第24章圆单元练习作业2025-2026学年人教版九年级数学上册

第24章圆单元练习作业人教版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 2．如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（　　） A．10° B．15° C．25° D．50° 3．下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧，正确的个数共有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 5．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．若∠C＝28°，则∠A的度数为（　　） A．38° B．36° C．34° D．32° 6．如图，平行四边形ABCD中，∠D＝60°，AD＝10，以BC为直径的⊙O交AB于点E，则的长为（　　） A．π B． C．5 D． 7．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝5，则BC的长为（　　） A．5 B． C． D． 8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 9．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　） A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm 10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，C为弧上一动点，且CA平分∠BCD，，有如下说法：①AD＝AB；②三角形ABC是等边三角形；③⊙O的半径为2；④BC+CD＝AC；⑤四边形ABCD最大面积是，其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③⑤ 二．填空题（共6小题） 11．如图，BC切⊙O于C，AB过圆心O点，AC是弦，∠B＝40°，则∠A＝ 　 　 ． 12．如图，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心．若∠BAE＝25°，则∠C＝ 　 　 ． 13．如图，BC是⊙O的直径，且AC＝AB，，则∠CBD的度数为　 　 ． 14．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　 　 ． 15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　 　 ． 16．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2m，OB＝1m，则阴影部分的面积为 　 　 m2（结果保留π）． 三．解答题（共7小题） 17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，．求证：AC＝BD． 18．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°． （1）求∠AOC的度数； （2）求证：PA是⊙O的切线． 19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F，若C是的中点． （1）求∠AOD的度数； （2）若AB＝8，求DF的值． 20．如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D． （1）求证：∠A＝∠C； （2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径． 21．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）连接OB交⊙O于点F，若AD，AE＝1，求弧CF的长． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长． 23．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 第24章圆单元练习作业人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C B D C B C 一．选择题（共10小题） 1．已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外． 【解答】解：∵OP＝5、r＝3， ∴OP＞r， 则点P在⊙O外， 故选：B． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 2．如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（　　） A．10° B．15° C．25° D．50° 【分析】根据一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半解答即可． 【解答】解：∵∠ACB∠AOB，∠AOB＝50°， ∴∠ACB＝25°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧，正确的个数共有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【解答】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 【点评】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 4．如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（　　） A．51° B．49° C．40° D．39° 【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBA＝90°， 又∵∠A＝∠CDB＝51°， ∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键． 5．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．若∠C＝28°，则∠A的度数为（　　） A．38° B．36° C．34° D．32° 【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OB⊥AB，再根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝2×28°＝56°， ∵AB与⊙O相切， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， ∴∠A＝90°﹣56°＝34°， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 6．如图，平行四边形ABCD中，∠D＝60°，AD＝10，以BC为直径的⊙O交AB于点E，则的长为（　　） A．π B． C．5 D． 【分析】先根据平行四边形的性质得出BC的长，再连接EO求出∠BOE的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝10，∠D＝60°， ∴BC＝AD＝10，∠ABC＝60°． 连接EO， ∵BO＝EO， ∴△BOE是等边三角形， ∴∠BOE＝60°． 又∵BO， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及圆周角定理，熟知弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键． 7．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝5，则BC的长为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ABC＝30°，根据直角三角形的性质求出CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝BD，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接AD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝∠DAC＝90°， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠ABC＝30°， ∴CD＝2AC＝2×5＝10， ∵点B是的中点， ∴， ∴BC＝BDCD＝5， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案． 【解答】解：连接OA、OB， ∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 9．如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为26cm，油漆面宽AB为24cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（　　） A．6.5cm B．8cm C．10cm D．10.5cm 【分析】根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出OA的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理求出OD的长，然后用OC﹣OD即可求出结果． 【解答】解：过O点作垂直于AB的半径OC，交AB于点D，连接OA，如图， ∵油漆桶的直径为26cm， ∴OA＝13cm， ∵OD⊥AB，AB＝24cm， ∴AD＝BD＝12cm， ∴ ∴油漆桶中油漆的最大深长为CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8cm． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理， 10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，C为弧上一动点，且CA平分∠BCD，，有如下说法：①AD＝AB；②三角形ABC是等边三角形；③⊙O的半径为2；④BC+CD＝AC；⑤四边形ABCD最大面积是，其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③⑤ 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证AB＝AD；根据圆内接四边形对角互补可知∠BAD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知△ABC是等边三角形；连接OD、OB，过点O作OE⊥BD，根据等边三角形的性质可知∠OBD＝30°，，利用勾股定理即可求出OB＝2，即⊙O的半径为2；在AC上截取CF＝CD，连接DF，可证△DFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可知DF＝DC，∠ADF＝∠BDC，利用SAS可证△ADF≌△BDC，根据全等三角形的性质可证AF＝BC，从而可证BC+CD＝AC；根据等边三角形的性质可以求出△ABD的面积是，当点C在的中点时△BCD的面积最大，可知△BCD的最大面积是，所以可得四边形ABCD的最大面积是． 【解答】解：∵CA平分∠BCD，得∠ACB＝∠ACD， ∴， ∴AB＝AD， 故①正确； ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， 又∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝60°， 又∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， 故②正确； 如图所示，连接OD、OB，过点O作OE⊥BD， ∵OD＝OB，∠DOB＝2∠DAB＝120° ∴， ∴OB＝2OE，， 设OB＝2x，则OE＝x， 在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2， ∴， 解得：x＝1， ∴OB＝2x＝2， ∴⊙O的半径是2， 故③正确； 如图所示，在AC上截取CF＝CD，连接DF， ∵∠DCF＝60°， ∴△DCF是等边三角形， ∴DF＝DC，∠FDC＝60°， ∵∠ADF+∠BDF＝∠ADB＝60°，∠BDF+∠BDC＝∠FDC＝60°， ∴∠ADF＝∠BDC， 在△ADF和△BDC中，， ∴△ADF≌△BDC， ∴AF＝BC， ∵AC＝AF+CF＝DC+BC， 故④正确； 如图所示，设M为BD的中点，过点M作AM⊥BD， ∵△ABD是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在Rt△ABM中， ∴， ∴当△BCD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大， ∵⊙O的半径为2， ∴点C到线段BD的最大距离时，就是点C为的中点时， 此时C到BD的距离是2×2﹣3＝1， ∴△BCD的最大面积是， ∴四边形ABCD的最大面积是， 故⑤错误； 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 【点评】本题考查了圆内接四边形的对角互补、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 二．填空题（共6小题） 11．如图，BC切⊙O于C，AB过圆心O点，AC是弦，∠B＝40°，则∠A＝ 　25°　 ． 【分析】根据切线的性质，得到∠OCB＝90°，进而得到∠COB＝50°，根据等边对等角结合三角形的外角，求出∠A的度数． 【解答】解：BC切⊙O于C，AB过圆心O点，AC是弦，∠B＝40°， ∴OC⊥BC，OA＝OC， ∴∠OCB＝90°，∠OAC＝∠OCA， ∴∠COB＝50°， ∴∠A∠COB＝25°， 故答案为：25°． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用． 12．如图，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心．若∠BAE＝25°，则∠C＝ 　65°　 ． 【分析】由AE是△ABC的外接圆直径得∠ABE＝90°，求出∠AEB＝65°，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【解答】解：连接BE， ∵AE是△ABC的外接圆直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣25°＝65°． ∵， ∴∠C＝∠AEB＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 13．如图，BC是⊙O的直径，且AC＝AB，，则∠CBD的度数为　22.5°　 ． 【分析】由弧、弦、圆心角的关系得AD＝BD，则通过等边对等角得出∠DAB＝∠DBA，由圆周角定理得∠CAB＝90°，则有∠ADB＝∠ACB＝45°，最后由等边对等角和角度和差即可求解． 【解答】解：∵， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°（等边对等角）， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴∠DAB＝∠DBA＝67.5°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝67.5°﹣45°＝22.5°， 则∠CBD的度数为22.5°， 故答案为：22.5°． 【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　4　 ． 【分析】过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根据垂直定义得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF＝CF，再求出答案即可． 【解答】解： 过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°， ∵BE＝1，AE＝5， ∴AB＝BE+AE＝6， ∴OB＝OA＝OC＝3， ∴OE＝3﹣1＝2， ∵∠AEC＝30°， ∴OFOE＝1， ∴CF2， ∵OF⊥CD，OF过圆心O， ∴DF＝CF＝2， ∴CD＝CF+DF＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　5　 ． 【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【解答】解：连接OC， 设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2， ∵CD⊥AB， ∴CECD＝4， 由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42， 解得，R＝5， 则⊙O的半径为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 16．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2m，OB＝1m，则阴影部分的面积为 　　 m2（结果保留π）． 【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，计算即可． 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，．求证：AC＝BD． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由AB＝CD得到，所以AC＝BD． 【解答】证明：∵， ∴， 即， ∴AC＝BD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 18．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°． （1）求∠AOC的度数； （2）求证：PA是⊙O的切线． 【分析】（1）利用圆周角定理可得∠AOC＝58°， （2）由（1）可得∠OAP＝90°，由OA为半径，即可得证． 【解答】（1）解：∵∠B＝29°， ∴∠AOC＝2∠B＝58°， （2）证明：∵∠P＝32°， ∴∠P+∠AOC＝90°， ∴∠OAP＝90°， 又∵OA为半径， ∴PA是⊙O的切线． 【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理等知识点，得出∠OAP＝90°是解此题的关键． 19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F，若C是的中点． （1）求∠AOD的度数； （2）若AB＝8，求DF的值． 【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系的定理得到，根据垂径定理得到，计算即可； （2）连接AD，证明△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DF． 【解答】解：（1）如图，连接OC， ∵C是的中点， ∴， ∵OD⊥AC， ∴， ∴， ∴∠AOD180°＝60°； （2）如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，AB＝8， ∴OA＝OD＝4， ∵∠AOD＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∵AF⊥OD， ∴DFOD＝2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系的定理，灵活运用圆心角、弧、弦的关系的定理是解题的关键． 20．如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D． （1）求证：∠A＝∠C； （2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OP，如图2，先根据切线的性质得到OP⊥PD，则可判断OP∥BC，所以∠OPA＝∠C，然后利用∠OPA＝∠A可得到结论； （2）连接PB，如图2，先利用勾股定理计算出PB＝2，再根据圆周角定理得到∠APB＝90°，接着证明△BDP∽△BPC，则利用相似比可计算出BC＝10，然后利用∠A＝∠C得到BA＝10，从而得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OP，如图2， ∵PD是⊙O的切线， ∴OP⊥PD， ∵PD⊥BC， ∴OP∥BC， ∴∠OPA＝∠C， ∵OA＝OP， ∴∠OPA＝∠A， ∴∠A＝∠C； （2）解：连接PB，如图2， 在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4， ∴PB2， ∵AB为直径， ∴∠APB＝90°， ∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC， ∴△BDP∽△BPC， ∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2， 解得BC＝10， ∵∠A＝∠C， ∴BA＝BC＝10， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 21．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）连接OB交⊙O于点F，若AD，AE＝1，求弧CF的长． 【分析】（1）连接OD，利用全等三角形的性质得出∠ODB＝90°即可解决问题． （2）利用勾股定理求出⊙O的半径，再求出∠COF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接OD， 在△BOD和△BOC中， ， ∴△BOD≌△BOC（SSS）， ∴∠BDO＝∠BCO， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BDO＝90°， 即OD⊥AB， 又∵点D在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：令⊙O的半径为r， 在Rt△AOD中， （）2+r2＝（r+1）2， 解得r＝1， ∴AO＝2， ∴sinA， ∴∠A＝30°， ∴∠DOC＝120°． 又∵△BOD≌△BOC， ∴∠DOB＝∠COB＝60°， ∴弧CF的长为：． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算，熟知切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算公式是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长． 【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）相切，理由如下： 连接AD，OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴AD⊥BC． ∵AB＝AC， ∴CD＝BDBC． ∵OA＝OB， ∴OD∥AC． ∴∠ODE＝∠CED． ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝∠CED＝90°． ∴OD⊥DE． ∴DE与⊙O相切． （2）由（1）知∠ADC＝90°， ∴在Rt△ADC中，由勾股定理　得 AD4． ∵SACDAD•CDAC•DE， ∴4×35DE． ∴DE． 【点评】本题考查了切线的判定，连接OD，证得OD⊥DE是解题关键． 23．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）由Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB． （2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积＝扇形EOD的面积． 【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D， ∴OD⊥BC， ∵AC⊥BC， ∴AC∥OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠OAD＝∠CAD， 即AD平分∠CAB； （2）设EO与AD交于点M，连接ED． ∵∠BAC＝60°，OA＝OE， ∴△AEO是等边三角形， ∴AE＝OA，∠AOE＝60°， ∴AE＝AO＝OD， 又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD， ∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°， ∴S△AEM＝S△DMO， ∴S阴影＝S扇形EODπ． 【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 12:41:27；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $