第1章 第1课时 探索勾股定理（1）（高效课堂）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

第一章 勾股定理 第1课时 探索勾股定理(1) 新课标·掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。 新课学司 观察如图所示的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），通过数格子的方式发现 三个正方形的面积分别为：SA= ,SB= Sc= 总结：在如图正方形网格图中，三个正方形A,B,C的面积之间的数量关系是： SA十SB Sco 勾股定理：直角三角形 等于 如图，如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C ,则有 、0 知识点1探索勾股定理 变式1 如图，所有的四边形 例1如图，已知两个正方形的面积分别为25和 都是正方形，所有的三角形都 169,则字母B所代表的正方形的面积 是直角三角形，其中最大的正 8 cm 是 方形的边长为8cm,正方形A 25 的面积是11cm,正方形B的面积是10cm2,正 方形C的面积是13cm,则正方形D的面积为 169 B cm2。 例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以变式2(1)如图1所示的图形中，所有的四边 AB,AC为边的正方形的面积分别为S1,S2,若 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， S1=31,S2=15,求BC的长。 其中最大的正方形E的面积为49cm,则正方 形A,B,C,D的面积的和是 cm; A 图 图2 (2)如图2，由一个直角三角形和三个正方形组 成的图形，若正方形B,C的面积分别为16， 25,则正方形A的边长为。 ●>2《● 第一章勾股定理 知识点2勾股定理的简单应用 例3（教材P9T6改编）如图，在△ABC中， 变式3如图，点E在正方形ABCD内，满足 AB=AC=13,BC=10,求△ABC的面积。 ∠AEB=90°，AE=6,BE=8,求图中阴影部分 的面积。 课堂检测 基础训练 2.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，若 1.(1)已知直角三角形两直角边长分别为3cm, AB=15cm,求正方形ADEC和正方形 4cm,则这个直角三角形的斜边长为 BCFG的面积之和。 (2)已知直角三角形的两直角边长分别为2和 4,则第三边长的平方为 能力训练 3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=9,4.等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底 BC=4,则正方形ABDE的面积为 边上的高为 A.18 B.36 5.底边长为16，底边上的高为6的等腰三角形 C.65 的腰长为 ,这个等腰三角形的面积 D.72 为 6.如图，一扇卷闸门用长3cm、宽4cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 多高？ TwwKKKKKAAAmn ●>3《●数学入年级上册（北师大版）》 【变式2】解：在直角三角形ABC中，AB为斜边， 高效课堂 由勾股定理，得AB2=AC+BC, 号00000J 也就是AB2=122+52,所以AB=13m, 第一章勾股定理 多走的路程为AC+BC-AB=12+5-13=4(m)。 【课堂检测】 第1课时探索勾股定理(1)》 1.b+c2=a 2.解：由题意，得AD=AB=17,AH=DG=8,∠AHD=90°， 【新课学习】 所以DH=AD2-AH=225,即DH=15, 448=两直角边的平方和斜边的平方a2+=c2 所以HG=DH-DG=15一8=7， 90°a2+b2=c 所以正方形EFGH的边长是7。 【例1】144【变式1】30 3.C4.245.S1+S2=S36.13km 【例2】解：因为以AB,AC为边的正方形的面积分别为S1,S2, 7.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=BC+AC, 且S,=31,S2=15,所以AB2=31,AC=15。 所以BC=AB2-AC=252-152=400,所以BC=20m, 因为∠ACB=90°， 即这个梯子的底端距墙有20m远； 所以BC=AB-AC=31-15=16,所以BC=4, (2)由题意可知AD=9m,则CD=24m, 所以BC的长为4。 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=CD+CE, 【变式2】(1)49(2)3 所以CE=DE-CD2=252-24=49,所以CE=7m, 【例3】解：△ABC中，AB=AC=13,BC=10, 所以BE=BC-CE=20-7=13(m)。 如答图，过点A作AD⊥BC于点D,则 即梯子的底部在水平方向上应滑动13m。 BD=5, 在Rt△ABD中，AB=13,BD=5, 第3课时一定是直角三角形吗 则AD2+52=132,即AD2=144, 答图 【新课学习】 解得AD=12。 1.a2十6=c22.a2+=c2正整 【例1】D【变式1】(1)②④(2)10 以，SAc=2BC·AD=2X10X12=6 【例2】解：(1)因为CD=12, 【变式3】解：因为在Rt△AEB中， ∠AEB=90°，AE=6,BE=8, 所以Snm=号×CDXAC--号×12XAC=30, 由勾股定理得AB=AE+BE=100, 所以AC=5。 所以正方形ABCD的面积是AB2=100。 又因为BC=3,AB=4,所以BC+AB=25=AC; 所以△ABC是直角三角形； 又因为△AEB的面积是2 AEX BE-号X6X8=24, (2)由(1)知△ABC是直角三角形， 所以阴影部分的面积是100-24=76。 所以Sac=号×AB×BC-2×4X3=6。 【课堂检测】 1.(1)5cm(2)20 【变式2】解：(1)AD⊥CD。理由： 2.解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°， 如答图，连接AC。 由勾股定理，得AC+BC=AB,即AC+BC=225, 因为AB=20,BC=15,∠B=90°， 故正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为225cm2。 所以由勾股定理，得AC=20+152=625。 3.C4.85.1048 又因为CD=7,AD=24, 6.解：由勾股定理，得32+4=25=5， 所以CD2+AD=625, 所以AC=CD2+AD2, 所以长方形对角线的长为5cm, 所以用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起5cm高。 所以∠D=90, 所以AD与CD垂直； 答图 第2课时探索勾股定理(2) (2)四边形ABCD的面积=2AD·DC+2AB·BC 【新课学习】 【例1】(b-a)22abc2a2+=c =2×24×7+7×20×15=234。 【变式1】251273 【课堂检测】 【例2】解：因为梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，∠AOB 1.C 2.6 cm,8 cm,10 cm =90°，由题意知OA=2.4m,AB=2.5m, 3.解：合格。 所以0B=2.52-2.4=0.49,所以OB=0.7m, 因为a2+6=602+322=4624,c2=4624, 故梯脚与墙脚的距离OB为0.7m。 所以a2十b=c2,故这个桌面合格。