第1章 勾股定理 单元测试卷-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

八年级上册数学(BS)单元检测卷 8.我国古代称直角三角形为“勾骰形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，如图1所示，数学 家刘徽（约公元225年一公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割 第一章勾股定理 方法所得的图形证明了勾殷定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”耕接而成，若a=3,b (时间：90分钟 慈分：100分) 1,则长方形的面积为 () 班级 学号 姓名 得分 A.6 B.9 C.12 D.15 二，填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 一，选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 9.图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形放在如图2所示的正方形中，其中阴影部分的面积 1.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 ( 分别记为S,S:,则S+S的值为 A.2,3,4 B.3,4,5 C.6,7,8 D.9,40,42 2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm,则正方形A, B,C,D的面积之和为 () A.36 cm' B.18 cm C.81 cm' D.27 cm' 1 D 图2 (第9题用) (第11题) (第12题图) (第13题图) 10.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足(a一3)产+|b一4=0，则该直角三角形的斜边长为 11.如图，李明从家(A处)出发向正北方向走了1200米到达B处，接着向正东方向走到离家2000m远的C处， C水平面 这时，李明向正东方向走了 (第2题因) (第4题图) 12.如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12cm,高是5cm,现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B, 3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是，b,c在下列条件中，所有能确定△ABC是直角三角形的条件是() 则彩带最短需要 cm. ①a+8=d,②∠A:∠B:∠C=1t1i2:③Sac=2ab:④∠A=∠B=∠C. 13.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB一90°，AC=BC,从三角尺的刻 A.①③ B.②④ C.①②@③ D.①②③④ 度可知AB一20，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方（每块砖的厚度相等）为 4.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平而上，固定两墙A和B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题 皮筋被拉长了 () 10分，第20题12分，共61分) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6cm 14.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB-10,BC-6,求AC的长。 5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为 A',且BC-3,则AM的长是 () A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5 图2 15.如图，AD=4,CD=3,∠ADC=90°，AB=13,BC=12,求该图形的面积. (第5题图) 〔第6题图) (第8题图) 6.将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm,高为16cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外而的长 度为hcm,则h的取值范围是 () A.h≤8 B.h≥8 C.6h≤8 D.4≤h≤8 7.《周牌算经》中记载了“勾三股四弦五”的直角三角形边长关系，即当直角三角形的两条直角边长分别为3和4 时，斜边长为5，受此启发，我们定义：若一个直角三角形的两条直角边长口和6满足号-冬-(k为正实数)， 则称这个直角三角形为“勾骰标准形”直角三角形。现有一个“勾股标准形”直角三角形，若其面积为24，则它的 斜边长是 () A.6 B.12 C.10 D.15 八上数学第一章检测卷第1页（共4页） 八上数学第一章检渊卷第2页（共4页） 16.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A,人只要移至距 19.如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE,∠B=∠DCE=90°，点A,C,D依次在同一直线上，且AB∥DE, 离该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”。如图所示，一个身高1.5m的学生走到D (1)说明：△ABC≌△DCE: 处，即CD=1.5m,门铃恰好自动响起，求BD的长， (2)连接AE,当BC=5,AC=12时，求AE的长， 20.【问题情境】 17.如图，一个密封的圆柱形油螺底面的周长是10m,高是15m,一只壁虎在距底面3m的点A处，油罐上底面与 勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法。下面利用拼图的方法探究证明勾股定理， 点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处辅食，它爬行的最短路程为多少米？ 【定理表述】 (1)请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理：（可以选择文字语言或符号语言叙述）： 【尝试证明】 (2)善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构透出如图2所示的两种图形，用两种方法验证了勾股定 理，请你选择其中一种进行说明： 【解决问题】 (3)如图3，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发 现此时绳子底墙距离打结处约1m,请设法求出旗杆的高度。 18.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB= 10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A 处多少千米处？ 八上数学第一章检测卷第3页（共4页） 八上数学第一章检测喜第4页（共4页）参考答案 BP=8,BC=6, 19.解：(1)因为AB∥DE,所以∠BAC=∠CDE。 根据勾股定理，得CP,=√82一6=2√7， ∠B=∠DCE, .AP1=10-2√7，即P1(6,10-2√7)； 在△ABC和△DCE中， ∠BAC=∠CDE, ②当BP2=DP2时，此时P2在BD的垂直 AC=DE, 0 平分线上，即P2(6,6): 答图 所以△ABC≌△DCE; (2)由(1)可得BC=CE=5, ③当DB=DP?=8时，过点D作DE⊥AC于点E, 在直角三角形ACE中，AE=AC+CE=122+52=169, 在Rt△DEP中，DE=6, 故AE=13。 根据勾股定理，得P,E=√82一6=2√7 20.解：(1)a2+=2 .AP=AE+EP=2√7+2，即P(6,2√7+2)。 (2)方法一：如答图1，连接AE. 综上，满足题意的点P的坐标为(6,6)或(6,2√7+2)或(6， 因为SaE=Se+2Sw=号2+2X号0 2 d+ab, 10-2√7)。 又S#影ae=2(a十b)(a十b)= 1 2(a+)2, 单元检测卷 所以名(a+6)=c+a6,所以c+6=d: 第一章勾股定理 方法二：因为S正方形ACD=S正方形HBc十4S△ASD=(b一a)2+4X 2ab=a2+6, 1.B2.C3.C4.A5.B6.D7.C8.C 又SE方形Bcn=AD2=c2,所以a2十=C2。 9.1610,511,160012.1313.200 14.解：在Rt△ABC中，AB=10,BC=6,根据勾股定理，得 AC心=AB2-BC=102-62=64。 所以AC=8。 15.解：如答图，连接AC,在Rt△ACD中，AD=4,CD=3, 5m 所以AC=AD+CD=25,所以AC=5。 答图1 答图2 在△ABC中，因为AC+BC=52+122=132=AB, (3)如答图2，由题意知AB=AC, 因为AB2+BD=AD2,所以AB2+52=(AC+1)2, 所以△ABC为直角三角形， 所以AB=12,故旗杆的高度为12m。 所以该图形的面积为Sac-S。Mm=合×5X12-号×3X 第二章实数 4=24。 1.C2.B3.D4.A5.D6.C7.A8.C 9.2√210.a≥511.<12.√3-113.-2b 14.解：(1)原式=22+4√2-√2=5√2； (2)原式=4一6+2√6=4十√6； D 第15题答图 第16题答图 (3)原式=√/18-2√45-32=3√2-6√5-3√2=-6√5； 16.解：如答图，过点C作CE⊥AB,垂足为E。 (4)原式=3√6-17。 由题意可知，BD=CE,BE=CD=1.5m,AC=5m, 15.解：(1)x2=16,x=士4； 则AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m), 在Rt△ACE中，由勾股定理，得 (22x-1=-2x=-合 CE=AC-AE=52-32=16, 16.解：小翼得到的结果正确。正确的计算过程如下： 所以CE=4m,所以BD=CE=4m,即BD的长为4m。 原式=(2-√5)×2-2×(2-√5) 17.解：作展开图如答图， =2×(2-√5)-2×(2-√5) 由题意可得AD=2×10=5(m, =0. 17.解：因为小正方形的边长均为1， CD=15-3=12(m), 所以由勾股定理，得 在直角三角形ACD中，由勾股定理得 答图 AB=√/32+2=√13，AC=√+2=√5。 AC=122+52=169, 所以AC=13(m), 又因为BC=2,所以AB+AC+BC=√13+√5+2， 答：它爬行的最短路线长为13m。 即△ABC的周长是√13+√5+2。 18.解：设AE=xkm,因为C,D两村到E站的距离相等， 18.解：(1)因为2a一1的算术平方根是3,3a十b的立方根是2， 所以DE=CE,即DE=CE, 所以2a-1=9,3a十b=8,解得a=5,b=-7, 由勾股定理，得152+x2=102+(25一x)2,解得x=10。 因为3<√11<4，所以√11的整数部分c=3。 故E站应建在距A处10km处。 综上，a=5,b=-7,c=3。 43