第1章 第4课时 勾股定理的应用（高效课堂）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

参考答案 4.C5.B6.24 第5课时问题解决策略：反思 7.解：因为AB=13,AD=12,BD=5, 所以AD+BD=122+52=169=132=AB。 【新课学习】 所以△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°。 【例1】815二 所以∠ADC=90°。 解：如答图。 所以在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD2=AC-AD=152-122=81,所以CD=9。 第4课时勾股定理的应用 答图 【新课学习】 【变式1】解：如答图（单位：cm)所示。 1.直角三角形2.平面线段勾股定理 冈B 【例1】解：因为正方形ABCD的边长为8， 10 EF=5,所以∠D=90°，AD=CD=8, C 且由折叠的性质得CF=EF=5, 3 答图 所以DF=CD-CF=8-5=3, 因为从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B, 由勾股定理，得DF+DE=EF, 所以展开后AC=3×8=24(cm),BC=10cm, 即32+DE=52,所以DE=4, 连接AB。由勾股定理，得 所以AE=AD一DE=4,所以AE=DE, AB2=AC+BC=242+102=676=262, 故点E是边AD的中点。 【变式1】解：因为四边形ABCD是长方形，所以∠A=90°， 所以AB=26cm。所以彩条的最短长度是26cm。 设BE=xcm,由折叠的性质可得DE=BE=xcm, 【例2】解：两个正整数的和是11的所有情况： 所以AE=AD-DE=(9-x)cm, 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6. 在Rt△ABE中，BE=AE+AB, 共有五种不同的情况，每种情况的乘积是： 即x2=(9-x)2十3，解得x=5, 1×10=10,2×9=18,3×8=24, 所以DE=BE=5cm。 4×7=28,5×6=30, 【例2】10 从中可以看出，当这两个正整数是5和6时，积最大；当 【变式2】解：设铁棒伸入油桶中的长度为xm, 这两个正整数是1和10时，积最小。 则伸人长度最长时，x2=1.52+22。解得x=2.5。 【变式2】解：(1)由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡 所以这根铁棒最长是2.5十0.5=3(m)。 片上数字乘积最大， 伸入长度最短时，x=1.5。 最大值是：(-5)×(-3)=15； 所以这根铁棒最短是1.5+0.5=2(m)。 (2)由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上 即这根铁棒的长应在2~3m范围内。 【课堂检测】 数字相除的商最小，最小值是：（一5）÷3=一号 1.D2.52 (3)答案不唯一，如[（一3）一(-5)]×3×4=24。 3.解：设滑道AC的长为xm,则AB的长为xm,AE的长为(x一 【课堂检测】 1)m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE+ 1.10cm2.7,81,14 CE=AC,即(x-1)2十32=x2,解得x=5, 3.解：圆柱的侧面展开后是长方形，如答图， 故滑道AC的长度为5m。 因为底面周长约为6m,柱身高约16m, 4.17.65.25dm 6.解：(1)CH是村庄C到河边最近的路。理由如下： 所以AE=6m,BE=BD=号×16=8m, 因为CH+BH2=2.42+1.82=9,CB2=32=9, 所以AB=BE+AE=100,解得AB=10, 答图 所以CH+BH=CB, 所以雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为10×2=20(m)。 所以△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°，所以CH⊥AB。 4.解：(1)18(2)-6 因为垂线段最短，所以CH是村庄C到河边最近的路； (2)因为∠CHB=90°，所以∠CHA=90°， (3)因为各张卡片的倒数分别为-号，宁，一日，日，1,0没 所以AC=AP+CHP。 有倒数， 因为AB=AC,所以AH=AB-BH=(AC-1.8)km, 所以AC=(AC-1.8)2+2.4,解得AC=2.5。 所以倒数最大是1，最小是一号，所以抽取的2张卡片上的 答：原来的路线AC的长为2.5km。 1 数分别是1，一3，这两个数的倒数分别是1，一3： 3数学·八年级·上册（北师大版） 第4课时 勾股定理的应用 新课标·应用勾股定理及判断三角形是直角三角形的方法解决简单的实际问题，进一步发展应 用意识。 新课学 1.运用勾股定理解决实际问题，关键要寻找或构造 ,把实际问题抽象成几何问题。 2.在立体图形中找最短距离，通常要把立体图形转化为 图形，再利用“两点之间所有连线 中， 最短”，找到立体图形表面上两点的最短路径，并利用 求解。 知识点1勾股定理在折叠中的应用 例T(教材P13尝试·思考改编)如图，将正方变式1 如图，长方形ABCD中，AB=3cm, 形纸片ABCD翻折，使点C落到AD边上的点AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重 D E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F,若合，折痕为EF,求DE的长。 正方形ABCD的边长为8，EF=5,试说明：点E 是边AD的中点。 知识点2勾股定理的情景应用 例2如图，两树高分别为10m和4m,相距 变式2如图，有一个高为1.5m,半径是1m的 8,一只鸟从其中一树的树梢飞到另一树的树圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔 梢，则小鸟至少飞行 m。 中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5m,问这根铁棒的长在什么范围内？ k8m ●>8《 第一章勾股定理 课堂检列 基础训练 1.如图，某人想垂直横渡宽(AB处)为480m的2.《九章算术》中记载：今有开门去阃（门槛） 一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C 尺，不合四寸，问门广几何。其大意：如图，推 偏离了想要达到的B点140m(即BC= 开双门（大小相同），双门间隙CD=4寸，点 140m),则他在水中实际游了 ( C,D与门槛AB的距离CE=DF=1尺(1尺 A.360m BC =10寸)，则AB的长为 寸。 B.400m C.480m D.500m E 3.如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高CE= BD=3m,CD=1m,试求滑道AC的长。 能力训练 5.如图是一个三级台阶， 20 dm dm 4.一种盛饮料的圆柱形水杯，测得内部 它的每一级的长、宽和 底面半径为2.5cm,高为12cm,吸管 高分别为20dm,3dm, 最大程度倾斜放进杯里（如图），杯口 2dm,A和B是这个台 外面至少要露出4.6cm,则吸管至少 阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 要长 cm。 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点的最短路程是 6.如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,且AB=AC,由于某种 原因，从取水点A到C的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H (点A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=3km,CH=2.4km,BH=1.8km。 (1)CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线AC的长。 B ●9《●