专题　端点效应法　讲义——2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦导数应用核心考点，涵盖恒成立问题、极值点判定等高考高频题型，按“知识与方法-典型例题-课后作业”逻辑架构组织，通过考点梳理明确端点效应法原理，方法指导解析必要性探路与充分性验证步骤，真题训练选用2010-2023年高考题，帮助学生系统构建解题框架。 资料以“端点效应+矛盾区间”为突破策略，创新采用高考真题分层教学，如讲解2010年新课标题时，引导学生先取x=0探路得参数范围，再通过求导验证区间矛盾，培养数学思维的推理能力与逻辑严谨性。设置基础巩固与综合应用分层作业，配合即时方法总结，助力学生高效突破导数难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

导数培优专题： 端点效应法 知识与方法 端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定 义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或 去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法. 在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.“端点效应+矛盾区间”才是 完整的解题过程,其重点在于说明“矛盾” . 需要指出的是,必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小 参数的讨论范围,减少分类讨论的类别. 典型例题 1 、（2010 年新课标）设函数fx = ex − 1 − x − ax2 . （1）若a = 0,求fx的单调区间; （2）若当x ≥ 0 时fx ≥ 0,求a 的取值范围. 2 、（2023•新高考Ⅱ)（1）证明：当 0 < x < 1时， x - x2 < sin x < x ； （2） 已知函数 f(x) = cosax -ln(1 - x2 ) ，若 x = 0 为 f(x) 的极大值点，求 a 的取值范围． 3、 (2018 年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数 f (x ) = (2 + x + ax2 )ln (1+ x ) - 2x ． (1)若 a = 0 ，证明：当 -1 < x < 0 时， f (x) < 0 ，当 x > 0 时， f (x) > 0 ； (2)若 x = 0 是 f (x) 的极大值点，求 a ． 课后作业 1 、（2020·全国·统考高考真题） 已知函数f(x) = ex + ax2 - x . （1）当 a=1 时，讨论f（x）的单调性；（2）当 x≥0 时， 求 a 的取值范围. 2 、（全国·高考真题） 已知函数f(x) = (x +1) ln x - a(x -1) . （I）当a = 4 时，求曲线y = f(x) 在(1, f(1)) 处的切线方程；(Ⅱ)若当x ∈(1, +∞) 时，f(x)＞0 ， 求a 的取值范围. 3 、（2022·新高考Ⅱ卷 T22） 已知函数f(x) = xeax - ex ． （1）当 a = 1 时，讨论f(x) 的单调性； （2）当 x > 0 时， f(x) < -1 ，求 a 的取值范围； 设 n ∈ N* ，证明 4 、（2023·全国·统考高考真题） 已知函数 (1)当a = 8 时，讨论f(x) 的单调性； (2)若f(x) < sin 2x 恒成立，求 a 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $