb=logcblogca(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0). 知识点2对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y y=log x 图象 (1,0) /(1,0) x y=log.x 定义域：(0，十∞) 值域：R 图象过定点(1,0)，即恒有loga1=0 性质 ①当x>1时，恒有20；当0 ②当x>1时，恒有Q；当0 <x<1时，恒有Q· <x<1时，恒有20 在(0，十∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 [常用结论 1.换底公式的两个重要结论 (1)log b=1logba; (2)log.b”=mlog,b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m,n∈R 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 <c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 y=log x y=log,x y=1 y=logx y=logx 3.函数y=logx与y=r是互为反函数，其图象关于y=x对称. 诊断自测 >>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)logzx2=2l0g2x.() (2)函数y=log2x+1)是对数函数.（) (3)函数y=n1十xl-x与y=ln(1+x)-ln(1一x)的定义域相同.() (4)当x>1时，若logx>logx,则a<b.() [解析](1)1og2x2=2log2x,故(1)错误。 (2)形如y=log(a>0,且a≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b<1<a,则当x>1时，logx>logx,故(4)错误. [答案](1)×(2)×(3)√(4)× 教材衍化 2.1og29×1og34+2log510+1og50.25=() A.0 B.2 C.4 D.6 [解析]原式=2log23×(2log32)十1og5(102×0.25)=4+1og525=4+2=6. [答案]D 3.(24-25高二下·山东德州期末)己知6m=a,logb=n,若m十n=-12,则ab=() A.136 B.6)6 C.6 D.36 [解析]由6m=a可得m=log6a,由m+n=一12可得log6a十log6b=log6ab=-12:所 以ab=6-12=1r6)=6)6.故选B [答案]B 考题体验 4.(24-25高二下·河北期末)设alog29=2,则3a=() A.2 B.3 C.log23 D.log32 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由alog29=2,可得1og299=2,所以99=4,3a=2.故选A [答案]A 5.(24一25高二下·海南海口·期末未)已知1og2)2<12,则实数a的取值范围为() A.lalys4alcol(0,V12))U(1,+ B.lawvs4lallcol(-co,-(12))Ulaws4lallcol0f(12),+co) C.lalvs4lallcol0f(12),+o) D.lalvs4allcol(0,12))Ulalvs4allcol(f(12),1) [解析loga2)2<12=loga, ①a>1a>fr(22)→a>1: ②0<a<1a<fr22)→0<a<12 所以实数a的取值范围为avs4 alcol(0,f12)U(1,+c∞).故选A. [答案]A 典例精讲 [例1](1)计算：2Qg2)2+lg2·lg5+(lgr(2)2-lg2+1; (2)已知24g分=1gx+1gy,求1og-6a号 [思路点拨](1)观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简（如去根号、降幂等）， 然后求值. (②)利用已知条件求得y和值后，代入 og3-2②y求值. [自主解答](1)原式=lg2(2lg2+lg5)+(gr2)2-2gr(2)+1=lg2g2+lg5)+g 2-1川=lg2+(1-lg2)=1. (2)由已知得1g lalvs4-alcol(f-y2》2=lgxy, ∴.laws4 allcol(f-y2)2=xy,g即x2-6xy+y2=0 .∴lavs4 al col(f(xy))2-6avs4 alcol(f6y》+1=0. y=3+22或y=3-22 .x-y>0,x>0,y>0,xy>1,xy=3+22, 1 ∴loga-8m号=log8-33+22)=logg-a63-22 =-1. [解题心得](1)对数的运算性质，以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的 前提下才成立. (2)在运算中要注意对数化同底和指数与对数的转化， [例2]已知函数x)=log2x,x>0,3x,x≤0，)关于x的方程x)十x一a=0有且只有一 个实根，则实数a的取值范围是 ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [思路点拨]画x)的图象，利用数形结合来解决. [自主解答]问题等价于函数y=fx)与y=一x十a的图象有且只有一个交点，结合函数 图象可知a>1. [答案](1，十∞) [解题心得]应用对数型函数的图象可求解的问题 ()对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、 值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. [例3](24-25高二下·天津期末)已知函数x)=log.(2+x)-log.(2-x)(a>0,且a≠1) (1)判断x)的奇偶性，并证明； (2)当a=3时，若m)-一m)2,求实数m的取值范围 [思路点拨](1)利用函数的奇偶性定义判断即得； (2)在a=3时，先利用复合函数的单调性判断函数fx)在（一2,2）上单调递增，再利用奇 函数性质和特殊值，将不等式转化成m)1),根据函数的单调性即得参数m的范围， [自主解答](1)由2十x>02一x>0)可得-2<x<2,即函数的定义域为(-2,2)，关于原点 对称，因为(-x)+fx)=log.(2-x)-log(2十x)十log(2十x)-log.(2-x)=0,故函数)为奇 函数。 (2)a=3,fx)=log3(2+x)-log3(2-x)=log32+x2-x=log3lalvs4lallcol(-1- f4红一2)，因为函数y=一1一4红一2在(-2,2)上单调递增，又因为函数y=log3x在定义域内 单调递增，故函数fx)在（一2,2）上单调递增： 又因为-m)=-fm),且1)=1，故不等式m)-(-m2等价于2fm)<2f1),即f (m)<1),即可得-2<m<1,故实数m的取值范围为(-2,1) 高考再现 >>>>>> ④ 1.(2024全国甲卷（文）)已知a>1且1log8a-1loga4=-52,则a= [分析]将logs4,log4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解. [解析]由题意得，1log8a-11oga4=31og2a-121og2a=-52,整理得(1og2a)2-5log2a-6 =0,→log2a=-1或log2a=6,又>1，所以10g2a=6,故a=26=64 [答案]64 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(2025新高考1卷)若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的 大小关系不可能是() A.xy>z B.x>y C.y>x>z D.y>>x [分析]法一：设2+log2x=3+log3y=5+-logsz=m,对m讨论赋值求出x,y,z,即可 得出大小关系，利用排除法求出： 法二：根据数形结合解出 [解析法一：设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m,所以令m=2,则x=1,y=31=13 ,z=53=1125,此时x>y>z,A有可能：令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>2,C有 可能：令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>>x,D有可能；故选B. 法二：设2十log2x=3十logy=5十log5z=m,所以，x=2m-2,y=3m-3,z=5m-5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y=2-2,y=3*3,y=55 的图象，以上方程的根分别是函数y=2x-2,y=3-3,y=55的图象与直线x=m的交点纵坐 标，如图所示： =5 y=3- 0 x=m 易知，随着m的变化可能出现：y>z,y>x>2,y>>x,>y>x,故选B [答案]B 3.(湖南卷)函数fx)=log(1十x)的定义域为() A.(-∞，-1) B.(-1,+∞) C.[-1,+∞) D.(0,+∞) [解析]由题意可得1十x>0,解得x>一1，所以函数x)=log3(1十x)的定义域为(-1， 十∞)，故选B [答案]B 4.(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的 时间T=og2W(单位：h),其中k为常数.在此条件下，己知训练数据量N从106个单位增 加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到 4.096×109个单位时，训练时间增加() A.2h B.4h C.20h D.40h 独家授权侵权必究 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为 T,T2,T3, 由题意，T1=klog2106=6k1og210, T2=k1og2(1.024×10)=k1og2(210×10) =k10+6log210) T3=1og2(4.096×10=og2(212×10%) =12+6log210), 因为T2-T1=k(10+6log210)-6log210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 小时.故选B [答案]B 5.(天津卷)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b [解析]显然c=0.30.2∈(0,1) 因为1og33<1og38<log39,所以1<b<2 因为1og27>log24=2,所以a>2.故cb<a [答案]A 6.(2024北京卷)生物丰富度指数d=S一11nN是河流水质的一个评价指标，其中S,N 分别表示河流中的生物种类数与生物全体总数生物丰富度指数.d越大，水质越好，如果某 河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由M1变为N2,生物丰富度指数由2.1 提高到3.15，则( A.3N2=2W B.2W2=3W1 C.W22=W31 D.W32=W21 [分析]根据题意分析可得S-1mN1=2.1,S-1mN2=3.15,消去S即可求解. [解析]由题意得，S-1mN1=2.1,S-1lmN2=3.15,则2.1nM=3.15lnN2,即2n M=3In N2, 所以N32=W21.故选D [答案]D 课时作业（十一） 1.(24-25高二下·山东日照期末)若1ogm=2,b3=m,则1ogm(ab)=() ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.16 B.15 C.56 D.65 [解析]由b3=m可得：logm=3 则logm(ab)=logma-十logmb =logaalogam+logbb1.ogbm=12+13=56.故选C. [答案]C 2.(24-25高二下·湖南衡阳·期未)设a=52,b=log38,c=l1og25,则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a [解析]b=log38<1og39=2=log24<c=log25=log425<1og432=52=a.故选D, [答案]D 3.(24-25高二下·河北沧州期末)函数y=31og.x一1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过的点 为() A.(1,1) B.(1,4) C.(2,1) D.(2,4) [解析]在函数y=31og(c-1)+1中，当x=2时，恒有y=1,即函数y=31og.(c一1)+1 的图象恒过的点为(2,1)，故选C [答案]C 4.(24-25高二下·辽宁辽阳·期未)函数fx)=log2(ax2-ax十2)的定义域为R,则实数a 的取值范围是() A.(0,8) B.(-∞，0]U(8,+∞) C.[0,8) D.(8,十∞) [解析]对x∈R,ax2-x十2>0恒成立，当a=0时，fx)=1,符合题意：当a≠0时， 需满足a>01=a2-8a<0),解得0<a<8.综上，a∈[0,8).故选C. [答案]C 5.(2024全国华中师大一附中.模拟预测)设实数x>0,则“log2<1”成立的一个必要 不充分条件是() A.12<x<2 B.1<x<2 C.x<1 D.x<2 [解析]由log2x<1,即-1<1og2x<1,即log212<1og2x<log22,所以12<x<2,即不 等式log2x<1的解集为aws4 allcol(y12),2),因为avs4 allcol(f12),2)(-∞，2)，所以 “log2x<1”成立的一个必要不充分条件可以是x<2.故选D. [答案]D 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.(2023·高三上·全国专题练习)已知函数y=logx十c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1) 的图象如图，则下列结论成立的是( 0 A.a>1,c>1 B.a>1,0<c1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 [解析]由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<<I:因为 图象与y轴的交点在y轴上方，所以y=log(0十c)>0=log1,所以0<c<1.故选D [答案]D 7.(2024山西太原·三模)设a=log32,则a∈() A.\alvs4\al\col(f(135) B.\a vs4\alcolAf(358) C.\alvs4\allcol(f(378) D.\alvs4\al\col(f(534) [解析]x)=1og3x,则fx)在定义域内单调递增.256=28>35=243,16=24<33=27， 、4) .8) .3”>2>3,故58<10g32<34.故选D. [答案]D 8.(2024江苏南通模拟预测已知函数fx)=ln(a+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数 a的取值范围是() A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a≥-1 [解析]令t=ax十2，则y=lnt,因为函数fx)=ln(a+2)在区间(1,2)上单调递减，且 y=lnt在定义域内递增，所以a<0,2a十2≥0，)解得-1≤a<0,故选B. [答案]B 9.若函数y=a一ax(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log56+1og485=() A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]当>1时，函数y=a一ax在[0,1]上单调递减，所以a-1=1且a一a=0,解 得a=2;当0<a<1时，函数y=a一a在[0,1]上单调递增，所以a-1=0且a一a=l,此时 无解.所以a=2,因此log.56+log.485=log2avs4al小col0f5485)=log28=3, [答案]C 10.(24-25高一上·全国课后作业)已知实数m>0且m≠1，函数y=log+n)的大致图 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 象如下，则m,n的取值范围可能为( A.m>1,n>1 B.m>1,0<n<1 C.0<m<1,n>1 D.0<m<1,0<n<1 [解析]由图象可知函数y=logm(x十n)是减函数，所以0<m<l;当x=0时，logm(x十n) =logmn<0,所以n>1.故选C. [答案]C 11.(2024江苏无锡高二统考期末)不等式avs4 allcol(f12x-14>n(c-1)的解集为 [解析]作出y=las4 allcol0f12x-14,y=n(c-1),(其中x>1)的图象，如图，x >1时，y=las4 alcol(f2x-14单调递减，y=lnc-l)单调递增，两个函数均过点(2,0) x∈(1,2)时，y=aws4alco1f12x-14>0,y=n-1)<0:x∈(2，+∞)时，y=1 avs4 alcol(f12x-14<0,y=ln(c-1)>0:由图可知，当aws4 alcol(f12x-14>lnx-1) 时，x∈(1,2)，则不等式laws4 alcol(f12x-14ln(x-1)的解集为(1,2). y=In(x-1) (分-4 [答案](1,2) 12.(2024上海·课后作业)不等式1og2x+14)+1og2c+2)>3+log2x+6)的解集为 [解析]由1og2(x+14)+1og2x+2)>3+1og2x+6, 可得1og2x+14)c+2)>log28(x+6, 又.y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以(&+14)x+2)>8(x十6x十14>0，x十2>0，x 十6>0，解不等式组可得>2，所以不等式log2x+14)+l1og2(x+2)>3+log2(x十6的解集为(2， 十∞)】 [答案](2，+∞) 13.己知函数f)=og3x|,0<x≤3,2-log3x,x>3,)若a<b<c,且a)=b)=c), 则a十b十c的取值范围为 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由a)=fb)=c),可知-log3a=log3b=2-log3c,则ab=1,bc=9,故a=1b, c=b,则a十b+c=b+10b,又b∈(1,3)，位于函数b)=b+10b的减区间上，所以193 <a+b+c<11 [答案]avs4 allcol0f193),11) 14.(24-25高一上·北京平谷期末)已知函数x)=1og2(x+1),若fx)>x,则x的范围 是 [解析]作出函数y=l1og2(x十1)和函数y=x的图象，如图所示，两个函数的图象相交于 点(0,0)和(1,1)，当且仅当x∈(0,1)时，y=l1og2(x+1)的图象在y=x的图象的上方，即不 等式x)>x的解集为(0，I). y=x y=log2(x+1) 2-1 0123 [答案](0,1) ·独家授权侵权必究·