第1章 微专题1 利用勾股定理列方程求边长（课时作业）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

数学·八年级上册（北师大版） 微专题1利用勾股定理列方程求边长 类型1单直角三角形列方程 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=4,∠ABD=∠BAD,求BD的长。 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,CD=3,BD=5,求AC的长。 3.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋 千未起，踏板一尺离地。送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止 的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺，EB⊥OA于点E),此时踏板 升高离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度。 类型2双直角三角形列方程 4.如图，在△ABC中，AC=4,AB=8,BC=6,AE,AD分别是边BC上的高和中线，求EC的长。 E B4 第一章勾股定理 5.如图，△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D,BD=8,CD=6,求AB的长. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB。 (1)若BC=3,AC=4,求AD的长； (2)若AD=4,BD=1,求CD的长； (3)若CD=3,AD=4,求BD的长。 7.如图，笔直的河流一侧有一个旅游景点C,河边有两个游船码头A,B,其中AB=AC,由于某种原 因由C到A的路不通，为方便游客，决定在河边新建一个游船码头D,并修建一条路CD,测得 BC=5km,CD=4km,BD=3km,求原来的路线AC的长。 B 222222222 B5参考答案 00元-00-0- 10.解：因为车宽2.4m 课时作业 所以欲通过题图的隧道，只需距隧道中线1.2m处的高度 oooo o oo xoo 高于车高。如答图，点D离隧道中线1.2m,且CD⊥AB, 与地面交于点H,连接OC. 第一章 勾股定理 在Rt△OCD中， 第1课时探索勾股定理(1) 由勾股定理可得 CD2=OC2-0D2=22-1.22=2.56, 2.5n 1.A2.A3.C4.45.13 所以CD=1.6m, H -4m-→ 6.解：当b为直角边长时，c2=a2+b=25; 所以CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1(m), 答图 当b为斜边长时，c2=6-a2=7,故c2的值为25或7。 故卡车的外形高必须低于4.1m。 7.A8.(1)10(2)15(3)7 9.解：由题意，得△ABC,△A'B'C均为直角三角形， 第3课时一定是直角三角形吗 在Rt△ABC中，BC=AB-AC=36,所以BC=6m; 1.B2.D3.B4.C5.6,10(答案不唯一)6.9或41 梯子的顶端A下滑2m到点A'时， 7.解：因为62+82=10， A'C=8-2=6(m),A'B'=AB=10m, 所以此三角形为直角三角形，两直角边长分别为6,8， 在Rt△A'B'C中，B'C2=A'B2-A'C2=64,所以B'C=8m, 所以B'B=B'C-BC=8-6=2(m), 所以此三角形的面积为号×6X8=2。 所以此时B'B的长为2m。 8.B 10.解：如答图，过点A作BC的垂线，垂足为M, 9.解：(1)AD⊥BC。理由如下： 因为AB=AC,AM⊥BC 7 因为D为BC的中点，BC=6,所以BD=3。 所以BM=号BC=12。 因为AB=5,AD=4,所以AB2=BD+AD2 B M 所以△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，所以AD⊥BC: 在Rt△ABM中，AP=AB 答图 (2)因为AD⊥BC,AD为BC边上的中线， BM=132-122=25,所以AM=5, 所以AC=AB=5。 所以边BC上的高为5。 10.解：连接AC,如答图， 11.解：(1)根据勾股定理可得AB=502-402=900, 则∠BAD=∠BAC+∠CAD 所以AB=30m,所以A,B两点间的距离为30m; 因为AB⊥BC,AB=BC,所以∠BAC=45°。 (2)过点B作BE⊥AC于点E,如答图，则B点到直线AC 又因为△ABC是直角三角形，所以AC=42+4=32。 的最短距离为BE的长， 因为AD=2,CD=6,且2+32=6， 因为三角形ABC的面积= 2×30X 即AD+AC=CD, 40=600(m), 所以△ACD是直角三角形，且CD为斜边， 2 所以∠CAD=90°， 所以BE=600×0=24(m,. 所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°。 答图 所以B点到直线AC的最短距离为 11.45 24m。 12.解：如答图所示（答案不唯一）。 第2课时探索勾股定理(2) 1.C2.A3.24.(1)13(2)75.2 6.解：因为船A以20km/h的速度向东航行，船B以15km/h的 速度向北航行，它们离开港口2h后，AO=40km,OB=30km, 在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=402+302=2500, 答图 所以AB=50km。 微专题1利用勾股定理列方程求边长 答：离开港口2h后，两艘船相距50km。 1.解：设AD=BD=x,CD=8-x 7.D 在Rt△ADC中，(8-x)2+4=x2, 8.解：设此时梯子底端B到右墙脚点E的距离是xm,则BC 为(2.2-x)m,由题意可知AB=DB, 解得x=5,故BD=5。 在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理，得 2.解：过点D作DE⊥AB于点E, AB=BC+AC,DB:=BE+DE 因为AD平分∠BAC,所以DE=DC=3。 所以BC+AC=BE+DE,即(2.2-x)2+2.42=x2十4， 又因为∠C=∠AED=90°，AD=AD, 解得x=1.5。 所以Rt△ACD≌Rt△AED,所以AE=AC。 答：此时梯子底端B到右墙脚点E的距离是1.5m。 在Rt△BDE中，BD=5,DE=3,则BE=4。 9.解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E, 设AE=AC=x,则AB=4十x, AE=CD=0.3 m,DE=AC=2.4 m, 所以在Rt△ABC中，(4+x)2=x2+82, 所以BE=AB-AE=1m, 解得x=6,即AC=6。 所以BD2=BE+DE=1+2.42= 3.解：设OA=OB=x尺， 6.76=2.62,即BD=2.6m, 答图 因为EC=BD=5尺，AC=1尺， 所以此时牵狗绳BD的长为2.6m。 所以EA=E℃-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺， 21 数学入年级上册（北师大版） 在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺， 所以CD=BD-BC=10-6=4, 根据勾股定理，得x=(x一4)2+102， 设CE=x,则EA=ED=8一x, 整理，得8x=116,即2x=29,解得x=14.5, 在Rt△DCE中，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2,解得x= 则秋千绳索的长度为14.5尺。 3,所以CE的长为3。 4.解：设EC=x,则EB=x+6,AC一EC=AB2一EB2, 3.解：在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得 即42-x2=82-(x十6)2，解得x=1,即EC=1。 BC=AC-AB2=102-62=64, 5.解：设AB=x,则AB=AC=x, 所以BC=8,所以AD=BC=8。 因为CD=6,所以AD=x-6, 由折叠知CF=CD=AB=6,DE=EF,∠AFE=∠CFE= 因为AB=BD+AD,所以士=+(x一6)，懈得x-要， ∠CDE=90°。 所以A日-经，所以AB的长为孕。 DE=EF=z,AF=AC-CF=4,AE=8-x. 在Rt△AEF中，(8-x)2=42+x2,解得x=3, 6,解：(1①AD=乌， 所以EF=3,AE=8-3=5, (2)设CD=x,则(x2+1)+(x2+16)=25, 所以SBa=AEBC.AB=(5+8)X6÷2=39. 2 解得x=2,即CD=2; 4.解：在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,故△ABC为直角三 (3)因为CD LAB,CD=3,AD=4,所以AC=5。 角形，由折叠知AB=AB=3,DB=BD,∠B=∠ABD= 设BD=x,则(x十9)十25=(x十4)2， ∠CBD=90°，所以CB=2。 解得x=是，即BD=号 设BD=BD=x,则CD=4一x, 因为DB2+CB2=CD,所以x2+22=(4-x)2, 7.解：在△CDB中，CD=4km,BD=3km,BC=5km 因为CD2+BD=4+32=25,BC=25, 解得=是，所以DB=是， 所以CD+BD=BC, 5.解：由折叠知AF=AD=10,EF=DE。 所以△DBC是直角三角形，∠CDB=90°。 因为AB=6,AF=10,∠B=90°， 设AC=AB=xkm,则AD=AB-BD=(x-3)km, 由勾股定理，得BF=8,所以CF=2, 在Rt△ACD中，AC=xkm,AD=(x-3)km,CD=4km, 设EC=x,则EF=DE=6一x。 由勾股定理，得AC=AD2+CD, 则在Rt△EFC中，x+22=(6-x)2, 所以父=（红一3》+，解得x=, 解得x=号所以BC-=号。 答：原来的路线AC的长为号km 6.解：设BE=xcm,由折叠的性质可得DE=BE=xcm, 所以AE=AD-DE=(9-x)(cm), 第4课时勾股定理的应用 在Rt△ABE中，BE=AE+AB, 1.C2.B3.30 所以x2=(9-x)2十32，解得x=5, 4.解：由勾股定理知，“路”长2=242+102=676=26， 所以DE=BE=5cm,AE=9-5=4(cm) 所以“路”长为26m,24+10-26=8(m), 所以5m=合AB:AE=合×3X4=6(cm). 所以他们少走了8m。 7.解：如答图，过点F作∠CFE的平分线，交 5.D6,A7.B8C99 G CE于点H,所以∠CFH=∠EFH, 10.解：过点D作DE⊥AB于点E,如答图所示， 根据题意，得∠CEF=∠CEB, 则CD=BE,DE=BC=1.2m, 因为AB∥CD,所以∠CEB=∠ECD, 在Rt△ADE中，AD=1.5m, 所以∠CEF=∠ECD, 由勾股定理，得AE2=AD2-DE=1.52-1.2 又因为∠CFH=∠EFH,FH=FH, =0.81, 答图 所以△CFH≌△EFH(AAS),所以EF=CF, 所以AE=0.9m,所以BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6(m), 如答图，过点E作EG⊥CD于点G,则DG=AE=2cm, 所以CD=BE=1.6m, 设EF=CF=xcm, 故这名学生身高CD为1.6m。 则GF=AB一AE-EF=10-2-x=(8-x)cm, 11.67 在Rt△EFG中，EF2=GF+EG,所以x2=(8-x)2+62, 12.解：设AF=a,则FD=3a, DC=BC=4a,AE=EB=2a。 所以x=要，所以EF-要cm, 在Rt△AEF中，EF2=AE+AF2=5a2, 第5课时问题解决策略：反思 在Rt△DFC中，FC=FD2+CD=25a2, 在Rt△EBC中，EC=BE+BC=20a, 1.解：由题意得长方形的周长为20m,即长+宽=10m, 所以EC+EF=25a2=FC。所以△EFC是直角三角形。 因为长方形的长和宽均为整数，所以长方形长和宽的所有情 况（单位：m):1,9;2,8;3,7;4,6;5,5。 微专题2利用勾股定理列方程解决折叠问题 所以围成的长方形的面积可能为： 1.x8-x 1×9=9(m2),2×8=16(m2),3×7=21(m2), 2.解：由勾股定理，得AC=AB-BC=100-36=64,即AC-8, 4×6=24(m2),5×5=25(m2), 由折叠的性质，可得BD=AB=10,EA=ED, 所以围成的长方形的最大面积是25m。 22