第1章 第3课时 一定是直角三角形吗（高效课堂）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

数学·八年级·上册（北师大版） 第3课时 一定是直角三角形吗 新课标·掌握判断三角形是直角三角形的方法，并能进行简单运用。 新) 1.如图，如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三 角形。几何语言：如图，因为a2+b=c2,所以∠C=90°。 2.满足 的三个 数，称为勾股数。 常见的一些勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41。 知识点1勾股数 变式1（1)下列各组数：①1,2,3；②6,8,10； 例1下列各组数中是勾股数的一组是( ③0.3,0.4,0.5；④9,40,41，其中是勾股数的有 A.0.6,0.8,1 (填序号)； B.3,-4,5 (2)已知甲、乙二人从同一地点出发，甲往东走了 C.6,8,9 8km,乙往南走了6km,此时甲、乙两人相距 D.8,17,15 km. 知识点2判断三角形是直角三角形的方法 变式2如图，在四边形ABCD中，AB=20, 例2如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°。 △ADC的面积为30，DC=12,AB=4,BC=3。 (1)判断AD与CD是否垂直，并说明理由； (1)判断△ABC的形状； (2)求四边形ABCD的面积。 (2)求△ABC的面积。 D D ●>6《 第一章勾股定理 课堂检列 基础训练 1.下列各组数中，以a,b,c为边的三角形不是直3.木工了做一个长方形桌面，量得桌面的长a为 角三角形的是 60cm,宽b为32cm,对角线长c为68cm,这 A.a=9,b=12,c=15 个桌面合格吗？ B.a=7,b=24,c=25 C.a=1.5,b=2,c=3 D.a=1,b=2,c=3 2.小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有 4根长度分别为4cm,6cm,8cm,10cm的铁 棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒 的长度分别是 (不切割， 不焊接)。 能力训练 4.在单位长度均为1的正方形网格中，下面的三5.如图，每个小正方形的边长都是1，A,B,C分 角形是直角三角形的是 别在格点上，则∠ABC的度数为 A.309 B.45° C.50° D.60° 6.如图，AD=13,BD=12,∠C=90°，AC=3,BC=4,则阴影部分的面积为 7.如图，D为△ABC的边BC上一点，AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长。 ●>7《●数学入年级上册（北师大版）》 【变式2】解：在直角三角形ABC中，AB为斜边， 高效课堂 由勾股定理，得AB2=AC+BC, 号00000J 也就是AB2=122+52,所以AB=13m, 第一章勾股定理 多走的路程为AC+BC-AB=12+5-13=4(m)。 【课堂检测】 第1课时探索勾股定理(1)》 1.b+c2=a 2.解：由题意，得AD=AB=17,AH=DG=8,∠AHD=90°， 【新课学习】 所以DH=AD2-AH=225,即DH=15, 448=两直角边的平方和斜边的平方a2+=c2 所以HG=DH-DG=15一8=7， 90°a2+b2=c 所以正方形EFGH的边长是7。 【例1】144【变式1】30 3.C4.245.S1+S2=S36.13km 【例2】解：因为以AB,AC为边的正方形的面积分别为S1,S2, 7.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=BC+AC, 且S,=31,S2=15,所以AB2=31,AC=15。 所以BC=AB2-AC=252-152=400,所以BC=20m, 因为∠ACB=90°， 即这个梯子的底端距墙有20m远； 所以BC=AB-AC=31-15=16,所以BC=4, (2)由题意可知AD=9m,则CD=24m, 所以BC的长为4。 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=CD+CE, 【变式2】(1)49(2)3 所以CE=DE-CD2=252-24=49,所以CE=7m, 【例3】解：△ABC中，AB=AC=13,BC=10, 所以BE=BC-CE=20-7=13(m)。 如答图，过点A作AD⊥BC于点D,则 即梯子的底部在水平方向上应滑动13m。 BD=5, 在Rt△ABD中，AB=13,BD=5, 第3课时一定是直角三角形吗 则AD2+52=132,即AD2=144, 答图 【新课学习】 解得AD=12。 1.a2十6=c22.a2+=c2正整 【例1】D【变式1】(1)②④(2)10 以，SAc=2BC·AD=2X10X12=6 【例2】解：(1)因为CD=12, 【变式3】解：因为在Rt△AEB中， ∠AEB=90°，AE=6,BE=8, 所以Snm=号×CDXAC--号×12XAC=30, 由勾股定理得AB=AE+BE=100, 所以AC=5。 所以正方形ABCD的面积是AB2=100。 又因为BC=3,AB=4,所以BC+AB=25=AC; 所以△ABC是直角三角形； 又因为△AEB的面积是2 AEX BE-号X6X8=24, (2)由(1)知△ABC是直角三角形， 所以阴影部分的面积是100-24=76。 所以Sac=号×AB×BC-2×4X3=6。 【课堂检测】 1.(1)5cm(2)20 【变式2】解：(1)AD⊥CD。理由： 2.解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°， 如答图，连接AC。 由勾股定理，得AC+BC=AB,即AC+BC=225, 因为AB=20,BC=15,∠B=90°， 故正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为225cm2。 所以由勾股定理，得AC=20+152=625。 3.C4.85.1048 又因为CD=7,AD=24, 6.解：由勾股定理，得32+4=25=5， 所以CD2+AD=625, 所以AC=CD2+AD2, 所以长方形对角线的长为5cm, 所以用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起5cm高。 所以∠D=90, 所以AD与CD垂直； 答图 第2课时探索勾股定理(2) (2)四边形ABCD的面积=2AD·DC+2AB·BC 【新课学习】 【例1】(b-a)22abc2a2+=c =2×24×7+7×20×15=234。 【变式1】251273 【课堂检测】 【例2】解：因为梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，∠AOB 1.C 2.6 cm,8 cm,10 cm =90°，由题意知OA=2.4m,AB=2.5m, 3.解：合格。 所以0B=2.52-2.4=0.49,所以OB=0.7m, 因为a2+6=602+322=4624,c2=4624, 故梯脚与墙脚的距离OB为0.7m。 所以a2十b=c2,故这个桌面合格。 参考答案 4.C5.B6.24 第5课时问题解决策略：反思 7.解：因为AB=13,AD=12,BD=5, 所以AD+BD=122+52=169=132=AB。 【新课学习】 所以△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°。 【例1】815二 所以∠ADC=90°。 解：如答图。 所以在Rt△ACD中，由勾股定理，得 CD2=AC-AD=152-122=81,所以CD=9。 第4课时勾股定理的应用 答图 【新课学习】 【变式1】解：如答图（单位：cm)所示。 1.直角三角形2.平面线段勾股定理 冈B 【例1】解：因为正方形ABCD的边长为8， 10 EF=5,所以∠D=90°，AD=CD=8, C 且由折叠的性质得CF=EF=5, 3 答图 所以DF=CD-CF=8-5=3, 因为从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B, 由勾股定理，得DF+DE=EF, 所以展开后AC=3×8=24(cm),BC=10cm, 即32+DE=52,所以DE=4, 连接AB。由勾股定理，得 所以AE=AD一DE=4,所以AE=DE, AB2=AC+BC=242+102=676=262, 故点E是边AD的中点。 【变式1】解：因为四边形ABCD是长方形，所以∠A=90°， 所以AB=26cm。所以彩条的最短长度是26cm。 设BE=xcm,由折叠的性质可得DE=BE=xcm, 【例2】解：两个正整数的和是11的所有情况： 所以AE=AD-DE=(9-x)cm, 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6. 在Rt△ABE中，BE=AE+AB, 共有五种不同的情况，每种情况的乘积是： 即x2=(9-x)2十3，解得x=5, 1×10=10,2×9=18,3×8=24, 所以DE=BE=5cm。 4×7=28,5×6=30, 【例2】10 从中可以看出，当这两个正整数是5和6时，积最大；当 【变式2】解：设铁棒伸入油桶中的长度为xm, 这两个正整数是1和10时，积最小。 则伸人长度最长时，x2=1.52+22。解得x=2.5。 【变式2】解：(1)由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡 所以这根铁棒最长是2.5十0.5=3(m)。 片上数字乘积最大， 伸入长度最短时，x=1.5。 最大值是：(-5)×(-3)=15； 所以这根铁棒最短是1.5+0.5=2(m)。 (2)由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上 即这根铁棒的长应在2~3m范围内。 【课堂检测】 数字相除的商最小，最小值是：（一5）÷3=一号 1.D2.52 (3)答案不唯一，如[（一3）一(-5)]×3×4=24。 3.解：设滑道AC的长为xm,则AB的长为xm,AE的长为(x一 【课堂检测】 1)m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE+ 1.10cm2.7,81,14 CE=AC,即(x-1)2十32=x2,解得x=5, 3.解：圆柱的侧面展开后是长方形，如答图， 故滑道AC的长度为5m。 因为底面周长约为6m,柱身高约16m, 4.17.65.25dm 6.解：(1)CH是村庄C到河边最近的路。理由如下： 所以AE=6m,BE=BD=号×16=8m, 因为CH+BH2=2.42+1.82=9,CB2=32=9, 所以AB=BE+AE=100,解得AB=10, 答图 所以CH+BH=CB, 所以雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为10×2=20(m)。 所以△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°，所以CH⊥AB。 4.解：(1)18(2)-6 因为垂线段最短，所以CH是村庄C到河边最近的路； (2)因为∠CHB=90°，所以∠CHA=90°， (3)因为各张卡片的倒数分别为-号，宁，一日，日，1,0没 所以AC=AP+CHP。 有倒数， 因为AB=AC,所以AH=AB-BH=(AC-1.8)km, 所以AC=(AC-1.8)2+2.4,解得AC=2.5。 所以倒数最大是1，最小是一号，所以抽取的2张卡片上的 答：原来的路线AC的长为2.5km。 1 数分别是1，一3，这两个数的倒数分别是1，一3： 3