25.全国卷五年四考的“端点”效应与应用 讲义——2026届高三数学一轮复习

25.全国卷五年四考的“端点”效应与应用 一．何为端点效应 端点效应的原理： 1.必要条件缩小范围： ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 2.充分性求结果： 求判断的单调性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围. 但是，有时候我们用端点效应得出的并非最终的答案，那么究竟何时才能用端点效应？下面对一类函数做出详细分析. 二．相关理论背景[1] 定理1.若、在都有意义,,则对于任意,都有恒成立(当且仅当时等号成立).进一步，对于任意,都有 恒成立，那么实数的取值范围为. 证明：设,则,故满足： 即单调递增,，则(当且仅当时等号成立).从而,对于任意,都有恒成立，对于任意,都有 恒成立,故实数的取值范围为. 定理2.若在都有意义,,则对于任意,都有恒成立(当且仅当取等号).进一步，对于任意,都有 恒成立，那么实数的取值范围为. 证明：设,则 那么就有：于是，故 单调递增,(当且仅当取等号),单调递增,(当且仅当取等号),对于任意的恒成立(当且仅当取等号).于是，对于任意,都有恒成立，那么实数的取值范围为. 上述定理不等号反向时亦然，此处不再赘述，具体可见相关参考文献. 三．定理应用，满足定理的两个案例 例1.（2024年高考全国甲卷数学（理））已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 例2.已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 例3.已知. （1）当时,讨论的单调性; （2）若,求的取值范围. 例4.已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 四．定理失效（端点效应失效） 例5.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 已知含参函数，在区间上恒成立，求参数范围.可采用下面方法进行必要性探路： (1).求出函数的零点，即由，解出（可能不只一个）； (2).求出参数的取值范围，即由或， ，或等求出参数的取值范围. 例6.已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. ★五．更多练习 1.（江苏省苏锡常镇2025届高三二模）已知函数． （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围． 2.（浙江省宁波市2025届高三二模）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 3.已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. （提示：直接端点效应与必要性探路） 4.已知函数. （1）当时，试比较与0的大小； （2）若恒成立，求的取值范围. （“内点”效应解题） 5.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. （这个你就得自己判断了） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.全国卷五年四考的“端点”效应与应用 一．何为端点效应 端点效应的原理： 1.必要条件缩小范围： ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 2.充分性求结果： 求判断的单调性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围. 但是，有时候我们用端点效应得出的并非最终的答案，那么究竟何时才能用端点效应？下面对一类函数做出详细分析. 二．相关理论背景[1] 定理1.若、在都有意义,,则对于任意,都有恒成立(当且仅当时等号成立).进一步，对于任意,都有 恒成立，那么实数的取值范围为. 证明：设,则,故满足： 即单调递增,，则(当且仅当时等号成立).从而,对于任意,都有恒成立，对于任意,都有 恒成立,故实数的取值范围为. 定理2.若在都有意义,,则对于任意,都有恒成立(当且仅当取等号).进一步，对于任意,都有 恒成立，那么实数的取值范围为. 证明：设,则 那么就有：于是，故 单调递增,(当且仅当取等号),单调递增,(当且仅当取等号),对于任意的恒成立(当且仅当取等号).于是，对于任意,都有恒成立，那么实数的取值范围为. 上述定理不等号反向时亦然，此处不再赘述，具体可见相关参考文献. 三．定理应用，满足定理的两个案例 例1.（2024年高考全国甲卷数学（理））已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 解析：（1）略 （2）且，继续求导可得： ，若，即时，存在正数，当时，，故在递减，于是，则在递减，则，与题干矛盾！ 故，即，下证当时，. 由于，令于是可得 ，，故在递增， 例2.（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 解析：（1），（2）略. （3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则， 注意到，，继续求导， 根据前述定理可知，此时在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时. 例3.（2023年全国甲卷）已知. （1）当时,讨论的单调性; （2）若,求的取值范围. 解析：依题意,在上恒成立;令,则 . 令,则,故,满足定理1，故可用端点效应. 例4.（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立（令，则）①对恒成立，设，则 ，所以，故①式成立，则的取值范围为 四．定理失效（端点效应失效） 例5.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 解析：令，其中，则，令，则. 事实上，不满足定理2的内容，所以，本题用处的端点效应解题是无法利用定理2得到正确结果的.事实上，失败的原因就是函数在其他地方还有一个零点，所以，在这种情况下，要确保端点效应依然有效，我们就需进一步使用下面的方法来寻求必要性. 已知含参函数，在区间上恒成立，求参数范围.可采用下面方法进行必要性探路： (1).求出函数的零点，即由，解出（可能不只一个）； (2).求出参数的取值范围，即由或， ，或等求出参数的取值范围. 例6.（2020全国1卷）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围. 解析：设的零点为.由可得（公众号：凌晨讲数学），即， ，，解得或. 令，当时，． 只需证明①式成立． ①式，令， ，所以当时，单调递减； 当单调递增；当单调递减． 从而，即，①式成立．所以当时，恒成立．综上． ★五．更多练习 1.（江苏省苏锡常镇2025届高三二模）已知函数． （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围． 2.（浙江省宁波市2025届高三二模）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 3.已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. （提示：直接端点效应与必要性探路） 4.已知函数. （1）当时，试比较与0的大小； （2）若恒成立，求的取值范围. （“内点”效应解题） 5.已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围. （这个你就得自己判断了） 练习参考答案： 1. 解析：（1）在点处的切线方程为． 设与切于，因此可得： （2） ①当时，∵在上单调递增； ②当时，令 且当时，单调递减，时，单调递增 ③当时，令，且当时，单调递增； 当时，单调递减 （3），即对恒成立． 令 令，. 下证充分性，当时， 令恒成立，符合，综上：的取值范围为． 2.解析：（1）由题设，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增； （2）由题设，令，则， 对时，恒成立，且，只需，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，； （3）由（2）取，在上， 令，，则，即， 所以，则，得证. 3.解析：由题意，注意到，，，， 令. 当时，，，所以，满足题意； 当时，，所以在上单调递增，结合知，从而在上单调递增，又，所以恒成立，满足题意； 当时，，所以在上单调递增， 结合，可得在上有唯一的零点， 且当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为. 4.解析：（2）由于，则 令 且要满足上述方程组，故令 下证当时，，∵，∴，令， 要证，只需证， ①当时，，由（1）知，， ②当时，，， 易知在上单调递减，在上单调递增，∵，，，∴，，使得，∴当，时，；当时，，∴在，上单调递增，在上单调递减，而，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减.而，∴当时，， ③当时，，∴在上单调递增，∴， 综上所述，的取值范围是. 5.解析：（1）当时，，， ，切点为，斜率为，曲线在点处的切线方程：. （2）恒成立,, , 令，， 在恒成立，在单调递增，且， ，，在单调递减，在单调递增，，恒成立，实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$