第27讲 导数恒成立之端点效应、洛必达法则、必要性探路法——2026届高三数学一轮复习

端点效应、洛必达法则、必要性探路 端点效应思路： 恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的或都有恒成立”（中包含参数），这里的端点往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方法，称之为端点效应． 1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂； 2．解题步骤： ①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0； ②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分析法. ③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)，则此时应有求出参数取值范围； ④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的或或 注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！ 洛必达法则思路： 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足： （1）f(x)＝g(x)＝0(或∞)； （2）在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0； （3） ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)． 则 ＝ ＝A(可连续使用)． （3）洛必达法则可处理，型． 必要性探路思路： 必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本． 考点一 恒成立之端点效应法 【例1】1．已知函数． （1）当求曲线在处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）的取值范围是，． 【解析】（1）当时，，，， （1），又（1）， 曲线在，（1）处的切线方程为：，即． （2）令，则， 当时，恒成立，即在上单调递增，（1）， ①当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意； ②当时，由（1）及在上单调递增，知， 使得，即，不符合题意，综上，的取值范围是，． 【训练1】1．已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是，． 【解析】（1）定义域为，． （ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是， （ⅱ）当时，时，；当，时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，． （2）函数． （ⅰ）当时，由重要不等式知，， 在，上递增，所以恒成立，符合题意． （ⅱ）当时，因为，，故，在，上递增． 又，存在，使得，从而函数在上递减，在，上递增， 又，不恒成立，不满足题意．综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是，． 2．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）m的取值范围是，． 【解析】（1）． 当时，，易知f(x)在R上单调递减． 当时，令，可得；令，可得且， ∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当时，令，可得且；令，可得， ∴在和上单调增，在上单调递减． （2）当时，由，得 即， 令，则 ∵，且，∴存在，使得当时，， ∴，即． 下面证明当时，对恒成立． ∵，且， ∴ 设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∴，∴，∴， ∴ 综上，实数m的取值范围为． 3．已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：由题意得，当时，， 故． （i）当时，，记， 则，单调递增，， 所以，即当时，无零点． （ii）当时，，， 即当时，无零点． （iii）当时，． 因为，所以，即单调递增． 又因为，， 所以当时，存在唯一零点．综上，当时，有且仅有一个零点． （2）易知，因此恒成立，则在0的左侧邻域内，是减函数，有，则． 因为， 所以，得是对任意成立的必要条件． 下面证明充分性． 当时，，等价于． 令，，即证． （i）当时，，，即成立． （ii）当时，记，则． 由，得，所以，即单调递增， ，即，，则， 时，，单调递减，时，，单调递增， 因此是的最小值，即，所以恒成立， 所以．综上，． 4．（23全国甲文）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减 （2） 【解析】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以 ， 因为，，， 所以在上恒成立，所以在上单调递减. （2）构造， 则，若，且， 则，解得.（必要条件） 当时，因为，又，所以，，则， 所以，满足题意；当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于，所以的取值范围为. 5．（23全国甲理）已知 （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）若， ， . 令得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2） 即.令， ，，则. 又， 得（必要条件）.当时，. 令，， . 令，由于，所以.令，， ， 则，单调递减，因此，所以，在上单调递减，.证毕.综上，的取值范围是. 考点二 恒成立之洛必达法则 【例2】1．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】(1), ； 函数在处取得极值， ；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：； （2）不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令， 则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 （或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 【训练2】1．已知函数. （1）若在时有极值，求函数的解析式； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，所以 由在处取极值，得，求得，所以. （2）当时，，即. ①当时，； ②当时，等价于，也即. 记，，则. 记，，则， 因此在上单调递增，且，所以； 从而在上单调递增，所以. 由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有. 综上所述，当，时，成立. 2．已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】的取值范围是 【解析】当时，恒成立 ，等价于恒成立， 令 则，再令， 由得， 当时，<0, 在单调递减， ，即， 在单调递增，，即， ，，在单调递增， 由洛必达法则可得==1， ，1，要使恒成立，只需，的取值范围是 3．设函数.当时，，求的取值范围． 【答案】的取值范围是. 【解析】由题设，此时. ①当时，若，则，不成立； ②当时，当时，，即； 若，则； 若，则等价于，即. 记，则. 记，则，. 因此，在上单调递增，且，所以， 即在上单调递增，且，所以. 因此，所以在上单调递增. 由洛必达法则有， 即当时，，即有，所以.综上所述，的取值范围是. 4．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围． 【答案】 【解析】，若，则； 若，则等价于，即 则. 记， 因此，当时，，在上单调递减，且， 故，所以在上单调递减， 而. 另一方面，当时，，因此. 考点三 恒成立之必要性探路 【例3】1．已知函数． (1)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）a的取值范围是；（2）a的取值范围是． 【解析】（1）由已知，令，又，得． 由题设可得，令，其中， 则直线与函数的图象在上有两个交点， 因为，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为，且， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以函数在上有且仅有2个零点， 故实数a的取值范围是； （2）当时，由已知函数的定义域为， 又恒成立，即在时恒成立， 当时，恒成立，即，又，则， 下面证明：当时，在时恒成立. 由（1）得当时，， 要证明，只需证明对任意的恒成立， 令，则， 由，得， ①当，即时在上恒成立，则在上单调递增， 于是； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 于是， 令，则，则在上单调递增． 于是，所以恒成立， 所以时，不等式恒成立，因此a的取值范围是． 【训练3】1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，∵时，∴不合条件. 令，故恒成立，又， ∴要在处取最大值，故为在上的极大值点， 故，又，故 ，∴，故选：B. 2．已知函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）0；（2）． 【解析】（1）因为， 当且仅当时，，所以在上是增函数， 所以在上的最小值为． （2）根据题意得：， 设， 则． ①当时，当时，由（1）知， 而，所以不恒成立． ②当时，，当时，，当且仅当时，， 所以在上是减函数，所以，即不恒成立． ③当时，， 当时，，当且仅当时，， 所以在上是增函数，所以，即不恒成立. ④当时，，， 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以，即恒成立．综上所述，实数的值为. 3．已知函数． (1)当时，讨论在区间上的单调性； (2)若，求的值． 【答案】（1）在区间上的单调递增；（2）的值为1. 【解析】（1）当时， ． 因为，所以． 所以在区间上的单调递增． （2）， 当时，，所以存在，当时， 则在区间上单调递减， 所以当时，，不满足题意 当时，，所以存在，当时， 则在区间上单调递增， 所以当时，，不满足题意，所以． 下面证明时， 由（1）知，在区间上的单调递增， 所以当时， 所以只要证明. 令 令， 则 ①当时，，得 所以，所以， 所以在区间上单调递增 且， 所以，使得. 且当时，；当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 且， 所以当时，所以在区间上单调递减， 所以当时， ②当时， 因为，所以，所以 所以在区间上单调递减， 且， 所以，使得， 当时，；当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且 所以当时，，综上，的值为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 端点效应、洛必达法则、必要性探路 端点效应思路： 恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的或都有恒成立”（中包含参数），这里的端点往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方法，称之为端点效应． 1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂； 2．解题步骤： ①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0； ②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分析法. ③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)，则此时应有求出参数取值范围； ④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的或或 注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！ 洛必达法则思路： 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足： （1）f(x)＝g(x)＝0(或∞)； （2）在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0； （3） ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)． 则 ＝ ＝A(可连续使用)． （3）洛必达法则可处理，型． 必要性探路思路： 必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本． 考点一 恒成立之端点效应法 【例1】1．已知函数． （1）当求曲线在处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 【训练1】1．已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 3．已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 4．（23全国甲文）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 5．（23全国甲理）已知 （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围． 考点二 恒成立之洛必达法则 【例2】1．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【训练2】1．已知函数. （1）若在时有极值，求函数的解析式； （2）当时，，求的取值范围． 2．已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围． 3．设函数.当时，，求的取值范围． 4．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围． 考点三 恒成立之必要性探路 【例3】1．已知函数． (1)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【训练3】1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数． （1）求函数在上的最小值； （2）若，求实数的值． 3．已知函数． (1)当时，讨论在区间上的单调性； (2)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$